1、第八章 等参数单元,要 点采用等参数单元的意义等参数名称的来由如何根据形函数的特性建立位移函数数值积分采用高斯积分法,8-1 如何提高有限元法计算精度 采用等参数单元,第八章 等参数单元,8-1-1 采用等参数单元的意义,1. 找到结构物实际变形的模式,然后取与实际变形模式一致的单元离散结构物。 2. 从三角形单元到矩形单元,随着单元位移函数中变量幂次的增加则单元内应力位移的计算精度提高,所以就需要找一些高阶的多项式作为单元的位移模式建立新的单元。常用的多项式是根据杨辉三角形的次序建立的。 3. 由于项数取得多就必须增加单元的自由度,即增加单元节点,于是就出现了等参数单元。,8-1-2 等参数
2、单元,第八章 等参数单元,每一种等参数单元有二种形式:一种形式在局部座标 或 中,是以边长为2的正方形单元或边长为2的立方体单元用作计算称为母单元;另一种形式在整体座标 x y或x y z中,通过母单元映射到整体座标上的单元用于离散结构物称为子单元。由于母单元上的位移函数与座标变换的函数具有相同的参数。这就是等参数单元名称的来由。,母单元 的位移函数: 座标变换的映射关系:,第八章 等参数单元,8-2 平面等参数单元,8-2-1 四边形四节点等参数单元,四边形四节点单元位移模式:,其中,母单元,若以母单元上12边为例,通过映射可得在平面内任一直线,12边的方程为 = -1,代入,第八章 等参数
3、单元,通过局部座标与整体座标的映射关系把母单元变换到整体座标上成为一个任意四边形用于离散结构物,它能适合于任意曲边的形状。,同理可得,第八章 等参数单元,把以参数 代表的 x方程和 y方程消去 ,则得 x , y 所组成的直线方程y=kx+b 所以母单元上的四个边都可以通过映射在x, y座标面上得出一个任意四边形,用该四边形离散结构物。,四边形四节点 单元的应变,第八章 等参数单元,i = 1,2,3,4,其中,其中,第八章 等参数单元,由于形函数 N 是 x, y的函数,现对, 求导,这是复合函数求导,把上二式写成矩阵形式,其中,第八章 等参数单元,称为雅可比(Jacobian)矩阵 为了把
4、 Bi矩阵中的Ni,x和 Ni,y化成 Ni,和 Ni, ,则代入下式,其中雅可比矩阵的逆阵由下式给出,也可把形函数Ni对的, 偏导数写成通式:i= 1,2,3,4,第八章 等参数单元,四边形四节点 单元的应力,对于平面应力情况,第八章 等参数单元,四边形四节点单元的刚度矩阵Ke:,Ke可划分成四行四列的子矩阵 :,i, j = 1,2,3,4,对于平面应力情况:,第八章 等参数单元,等效节点力计算:1. 集中力的等效节点力:由于计算复杂,把有集中力处设置为节点。2. 体枳力的等效节点力:,3. 表面力的等效节点力:,第八章 等参数单元,展开后,i= 1,2,3,4,单元上某一点的节点力,由于
5、表面力的运算是曲线积分,所以常把 qx ,qy化成切线,第八章 等参数单元,展开后,单元上某一点的节点力,i=1,2,3,4,第八章 等参数单元,把用 , 表示 qx , qy的代入,i=1 ,2 3. 4,若以母单元上的34边为例,则 =1,i= 3,4,母单元是以2为边长的正方形具有八个节点,由于节点多,则采用的多项式也可多,因此它具有更高的精度,它对应的子单元在直角坐标 x, y中是一个曲边四边形。,第八章 等参数单元,8-2-2 四边形八节点等参数单元,可知,N1(1 , 1)=1, N1(j ,j )=0 (j=2,3,4,5,6,7,8)从母单元上可知直线263,直线374,直线5
6、8,通过 (2,3,4,5,6,7,8)点,它们的方程分别为=1, =1, +1=0,可构造下列连乘式 (1)(-1)(+1) 是双二次函数,第八章 等参数单元,四边形八节点等参数单元的位移模式:,根据形函数的性质,构造形态函数Ni (i= 1,2,3,8) ,可知形函数的幂次与位移函数一致,是一个双二次函数,所以Ni( , )也是一个双二次函数。 现在构造N1( , )。由形函数的性质,因此确定了N1有上述形式,且满足在(2,3,4,5,6,7,8)点等于0,但是还必须满足N1在 1点等于1,所以N1可由下式表达:,第八章 等参数单元,同理可得,构造N5(, ) ,它在点 1,2,3,4,6
7、,7,8 的值为0, 线14,线 34, 线23过上述七点,它们的方程分别为+1=0, -1=0, -1=0, 由上述三个方程 (+1)(-1)(-1 ) 连乘构成 N5(, ), 它必须满足N5 (, ) 在点 5等于1。,第八章 等参数单元,同理可得,得到了形函数后,母单元与子单元的转换关系也可得到:x=Nixi, y= Niyi 根据上二式可把 , 座标下正方形母单元转换成在 x,y 座标中的曲边四边形,第八章 等参数单元,由形函数的性质所构造的单元位移模式,也必须满足 Ni=1,所以八节点四边形的位移模式如下:,第八章 等参数单元,若母单元上任一边263,其方程为 =1 ,通过映射可得
8、在x,y座标中的一抛物线。由于x= Nixi, 把 Ni 代入,同理可得,消去,可得一抛物线方程,i = 1,2,3,4,5,6,7,8,第八章 等参数单元,四边形八节点等参数单元的应变,与四节点四边形一样可得几何矩阵Bi:,把上式反解出用Ni, , Ni,表示 Ni,x ,Ni,y,第八章 等参数单元,其中,四边形八节点单元的应力,Ke可划分成八行八列的子矩阵 :,第八章 等参数单元,其中应力矩阵 Si如下: 对于平面应力,i=1,2,8,四边形八节点单元的刚度矩阵Ke:,Ke有16行16列元素组成的矩阵:,第八章 等参数单元,等效节点力计算:1. 集中力的等效节点力:由于计算复杂把有集中力
9、处设置为节点。2. 体积力的等效节点力:,第八章 等参数单元,其中,对于平面应力,i=1,2,3,4,5,6,7,8,展开后,i= 1,2,3,4,5,6,7,8,第八章 等参数单元,单元上某一点的节点力,3. 表面力的等效节点力:,第八章 等参数单元,展开后,i=1,2,3,4,5,6,7,8,由于表面力的运算是曲线积分,所以常把 qx ,qy化成切线,单元上某一点的节点力,把用 , 表示的qx, qy代入i=1 ,2 3.4,5,6,7,8 若以母单元上的374边为例,则 =1i= 3,7,4,第八章 等参数单元,8-3 轴对称四边形八节点等参数单元,第八章 等参数单元,由于轴对称问题比平
10、面问题多了周向应变与周向应力,而出现了奇异性,所以我们就重点讨论如何消除奇异性。,写成矩阵形式,第八章 等参数单元,当 r=0, 以 代替,求解是否收敛还需看位移函数是否满足三个条件:位移函数中包含有刚体位移位移函数中包含有常应变位移函数内部连续和边界协调 由于刚体位移和常应变状态可写成下列形式:,第八章 等参数单元,8-4 等参数单元的收敛性,但上二式可化成下式:,根据形函数的性质: Ni=1,第八章 等参数单元,所以构成的位移函数包含刚体位移和常应变 多项式在单元内部无奇异点,所以连续。相邻单元的边界上可由线上节点座标唯一确定,而母单元相邻边界都是直线,且形函数相同,所以交界线上的位移由节
11、点位移唯一确定,相邻单元连续。,则上二式都化成,六面体 20节点等参数单元母单元是边长为2的立方体,通过映射可得一曲面六面体,第八章 等参数单元,8-5 空间等参数单元,三维等参数单元的位移函数,第八章 等参数单元,根据形函数特性建立位移模式:,第八章 等参数单元,形函数Ni与位移函数具有相同的幂次。 先构造N1 (, , , ): Ni (, , , ) 在2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.12,13,14,15,16,17,18,19,20点的值为零,在1点的值为 1。在点2, 10, 3, 19, 7,14, 6,18 所组成的平面其方程为-1=0,在点5,13,6,14,7,
12、15,8,16 所组成的平面其方程为-1=0,在点4,11,3,19,7,15,8,20 所组成的平面其方程为-1=0, 在点9,12,17所组成的平面其方程为+2=0,所以可得,第八章 等参数单元,在母单元各顶点都可通过类似的方法获得形函数,再建 立各边中点的形函数N9,第八章 等参数单元,因此可得出的N1,N2,N20 的 形函数:,i=1,2,3,4,5,6,7,8,i=10,12,14,16,i= 9,11,13,15,i= 17,18,19,20,三维等参数单元的应变,第八章 等参数单元,座标变换的公式也由Ni式确定:x=Ni(,)xi y= Ni(,)yi z= Ni(,)zi,三
13、维等参数单元的应力:,第八章 等参数单元,通过下式变换:,J*称为J的伴随矩阵,它的元素Jij*是J元素Jji 代数余子式。,=DBe Si=DBi i=1,2,3,20,Si可由下式表达:,第八章 等参数单元,三维等参数单元的刚度矩阵Ke是一个20行20列的子矩阵,每一个Kij子矩阵具有3行3列三维等参数单元等效节点力的计算体积力的等效节点力,第八章 等参数单元,i=1,2,320,表面力的等效节点力:ds是表面上的微元, 如果是在 =1的面上ds化成dd。,第八章 等参数单元,高斯数值积分法是优化选择积分点(xi)和积分权函数 (Wi),使积分计算公式为: 一维高斯积分:,第八章 等参数单
14、元,8-6 高斯积分法,一般若取n个积分点就有n个xi和n个Wi,的值,共2n个值,因此若是f(x)是2n-1次的多项式,那末该积分式就可得到完全精确的数值,关键是如何选取xi和Wi。现以n=2为例,即取2个积分点,则可使f(x)具有2n-1次的多项式的积分取得精确解,我们就需找出x1,x2,W1,W2四个数。 f(x)是一个三次式,f(x)可取则,第八章 等参数单元,利用多项式系数相同可列出方程求解x1, x2,W1,W2,根据系数相同可得四个方程,求出x1,x2,W1,W2W1+W2=2, W1x1+W2x2=0W1x12+W2x22=2/3 W1x13+W2x23=0 可得 x1=-x2=-0.57735 W1=W2=1.000000,二维和三维高斯积分:1. 二维高斯积分,第八章 等参数单元,可根据一维公式推出,先对x积分,把y看成常数,再对y进行积分:,2. 三维高斯积分:,第八章 等参数单元,