1、中考数学复习之辅助线添加技巧举例三角形中作辅助线的常用方法举例一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例 1：已知如图 1-1：D、E 为ABC 内两点,求证:ABACBDDECE.证明：（法一）将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，在AMN 中，AMAN MDDENE;（1）在BDM 中，MBMDBD； （2）在CEN 中，CNNECE； （3）由（1）（2）（3）得：AMANMBMDCNNEMDDENEBDCEABACBDDEEC （法二：）如图 1-
2、2， 延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G，在ABF 和GFC 和GDE 中有： ABAF BDDGGF （三角形两边之和大于第三边） （1）GFFCGECE（同上）（2）DGGEDE（同上）（3）由（1）（2）（3）得：ABCDENM1图 ABCDEFG21图ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图 2-1：已知 D 为ABC 内的任一点，求证：
3、BDCBAC。分析 ：因为BDC 与BAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使 BDC 处于在外角的位置，BAC 处于在内角的位置；证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时BDC 是EDC 的外角，BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 FBDF 是ABD 的外角BDFBAD，同理，CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，
4、构造全等三角形，如：例如：如图 3-1：已知 AD 为ABC 的中线，且12,34,求证：BECFEF。分析：要证 BECFEF ，可利用三角形三 边关系定理 证明，须把 BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由已知12，34，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等 对应边相等，把EN，FN，EF 移到同一个三角形中。证明：在 DA 上截取 DNDB，连接 NE，NF，则 DNDC，在DBE 和DNE 中： )(21公 共 边已 知辅 助 线 的 作 法EDBNABCDEFG12图 ABCDEFN13图 24DBEDNE （SAS）BENE（全等三角形对应边相等）同理可得：CFNF在EF
5、N 中 ENFNEF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考 虑在角的两边截取相等的 线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图 4-1：AD 为ABC 的中线，且12，34，求证：BECFEF证明：延长 ED 至 M，使 DM=DE，连接 CM，MF。在BDE 和CDM 中， )(1辅 助 线 的 作 法对 顶 角 相 等中 点 的 定 义DECBBDECDM （SAS）又12，34 （已知） 1234180（平角的定义）32=90，即：EDF90FDMEDF 9
6、0在EDF 和MDF 中 )(公 共 边 已 证辅 助 线 的 作 法DFMEEDFMDF （SAS）EFMF （全等三角形对应边相等）在CMF 中，CFCMMF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF注：上题也可加倍 FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通 过延长 加倍此线段，构造全等三角形，使14图 ABCDEFM1234题中分散的条件集中。五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图 5-1：AD 为 ABC 的中线，求证：ABAC2AD。分析：要证 ABAC2AD，由图想到： ABBDAD,ACCDAD ，所以有 ABAC BDCDADAD2A
7、D，左边比要证结论多 BDCD，故不能直接证出此题，而由 2AD想到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，则AE2ADAD 为ABC 的中线 （已知）BDCD （中线定义）在ACD 和EBD 中)()辅 助 线 的 作 法对 顶 角 相 等已 证EDABCACDEBD （SAS）BECA（全等三角形对应边相等）在ABE 中有：ABBEAE（三角形两边之和大于第三边）ABAC2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角
8、三角形，如图 5-2， 求证 EF2AD。六、截长补短法作辅助线。例如：已知如图 6-1：在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任一点。求证：ABACPBPC。分析：要证：ABACPBPC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边 ABAC，故可在 AB 上截取 AN等于 AC，得 ABAC BN， 再连接 PN，则 PCPN，又在ABCDE15图 ABCDEF25图ABCDNMP16图 2PNB 中，PB PN BN，即：ABACPBPC。证明：（截长法）在 AB 上截取 ANAC 连接 PN , 在APN 和APC 中 )(2
9、1公 共 边已 知辅 助 线 的 作 法APCNAPNAPC （SAS）PCPN （全等三角形对应边相等）在BPN 中，有 PBPNBN （三角形两边之差小于第三边）BPPCABAC证明：（补短法） 延长 AC 至 M，使 AMAB，连接 PM，在ABP 和AMP 中 )(21公 共 边已 知辅 助 线 的 作 法APBABPAMP （SAS）PBPM （全等三角形对应边相等）又在PCM 中有：CMPMPC(三角形两边之差小于第三边)ABACPBPC。七、延长已知边构造三角形：例如：如图 7-1：已知 ACBD，ADAC 于 A ，BCBD 于 B， 求证：ADBC分析：欲证 ADBC，先 证
10、分别含有 AD，BC 的三角形全等，有几种方案：ADC 与BCD，AOD 与 BOC，ABD 与 BAC，但根据 现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作 为两个三角形的公共角。证明：分别延长 DA，CB，它们的延长交于 E 点，ADAC BCBD （已知）CAEDBE 90 （垂直的定义）在DBE 与CAE 中 ABCDE17图O )(已 知 已 证公 共 角ACBDEDBECAE （AAS）EDEC EBEA （全等三角形对应边相等）EDEAECEB 即：ADBC。（当条件不足时，可通过添加辅 助线得出新的条件， 为证题创 造条件。 ）八 、连接四边形的对角线，
11、把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 8-1：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知 识，必 须把它 转化为三角形来解决。证明：连接 AC（或 BD）ABCD ADBC （已知）12，34 （两直线平行，内错角相等）在ABC 与CDA 中 )(4321已 证公 共 边已 证CAABCCDA （ASA）ABCD（全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 9-1：在 RtABC 中，ABAC，BAC90，12，CEBD 的延长于 E 。求证：BD2CE 分析：要证 BD2CE，想到要构造线段 2CE，同时
12、 CE与ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长 BA，CE 交于点 F。BECF （已知）BEFBEC90 （垂直的定义） 19图DCBAEF2ABCD18图 234在BEF 与BEC 中， )(21已 证公 共 边已 知BECFBEFBEC（ASA）CE=FE= CF （全等三角形对应边相等）21BAC=90 BECF （已知） BACCAF90 1BDA901BFC90BDABFC在ABD 与ACF 中)(已 知 已 证已 证ACBFDABDACF （AAS）BDCF （全等三角形对应边相等） BD2CE十、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图 10-1；AC、BD
13、 相交于 O 点，且 ABDC，ACBD，求证：AD。分析：要证A D，可证它们所在的三角形ABO 和DCO 全等，而只有 ABDC 和对顶角两个条件，差一个条件， ，难以证其全等，只有另 寻其它的三角形全等，由ABDC，AC BD，若连接 BC，则 ABC 和DCB 全等，所以，证得A D。证明：连接 BC，在ABC 和DCB 中 )(公 共 边已 知已 知CBDAABCDCB (SSS)AD (全等三角形对应边相等)十一、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 11-1：ABDC，AD 求证：ABCDCB。分析：由 ABDC，AD，想到如取 AD 的中点 N，连接 NB，NC，再由 SAS
14、公理有ABNDCN，故 BNCN ，ABN DCN。下面只需证 NBC NCB，再取 BC 的中点CB10图 OM，连接 MN，则 由 SSS 公理有 NBMNCM，所以 NBCNCB。问题得证。证明：取 AD，BC 的中点 N、M，连接 NB，NM，NC。则 AN=DN，BM=CM，在ABN 和DCN中 )()已 知已 知辅 助 线 的 作 法DCABABNDCN （SAS）ABNDCN NBNC （全等三角形对应边、角相等）在NBM 与NCM 中 )(公 共 边 辅 助 线 的 作 法 已 证 NMCBNMBNCM，(SSS) NBCNCB （全等三角形对应角相等）NBCABN NCBDC
15、N 即ABCDCB。1图 DCBAMN巧求三角形中线段的比值例 1. 如图 1，在ABC 中，BD：DC1：3，AE：ED2：3，求AF：FC。解：过点 D 作 DG/AC，交 BF 于点 G 所以 DG：FCBD：BC因为 BD：DC1：3 所以 BD：BC1：4 即 DG：FC1：4，FC4DG因为 DG：AFDE：AE 又因为 AE：ED2：3 所以 DG：AF3：2即 所以AF：FC ：4DG1：6例 2. 如图 2，BCCD，AFFC，求 EF：FD解：过点 C 作 CG/DE 交 AB 于点 G，则有 EF：GCAF：AC因为 AFFC 所以 AF：AC1：2 即 EF：GC1：2
16、， 因为 CG：DEBC：BD 又因为 BCCD所以 BC：BD1：2 CG：DE1：2 即DE2GC因为 FDEDEF 所以 EF：FD小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！例 3. 如图 3，BD：DC1：3，AE：EB2：3，求 AF：FD。解：过点 B 作 BG/AD，交 CE 延长线于点 G。 所以 DF：BGCD：CB因为 BD：DC1：3 所以 CD：CB3：4 即 DF：BG3：4， 因为 AF：BGAE：EB 又因为 AE：EB2：3所以 AF：BG2：3 即所以 AF
17、：DF例 4. 如图 4，BD：DC1：3，AFFD，求 EF：FC。解：过点 D 作 DG/CE，交 AB 于点 G所以 EF：DGAF：AD因为 AFFD 所以 AF：AD1：2 图 4即 EF：DG1：2 因为 DG：CEBD：BC，又因为 BD：CD1：3， 所以 BD：BC1：4即 DG：CE1：4，CE4DG因为 FCCEEF所以 EF：FC 1：7练习：1. 如图 5，BDDC，AE：ED1：5，求 AF：FB。2. 如图 6，AD：DB1：3，AE：EC3：1，求 BF：FC。答案：1、1：10； 2. 9：1二 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可
18、将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一） 、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的
19、规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。如图 1-1，AOC=BOC，如取 OE=OF，并连接 DE、DF，则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例 1 如图 1-2，AB/CD，BE 平分BCD，CE 平分BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD。分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长图 1-1OABDEFC 图 1-2ADB CEF的线段长截取一部分使之等于短的线段。但
20、无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。简证：在此题中可在长线段 BC 上截取 BF=AB，再证明 CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长 BE 与 CD 的延长线交于一点来证明。自已试一试。例 2 已知：如图 1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求证 DCAC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。例 3 已知：如图 1-4，在ABC 中，C=2B,AD 平分
21、BAC，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？练习1 已知在ABC 中，AD 平分BAC，B=2C，求证：AB+BD=AC2 已知：在ABC 中，CAB=2B，AE 平分CAB 交 BC 于 E，AB=2AC，求证：AE=2CE3 已知：在ABC 中，ABAC,AD 为BAC 的平分线，M 为 AD 上任一点。求证：BM-CMAB-AC图 1-3ABCDE图 1-4AB CDE4 已知：D 是ABC 的BAC 的外角的平分线
22、AD 上的任一点，连接 DB、DC。求证：BD+CDAB+AC。（二） 、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例 1 如图 2-1，已知 ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求证：ADC+B=180 分析：可由 C 向BAD 的两边作垂线。近而证ADC与B 之和为平角。例 2 如图 2-2，在ABC 中，A=90 ，AB=AC，ABD=CBD。求证：BC=AB+AD分析：过 D 作 DEBC 于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例 3
23、 已知如图 2-3，ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P。求证：BAC的平分线也经过点 P。分析：连接 AP，证 AP 平分BAC 即可，也就是证 P 到 AB、AC 的距离相等。练习：1如图 2-4AOP=BOP=15 ，PC/OA，PDOA， 如果 PC=4，则 PD=（ ）A 4 B 3 C 2 D 1图 2-1ABCDEF 图 2-2AB CDE图 2-3PAB CMND F图 2-4BO APDC2已知在ABC 中，C=90 ，AD 平分CAB，CD=1.5,DB=2.5.求 AC。3已知：如图 2-5, BAC=CAD,ABAD，CEAB，AE= （AB+AD）.求证：D+
24、B=180 。214.已知：如图 2-6,在正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为 BC 上的点，FAE=DAE。求证：AF=AD+CF。5 已知：如图 2-7，在 RtABC 中，ACB=90 ,CDAB，垂足为 D，AE 平分CAB 交 CD 于 F，过 F 作 FH/AB 交 BC 于 H。求证 CF=BH。（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。 （如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角
25、的另一边相交） 。例 1 已知：如图 3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD 于 D，H 是 BC 中点。求证：DH= （AB-AC）2分析：延长 CD 交 AB 于点 E，则可得全等三角形。问题可证。例 2 已知：如图 3-2，AB=AC，BAC=90 ，AD 为ABC 的平分线，CEBE.求证：BD=2CE。图 2-5ABDCE 图 2-6EAB CDF图 2-7FDCBAEH图 图 3-1ABCDHE图 3-2DABEFC分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例 3已知：如图 3-3 在ABC 中，AD、AE 分别BA
26、C 的内、外角平分线，过顶点 B 作 BFAD，交 AD 的延长线于 F，连结 FC 并延长交 AE 于 M。求证：AM=ME。分析：由 AD、AE 是BAC 内外角平分线，可得 EAAF，从而有 BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例 4 已知：如图 3-4，在ABC 中，AD 平分BAC，AD=AB，CMAD 交 AD延长线于 M。求证：AM= （AB+AC）21分析：题设中给出了角平分线 AD，自然想到以 AD 为轴作对称变换，作ABD 关于 AD 的对称AED，然后只需证 DM= EC，另21外由求证的结果 AM= （AB+AC） ，即 2AM=AB+AC，也21可尝试作ACM 关
27、于 CM 的对称FCM，然后只需证 DF=CF 即可。练习：1 已知：在ABC 中，AB=5，AC=3，D 是 BC 中点，AE 是BAC 的平分线，且 CEAE 于 E，连接 DE，求 DE。2 已知 BE、BF 分别是ABC 的ABC 的内角与外角的平分线，AFBF于 F，AEBE 于 E，连接 EF 分别交 AB、AC 于 M、N，求证 MN= BC21图 3-3DB EFNACM图 3-4nEBAD CMF（四） 、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从
28、而也构造等腰三角形。如图 4-1 和图 4-2 所示。图 4-2图 4-1CA BCBAFIEDHG例 4 如图，ABAC, 1=2，求证：ABACBDCD。例 5 如图，BCBA，BD 平分ABC，且 AD=CD，求证：A+C=180。例 6 如图，ABCD，AE、DE 分别平分BAD 各ADE，求证：AD=AB+CD。12ACDBB DCAA BECD练习：1. 已知，如图，C=2A，AC=2BC。求证：ABC 是直角三角形。2已知：如图，AB=2AC，1=2，DA=DB，求证：DCAC3已知 CE、AD 是ABC 的角平分线，B=60，求证：AC=AE+CD4已知：如图在ABC 中，A=
29、90，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，求证：BC=AB+ADCA BAB CDAEB D CAB DC1 2三 由线段和差想到的辅助线口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证
30、不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例 1、 已知如图 1-1：D、E 为ABC 内两点,求证 :AB+ACBD+DE+CE.证明：（法一）将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，在AMN 中，AM+ANMD+DE+NE;（1）在BDM 中，MB+MDBD；（2）在CEN 中，CN+NECE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+ACBD+DE+EC（法二：图 1-2）延长 BD 交 AC 于 F，廷长 CE 交 BF 于 G，在ABF和GF
31、C 和GDE 中有：AB+AFBD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）（1）GF+FCGE+CE（同上） （2）ABCDENM1图 ABCDEFG21图 ABCDEFG12图DG+GEDE（同上） （3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+EC。二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图 2-1：已知 D 为 ABC 内的任一点，求证： BDC BAC。
32、分析 ：因为BDC 与BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC 处于在外角的位置，BAC 处于在内角的位置；证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时BDC 是EDC 的外角，BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC证法二：连接 AD，并廷长交 BC 于 F，这时BDF 是ABD 的外角，BDFBAD，同理，CDFCAD，BDF+CDFBAD+CAD，即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，
33、构造全等三角形，如：例如：如图 3-1：已知 AD 为 ABC 的中线，且 1= 2, 3= 4,求证： BE+CFEF。分析 ：要证 BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE，CF， EF 移到同一个三角形中，而由已知1= 2 ，3= 4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN ，EF 移到同个三角形中。证明：在 DN 上截取 DN=DB，连接 NE，NF，则 DN=DC，ABCDEFN13图 24在DBE 和NDE 中：DN=DB（辅助线作法）1=2（已知）ED=ED（公共边）DBENDE（SAS）BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF
34、=NF在EFN 中 EN+FNEF（三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。四、 截长补短法作辅助线。例如：已知如图 6-1：在ABC 中，ABAC，1=2，P 为 AD上任一点求证： AB-ACPB-PC。分析 ：要证：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边 AB-AC，故可在 AB 上截取 AN 等于 AC，得 AB-AC=BN，再连接 PN，则 PC=PN，又在PNB 中，PB-PNPB-PC
35、。证明：（截长法）在 AB 上截取 AN=AC 连接 PN,在APN 和 APC 中AN=AC（辅 助线作法）1=2（已知）AP=AP（公共边）APNAPC（SAS）,PC=PN（全等三角形对应边相等）在BPN 中，有 PB-PNPM-PC(三角形两边 之差小于第三边)AB-ACPB-PC。例 1如图，AC 平分BAD，CEAB，且B+D=180，求证：AE=AD+BE。例 2 如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，AD+AB=2AE，求证：ADC+B=180DAE CBA E BCDABCDNMP16图 2例 3 已知：如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，
36、A=108，BD 平分 ABC。求证：BC=AB+DC。例 4 如图，已知 RtABC 中，ACB=90，AD 是CAB 的平分线，DMAB于 M，且 AM=MB。求证：CD= DB。211如图，ABCD，AE、DE 分别平分BAD 各ADE，求证：AD=AB+CD。2.如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过 A 的一条直线，且 B，C在 AE 的异侧，BDAE 于 D，CEAE 于 E。求证：BD=DE+CE四 由中点想到的辅助线 口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。DCBAMBDCAED CBA在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点
37、，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。（一） 、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图 1，AD 是 ABC 的中线，则 SABD =SACD = SABC （因为 ABD 与 ACD 是等底同高的）。例 1如图 2，ABC 中，AD 是中线，延长 AD 到 E，使 DE=AD，DF 是 DCE的中线。已知 ABC 的面积为 2，求：CDF 的面积。解：因为 AD 是 ABC 的中线，所以 SACD = SABC = 2=1，又因 CD 是 ACE 的中线，故 SCDE =
38、SACD =1，因 DF 是 CDE 的中线，所以 SCDF = SCDE = 1= 。CDF 的面积为 。（二） 、由中点应想到利用三角形的中位线例 2如图 3，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，BA、CD 的延长线分别交 EF 的延长线 G、H。求证：BGE=CHE。证明：连结 BD，并取 BD 的中点为 M，连结 ME、MF，ME 是 BCD 的中位线，ME CD，MEF=CHE，MF 是 ABD 的中位线，MF AB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，从而BGE=CHE。（三） 、由中线应想到延长中线例 3图 4，已知 ABC
39、 中，AB=5，AC=3，连 BC 上的中线 AD=2，求 BC 的长。解：延长 AD 到 E，使 DE=AD，则 AE=2AD=22=4。在 ACD 和 EBD 中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，AC=BE，从而 BE=AC=3。在 ABE 中，因 AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90，BD= = = ，故 BC=2BD=2 。例 4如图 5，已知 ABC 中，AD 是BAC 的平分线，AD 又是 BC 边上的中线。求证：ABC 是等腰三角形。证明：延长 AD 到 E，使 DE=AD。仿例 3 可证：BEDCAD，故 EB=AC，E=2，又1=2，1=
40、E，AB=EB，从而 AB=AC，即 ABC 是等腰三角形。（四） 、直角三角形斜边中线的性质例 5如图 6，已知梯形 ABCD 中，AB/DC，ACBC，ADBD，求证：AC=BD。证明：取 AB 的中点 E，连结 DE、CE，则 DE、CE 分别为 RtABD，RtABC斜边 AB 上的中线，故 DE=CE= AB，因此CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在 ADE 和 BCE 中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，从而梯形 ABCD 是等腰梯形，因此 AC=BD。（五） 、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例 6如图 7，ABC
41、是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC于点 D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。证明：延长 BA，CE 交于点 F，在 BEF 和 BEC 中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，EF=EC，从而 CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3。在 ABD 和 ACF 中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。注：此例中 BE 是等腰 BCF 的底边 CF 的中线。（六）中线延长口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结
42、，便可得到全等三角形。例一：如图 4-1：AD 为ABC 的中线，且1=2，3=4，求证：BE+CFEF。证明：廷长 ED 至 M，使 DM=DE，连接 CM，MF。在BDE 和CDM 中，BD=CD（中点定义）1=5（对顶角相等）ED=MD（辅助线作法）BDECDM（SAS）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180（平角的定义）3+2=90即：EDF=90FDM=EDF=90在EDF 和MDF 中ED=MD（辅助线作法）EDF=FDM（已证）DF=DF（公共边）EDFMDF（SAS）EF=MF（全等三角形对应边相等）在CMF 中，CF+CMMF（三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF
43、上题也可加倍 FD，证法同上。注意 ：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。例二：如图 5-1：AD 为ABC 的中线，求证：AB+AC2AD。14图 ABCDEFM1234分析：要证 AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有 AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左边比要证结论多 BD+CD，故不能直接证出此题，而由 2AD 想到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，CEAD 为ABC 的中线（已知）BD=CD（中线定义）在A
44、CD 和EBD 中BD=CD（已证）1=2（对顶角相等）AD=ED（辅助线作法）ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）在ABE 中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）AB+AC2AD。练习：1 如图，AB=6，AC=8，D 为 BC 的中点，求 AD 的取值范围。2 如图，AB=CD，E 为 BC 的中点，BAC=BCA，求证：AD=2AE。3 如图，AB=AC，AD=AE，M 为 BE 中点，BAC=DAE=90。求证：AMDC。ABCDE15图DM CD EDADBDBAD C86B E C DA4，已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC
45、 边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图 5-2，求证 EF=2AD。5已知：如图 AD 为ABC 的中线，AE=EF，求证：BF=AC 五 全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。ABCDEF25图AB D CEFD CBAEDFCBA常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作
