1、函数 定义域定义、三要素 值域函数概念 对应法则图像法函数的表示方法 列表法 解析法函数简单应用函数关系式的建立函数 分段函数函数的和函数运算 奇偶性函数的积 单调性基本性质 最值性质 零点 周期性其他性质 对称性1.理解函数的有关概念（1）函数的定义： 在某个变化过程中有两个变量 yx、 ，如果对于 x在某个实数集合 D内的每一个确定的值，按照某个对应法则 f ， y 都有唯一确定的实数值与它对应，那么 y 就是 x的函数 ，记作 )(xfy ，（ Dx ）， x叫做自变量 ， y 叫做因变量 ， x的取值范围 D叫做定义域 ，和 x对应的 y 的值叫做函数值 ，函数值的集合叫做函数的值域
2、【小贴士】据此可知函数图像与 x轴的垂线至多有一个公共点，但与 y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个.即函数的图像特征：对于任意与 x轴垂直的直线，与图像最多只有一个交点.【说明】如果函数只给出解析式，未指明定义域，那么函数的定义域就是使得解析式有意义的实数 x的集合.（2）函数的三要素： 函数的定义含有三个要素，即定义域 、值域 和对应法则 【求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）】（1）根据解析式要求,如:偶次根式的被开方大于等于零，分母不能为零，（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围.（3）复合函数的定义域：若已知 )(xf 的定义域为 , ba ,其复
3、合函数 )( xgf 的定义域由不等式 bxga )( 解出即可；若已知 )( xgf 的定义域为 , ba ,求 )(xf 的定义域，相当于当 , bax 时，求 )(xg 的值域（即 )(xf 的定义域）.【求函数值域的方法】（1）二次函数类型（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 , nm上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题；求二次函数的最 值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间 的相对位置关系）；（2）可换元成二次函数类型 ，换元一定要注意新元的取值范围；（3） dcx baxy 型函数，可先分离常数，利用不等式的性质来求解，
4、或者可先画出其图像，利用函数的单调性求函数的值域；（4） xbaxy ，当 ba, 异号时可利用单调性求值域；当 0ab 时，该图像即是我们所熟知的“耐克函数”利用基本不等式及函数图像求解，需要“注意”的是利用基本不等式时要注意“等号”成立的条件；（5）单调性法 一般来说一道求值域或最值的题目，如果不是常见类型，就可以考虑利用 单调性来求解，包括数列的最大最小项问题；（6）数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离、直线斜率、等等；（7）判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以 用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过分离变量后，
5、再利用基本不等式：（注意：当分式是最简分式，并且自变量 x没有其它限制时，可直接用判别式法解题。若不符合上述要求虽也可用此法，但要增加其他条件比如在某范围内有解，这时我们不提倡用此种方法，而改用基本不等式及耐克函数求解）.【温馨提示】（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？（3）两个函数相等：当两个函数的定义域、对应法则及值域均相等，则两个函数相等.当然，当定义域和对应法则均相等的时候，两个函数的值域也必然相等，因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法 则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.（4）函数的
6、三种表示法：解析法、列表法、图像法 .（5）分段函数：当一个函数可以用分段的解析式表示时，把这个函数叫做分段函数【求函数解析式的常用方法】（1）待定系数法 已知所求函数的类型；（2）代换（配凑）法 已知形如 ( ( )f g x 的表达式，求 ( )f x 的表达式；（3）方程的思想 已知条件是含有 ( )f x 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于 ( )f x 及另外一个函数的方程组.二、函数的图像1、常见的函数图像的变换 满足条件 f x a f b a 的函数的图像关于直线 2a bx 对称； 点 ( , )x y 关于 y轴的对称点为 ( , )x y
7、 ；函数 xfy 关于 y 轴的对称曲线方程为 xfy ； 点 ( , )x y 关于 x轴的对称点为 ( , )x y ；函数 xfy 关于 x轴的对称曲线方程为 xfy ； 点 ( , )x y 关于原点的对称点为 ( , )x y ；函数 xfy 关于原点的对称曲线方程为 xfy ； ( )y f x a 是将 ( )y f x 的图像向左 ( 0)a （右 ( 0)a ）平移 a 个单位得到； 曲线 ( , ) 0f x y 关于点 ( , )a b 的对称曲线的方程为 (2 ,2 ) 0f a x b y ； 形如 ( 0, )ax by c ad bccx d 的图像是双曲线，其两
8、渐近线分别直线 dx c(由分母为零确定)和直线 ay c (由分子、分母中 x的系数确定)，对称中心是点 ( , )d ac c ； | ( ) |f x 的图像先保留 ( )f x 原来在 x轴上方的图像，作出 x轴下方的图像关于x轴的对称图形，然后 擦去 x轴下方的图像得到； (| |)f x 的图像先保留 ( )f x 在 y 轴右方的图像，擦去 y 轴左方的图像，然后作出 y 轴右方的图像关于 y轴的对称图形得到； ( )y f ax 是将 ( )y f x 的图像横坐标扩大 (0 1)a （缩小 ( 1)a ） 1a 个单位得到 函数 xfy + a的图像是把函数 xfy 助图像沿
9、 y 轴向上 )0( a (向下 )0( a )平移 a 个单位得到的；2函数关系的建立 在解决实际问题中，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来，这个过程叫做建模； 建立函数关系是表示函数对应关系的一种常用方法，在建立的函数关系的后面必须标明函数的定义域，其值域由定义域和对应法则确定，这时函数的三要素 就完全具备了建立函数关系常用方法：（1）代入法；（2）构造法；（3）待定系数法；（4）换元法；（5）函数方程法3函数的运算（1）函数和： 一般地，已知两个函数 )( 1Dxxfy ， )( 2Dxxgy ，设 21 DDD ，并且 D不是空集，那么当 Dx 时， )(xfy 和
10、)(xgy 都有意义，于是把函数 )()( Dxxgxfy 叫做函数 )(xfy 与 )(xgy 的和（2）函数的积、差、商：【注意】 两个函数的和函数的定义域为它们定义域的交集，当定义域的交集为空集时，他们的和函数无意义； 在求两个函数商的定义域，还要除去使得分母上的函数值为零 的 x 的值。（3）阶梯函数: 在函数 5xy 中， 表示取括号内实数的整数部分，其部分函数图像如下：这种函数叫做阶梯函数；【补充】 确切的说 表示不超过括号内实数的最大整数，即 x 表示不超过 x的最大整数，如 1.5 1, 1.5 2 4函数的奇偶性（1）函数奇偶性的定义：偶函数的定义：如果对于函数 )(xf 的
11、定义域内任意一个 x，都有 f x f x ，那么 f x 就叫做偶函数；奇函数的定义：如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x，都有 f x f x ，那么 f x 就叫做奇函数；【注意】 定义本身蕴涵着：函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶）函数的必要条件；“定义域内任一个”：意味着奇（偶）性是函数的整体性质而非局部性质 使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量 x的恒等式而不是方程.（2）判断奇偶性的步骤：【步骤】 看定义域是否是关于原点对称的区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函数） 找 f x 与 f x 之间的关系，若 f x f x ，那么 f x 就叫做偶函
12、数；若 f x f x ，那么 f x 就叫做奇函数； 若两者都不成立，则 f x 就叫做非奇非偶函数；若两者都成立，则 f x 既是奇函数又是偶函数.【提醒】 若函数 )(xfy 是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数；若 )(xfy 是奇函数且 )0(f 存在，则 0)0( f （这里要强调的是 )0(f 一定要存在才可以用）；反之不然，如： xxxf 2)( 2 ， 0)0( f ，但是 )(xf 为非奇非偶函数（3）奇偶函数的图像 )(xf 为奇函数 )(xf 图像关于原点对称；)(xf 为偶函数 )(xf
13、图像关于 y 轴对称（4）根据规律判断函数的奇偶性：偶函数+偶函数=偶函数； 偶函数+奇函数=非奇非偶函数；（不含常值函数0)( xf ）奇函数+奇函数=奇函数； 偶函数偶函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数； 偶函数奇函数=奇函数（5）函数奇偶性的性质： 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数； 若 ( )f x 为偶函数，则 ( ) ( ) (| |)f x f x f x ； 若奇函数 ( )f x 定义域中含有 0，则必有 (0) 0f 故 (0) 0f 是
14、( )f x 为奇函数的既不充分 也不必要条件； 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与 一个偶函数的和（或差）”； 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”； 既奇又偶函数有无穷多个（ ( ) 0f x ，定义域是关于原点对称的任意一个数集） 5函数的周期性定义： 设函数 )(xf ， Dx ，如果存在非零常数 T ，使得对任意的 Dx ，都有)()( xfTxf ，则称 )(xf 为周期函数， T 为 )(xf 的一个周期，周期函数的周期往往不唯一【思考】若 )()( xfTxf ，则函数 )(xf 的周期为多少？)(1)( xfTxf 时呢？ )(1)(
15、xfTxf 时呢？【复习小贴士】 若 ( )y f x 图像有两条对称轴 , ( )x a x b a b ，则 ( )y f x 必是周期函数，且一个周期 为 2 | |T a b ； 若 ( )y f x 图像有两个对称中心 ( ,0), ( ,0)( )A a B b a b ，则 ( )y f x 是周期函数，且一个周期 为 2 | |T a b ； 如果函数 ( )y f x 的图像有一个对称中心 ( ,0)A a 和一条对称轴 ( )x b a b ，则函数 ( )y f x 必是周期函数，且一个周期为 4 | |T a b ；6函数的单调性（1）定义： 一般地，设函数 )(xfy
16、 的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内的某个区 间 D 内 的 任 意 两 个 自 变 量 21,xx ， 当 21 xx 时 ， 都 有)()()()(2121 xfxfxfxf ，那么就说 )(xf 在区间 D上是增函数（减函数），且 D为 )(xfy 的单调区间（2） 复合函数单调性特点：“同増异减”【注意】 函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是定义域的某个子区间，也可以是整个定义域，如果函数在整个定义域上单调，则它在子区间上也是单调的； 如果函数的图像不是连续的，讨论单调性需分段讨论，在整个定义域上是否单调要根据单调性的定义来分析； 函数的单调性是函数局部的性质，在对函数图像的一
17、部分进行研究时，经常用到； 定义法是判断函数单调性的最基本方法，特别是在一些非初等函数中.（3）利用定义证明函数 f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：【步骤】 任取 Dxx 21, ，且 21 xx 作差 )()( 21 xfxf （偶有做商比较大小的） 变形（通常是通分、因式分解和配方） 定号（即判断差 )()( 21 xfxf 的正负）下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D上的单调性）【注意】 在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等， 特别要注意( 0by ax ax 0)b 型函数的图像和单调性在解题中的运用：增区间为( , , , )b ba a ，减区间为 ,0)
18、,(0, b ba a .【提醒】 函数的周期性往往和奇偶性、单调性以及函数的图像及解析式相关联出现，现在大多数都是以抽象函数的形式出现，涉及到的题型有：求解析式、求值、求不 等式解集、求单调区间、求参数的值等等.【特别提醒】 求单调区间时，一是勿忘定义域；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示7最值 定义：一般地，设函数 )(xfy 在0x 处的函数值是 )( 0xf ，如果对于定义域内任意的 x，不等式 )()( 0xfxf 都成立，那么 )( 0xf 叫做函数 )(xfy 的最小值，记做 )( 0min xfy 如果对于定
19、义域内任意 x，不等式 )()( 0xfxf 都成立，那么 )( 0xf 叫做函数 )(xfy 的最大值，记做 )( 0max xfy 8零点 定义：一般地，对于函数 )( Dxxfy ，如果存在实数 )( Dcc ，当 cx 时， 0)( cf ，那么就把 cx 叫做函数 )( Dxxfy 的零点二分法: 一般地，对于函数 ( ) ( )y f x x D ，如果存在实数 ( )c c D ，当 x c 时， ( ) 0f c ，那么就把 x c 叫做函数 ( ) ( )y f x x D 的 零点 (zero point)；将“通过每次把( )y f x 的零点所在的小区间收缩一半，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值”的这种方法称作二分法【注意】 零点不是点，函数 )(xfy 的零点就是方程 0)( xf 的解，也就是函数)(xfy 的图像与 x轴交点的横坐标，这是函数方程思想的根本，也是数形结合思想的理论依据.【注意】 一般地，如果函数 ( )y f x 在定义区间 , a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有 ( ) ( ) 0f a f b ，那么在区间 ( , )a b 内至少存在一个实数 c，使得 ( ) 0f c ，也就是在 ( , )a b 内，函数 ( )y f x 至少有一个零点。
