1、第六章 二次型与对称矩阵,二次型及其对称矩阵在数学理论、数值计算及工程应 用中都占有重要地位。,1 二次型及其矩阵,在解析几何中，为了便于研究二次曲线,的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换：,把方程化为标准形,(1)的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只有平方项。这样的问题，在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。,现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。,4.1 二次型概念,定义1.1 含有n个变量x1 , x2 ,xn的二次齐次函数,其中,（1）,1、二次型的矩阵形式,其中,1）称A为二次型
2、 f 的矩阵，显然 A=AT;2）A=(aij), 若 aij 为复数，称 f 为复二次型；3）A=(aij), 若 aij 为实数，称 f 为实二次型；4）称为R(A)为二次型 f 的秩。,（2）,例 1. 把下面的二次型写成矩阵形式：,2、线性变换,定义1.2 把变量x1,x2, ,xn化为变量y1,y2,yn的一组 线性关系式,叫做由变量x1,x2, ,xn化为变量y1,y2,yn的一个线性变换。,若记,则线性变换可表示为,x=Py。 （3）,上式中的矩阵P称为该变换的系数矩阵。当P可逆时，（3） 称为可逆的线性变换；当P不可逆时，（3）称为不可逆的 线性变换。当线性变换（3）可逆时，线
3、性变换,y=P-1x (4),称为（3）式的逆变换。,设x=Py是可逆的线性变换将二次型化为,f =(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y。,令 B=PTAP，则B是对称矩阵，yTBy是新变量y1,y2, ,yn的 一个二次型。变换前后两个二次型矩阵A、B间的这种关系 称为合同关系。,定义1.3 对于n阶矩阵A、B,如果有n阶可逆矩阵P使得,PTAP=B,则称矩阵A、B是合同（或相合），记为A B。对方阵A进行的运算PTAP称为对A的合同变换， P称为合同因子。,显然，合同矩阵具有如下性质：,2）对称性：若A B，则 B A；,1）反身性：若A A ；,3）传递性：若A B， B C,则A
4、C;,4）若A B，则R(A)=R(B);,5）若A B，且A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵。,合同与相似是两个互相独立的概念。合同的矩阵未 必相似，相似的矩阵也未必合同。但是，对于实对称矩阵 A，当合同因子P是正交矩阵时，由于P-1= PT，所以对A的 合同变换与相似变换是一致的。,显然，如果二次型xTAx经可逆的线性变换 x=Py化为 二次型 yTBy，则必有A B，即,f(x)= xTAx=(Py)TA(Py)=yTPTAPy=yTBy。,综上所述，二次型f(x)= xTAx能用可逆的线性变换x=Py 化为yTBy的充分必要条件是有可逆矩阵P，使PTAP=B。,2二次型的标准形,定义2.1
5、 称只含有平方项的二次型,为二次型的标准型（或法式）。,显然，一个二次型为标准形的充分必要条件是它的矩 阵为对角矩阵。,（5）,所谓一般二次型的化简问题，就是寻找一个可逆的线性变换：,定理2.1 设A为n阶对称矩阵，二次型f(x)= xTAx能用 可逆线性变换x=Py化为标准形（5）的充分必要条件是存 在 n阶可逆矩阵P使PTAP=B=ding(1,2, ，n).,定理2.1告诉我们，二次型经可逆线性变换化为标准形 的问题与对称矩阵化为对角矩阵的问题实质上是同一问题。,显然，经可逆变换 x=C y 把 f 化成 yTC TACy ，C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。,2.1 用正交变
6、换化实二次型为标准形,定理2.2 对于任意的n元二次型f(x)= xTAx，必有正交 变换x=Py，使f化为标准形,其中1,2, ，n恰是A的全部特征值。,证明 由于A为n阶对称矩阵。由第五章定理5.3知有n阶 正交矩阵P，使得,PTAP=P-1AP= ding(1,2, ，n)，,其中1,2, ，n恰是A的全部特征值。由定理2.1便知 定理成立。,应用定理2.2求实二次型f(x)= xTAx标准型问题，其实 质上就是用正交变换化实对称矩阵A为对角矩阵的问题。,经过上面的讨论，总结用正交变换化二次型为标准型的一般步骤：,1、将二次型 写成矩阵形式；,2、由|A-E|=0，求出A的全部特征值；,
7、4把求出的n个两两正交的单位向量，拼成正交矩阵P,作正交变换x=Py;,5、用x=Py，把f 化成标准型,解 1）二次型的矩阵为,例2. 求一个正交变换x=Py，把二次型,得A的特征值为1=-3，2=3= 4=1，,由(A-E)x =0,求A的全部特征向量，当1=-3时，解 方程(A-3E)x =0.,得基础解系,单位化，得,k2,k3,k4不同时为零.,取,单位化，得,（4）令P=(p1,p2,p3,p4),于是得正交变换x=Py,即,5）用正交变换x=Py将f化成标准形,2.2用配方法化二次型为标准形,解 由于 f 中含有的平方项，故把含有 x1 的项归为一类，配方得：,所用的线性变换为,则该变换把f化成标准形为,例2 用配方法化二次型,成标准型，并求出所用的可逆的线性变换.,解 在f中不含有平方项，由于含有x1,x2的乘积项，故令,代入可得,所用的线性变换为,则该变换把f化成标准形,
