1、第四章,弯曲内力,4.1 平面弯曲的概念,4.2 梁的内力剪力和弯矩,4.4 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系及其应用,4.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,4.5 平面刚架和曲杆的内力,目 录,4.1平面弯曲的概念,当杆件受到垂直于杆轴线的外力(通常称为横向力)或外力偶(外力偶的向量垂直于杆轴)作用时，杆件将主要发生弯曲变形。,工程上：以弯曲为主要变形的杆件，通常均称为梁,1.产生弯曲变形的外力,变形特点：（1）直杆的轴线变弯；（2）任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。,纵向对称面,2.平面弯曲的概念,梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合的这种弯曲称为平面弯曲。也有的教材称为对
2、称弯曲。,3.梁上外力,包括：,荷载：,支座反力：,4.梁的类型,1、简支梁 一端为固定铰支座一端为活动铰支座。,3、悬臂梁 一端固定支座一端自由。,4、中间铰梁,5、超静定梁,支座反力的个数多于平衡方程的个数,2、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。,4.2 梁的内力剪力和弯矩,取左：,得,Fs称为剪力，它是横截面上切向分布内力的合力。,M称为弯矩，它是横截面上法向分布内力的合力偶矩。,取右：,剪力、弯矩正负号规定：,1、剪力FS,左上右下为正,使微段发生左边向上、右边向下的相对错动时，剪力为正。,2、弯矩M,使微段发生上凹下凸的弯曲变形，亦即梁的上部受压，下部受拉时，其弯矩为正。,上凹下凸
3、为正,直接通过外力来判断剪力弯矩的正负号,外力F对指定截面形心顺时针错动引起正剪力，反之为负,设想把欲求截面固定，外力使分离体下侧受拉弯矩为正，反之为负,例4-1 求图示外伸梁在1-1、2-2、3-3、4-4横截面上的的剪力和弯矩,解：,（1）求支反力,校核：,(支反力计算正确),（2）求各截面的剪力和弯矩,1-1截面：,例4-1 求图示外伸梁在1-1、2-2、3-3、4-4横截面上的的剪力和弯矩,2-2截面：,3-3截面：,4-4截面：,例4-1 求图示外伸梁在1-1、2-2、3-3、4-4横截面上的的剪力和弯矩,直接法：,例4- 2 求图示指定截面的剪力和弯矩。,解： (1)求支座反力,以
4、AB为研究对象，由平衡方程易得,(2)用直接法求剪力和弯矩,11截面,22截面,33截面,44截面,比较1、2截面的剪力可知，在集中力F作用处，其相邻两个截面的FS值不同。,比较3、4截面的弯矩可知，在集中力偶Me作用处，其相邻两个截面的M值不同。,例4-3 求图示指定截面的剪力和弯矩。,解 ：(1)求支座反力,先以CD为研究对象，然后在以AC为研究对象，由平衡方程易得,(2)用直接法求剪力和弯矩,11截面,22截面,33截面,例4-4 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为q0，试求C截面上的剪力和弯矩。,解： （1） 求支反力,解得：,（2） 求C截面上的剪力和弯矩,注意：,在
5、求C截面的内力时，不能预先将分布荷载用合力代替。,练习：,1. 求图示结构中D、B右截面的剪力和弯矩。,解：,（1）计算支座反力,解得：,（2）计算D、B右截面的剪力和弯矩,(a),(b),2. 求图示(a)、(b)两种结构中指定截面的剪力和弯矩。,解：,4.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,由前面的例题可以看出，在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随横截面的位置而变化的。,若沿梁轴方向选取x坐标表示横截面位置，则梁的各横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即,为能一目了然地看出梁的各横截面上的剪力和弯矩随截面位置而变化的情况，可仿照轴力图和扭矩图的作法，会出剪力和弯矩图。,绘图时，
6、以x为横坐标，表示各横截面的位置，以FS或M为纵坐标，表示相应横截面的剪力或弯矩值。其中M图向下为正。,例4-5,试列出图示悬臂梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。,解：,(1) 写出剪力方程和弯矩方程,FS(x)为一常量，故剪力图为一条水平直线。,M(x)为x的一次函数，故弯矩图为一条斜直线。,(2) 作剪力图和弯矩图,解：,（1）求支反力,（2）写出剪力方程和弯矩方程为,例4-6 试列出图示简支梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。,（3）绘剪力图和弯矩图,解：,（1）求支反力,（2）分段写出剪力方程和弯矩方程,CB段：,例4-7 试列出图示简支梁的剪力方程和弯矩方程，并
7、作出剪力图和弯矩图。,AC段：,（3）绘剪力图和弯矩图,集中力,例4-8 试列出图示简支梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。,解：,（1）求支反力,（2）分段写出剪力方程和弯矩方程,CB段：,AC段：,（3）绘剪力图和弯矩图,集中力偶,C,练习：,3. 作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图。,由此可以绘出剪力图和弯矩图,例4-9 绘图示梁的剪力图和弯矩图。,解：,（1）求支反力,（2）分段写剪力方程和弯矩方程,AC段：,CB段：,（3）作剪力图和弯矩图,4.4 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用,(略去二阶微量),规定：坐标原点取在左端，q(x)向上为正。,微段平衡方程：,讨论：,1.
8、(1)(2)(3)式称为弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系。,2. 几何意义：,(1)式表明：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处的集度,(2)式表明：弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处的剪力,3. 推论,(a、b两个截面间的分布荷载图的面积),(a、b两个截面间的剪力图的面积),应用：,一. 利用微分关系校核剪力图和弯矩图,(1) 由q(x)变化检查FS、M图,(a) 在q(x)=0的段上，FS图为水平直线，M图为斜直线（或水平直线）,(b) 在q(x)=q(常数)的段上，FS图为斜直线，M图为二次曲线,(2) 在FS=0截面处，M有极值，此处弯矩图切线的斜率为零。,(3) 集中力作用处，FS图
9、发生突变，突变量=该集中力的大小，M图有尖角。,(4) 集中力偶作用处，M图发生突变，突变量=该集中力偶的大小，FS图不变。,二. 利用微分关系作剪力图和弯矩图（简易法）,步骤：,1. 求支座反力（悬臂梁可不求）,2. 求控制截面的剪力和弯矩值。,（控制截面指的是集中力、集中力偶作用处，均布荷载的起点和终点）,3. 按微分关系连线，得剪力图和弯矩图。,例4-10 利用M、FS和q间的关系校核图示悬臂梁的FS、M图。,q0的情形：,B,A,qconst的情形：,q,q,例4-11 利用M、FS和q间的关系校核图示简支梁的FS、M图。,解：,(1) 校核支反力,(2) 校核剪力图,(3) 校核弯矩
10、图,C,例4-12 作图示梁的剪力弯矩图。,解： (1) 求支反力,(2) 求控制截面的剪力和弯矩,(3) 按微分关系连线，得FS、M图,例4-13 作图示梁的剪力、弯矩图。,解：,（1）求控制截面的剪力和弯矩,（2）绘剪力、弯矩图,解：,容易求出支反力：,作梁的剪力图和弯矩图。,例4-14,B,A,C,D,2m,3m,1m,例4-15 作图示梁的剪力弯矩图。,解：由整体法求出支反力,1.25,20,练习 试利用荷载集度，剪力和弯矩之间的微分关系做下列各梁的剪力图和弯矩图。,（a）,（c）,（d）,例4-16 作图示梁的剪力弯矩图。,解：(1) 求支反力,(2) 求控制截面的剪力和弯矩,(3)
11、 绘剪力、弯矩图,例4-17 一梁受载如图所示。试求:(1)作弯矩图；(2)若从弯矩方面考虑，a/l为多少最合理？,解：（1）绘弯矩图,最大正弯矩：,最大负弯矩：,（2）求a/l,合理条件：,即：,此时：,若,若,4.5 平面刚架和曲杆的内力图,一、平面刚架,1. 平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。特点：刚架各杆的内力有：FS、M、FN。,2. 内力图规定：弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但须注明正、负号。,例4-18 试作图示刚架的内力图。,F1,F2,a,l,A,B,C,FN 图,F2,FS 图,F1,F1,F1a,M 图,F1a,F1a+ F2 l,例4-19 已知：如图所示，F及R 。试绘制FS、M、FN 图。,F,解：建立极坐标，O为极点，OB极轴，q表示截面mm的位置。,A,B,轴线为曲线的杆件，内力情况及绘制方法与平面刚架相同。,二、平面曲杆,F,A,B,M图,FS图,FN图,2FR,F,F,F,
