1、电磁场理论复习题（1）一、填空与简答1、 既有大小、又有方向的量叫矢量。只有大小、而没有方向的量叫标量。2、在直角坐标系中，一个矢性函数和三个有序的数性函数（坐标）构成一一对应的关系。3、若 为矢量函数， 为标量函数， ，BA,udtBAdt)(， ，dtAtudt)( B)(，如果 ，)(,(tudtu4、 表示哈密顿算子（W.R. Hamilton） ，即 。数量场 梯度和 zeyxeu矢量场 的散度和旋度可表示为 ， ， 。Au gradA ivArot 4、奥氏公式及斯托克斯公式可为 ， dVsAS)( dSllS)(。5、亥姆霍兹（H.Von Helmholtz）定理指出：用散度和旋
2、度能唯一地确定一个矢量场。6、 高斯定理描述通过一个闭合面的电场强度的通量与闭合面内电荷的关系，即：SQdE07、 电偶极子（electric dipole）是指相距很近的两个等值异号的电荷，它是一个矢量，方向是由正电荷指向负电荷。8、 根据物质的电特性，可将其分为导电物质和绝缘物质，后者简称为介质。极化介质产生的电位可以看作是等效体分布电荷和面分布电荷在真空中共同产生的。等效体电荷密度和面电荷密度分别为 ， 。)()(rPrnrSP)(9、 在静电场中，电位移矢量的法向分量在通过界面时一般不连续，即 ，sD)(12电场强度的切向分量在边界两侧是连续的，即 。0)(12En10、 凡是静电场不
3、为零的空间中都存储着静电能，静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间的。场中任一点的能量密度为 。Ewe2111、 欧姆定理的微分形式表明，任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即。导体内任一点的热功率密度与该点的电场强度的平方成正比，即 。EJ p12、 在恒定电场中，电流密度 J 在通过界面时其法向分量连续，电场强度的切向分量连续，即 ， 。0)(12En0)(12Jn13、 磁感应强度通过任意曲面的通量恒为零，这一性质叫磁通连续性原理，它表明，磁感应强度是一个无源的场。14、 在恒定磁场中，磁感应强度的法向分量在分界面两侧连续，而其磁场强度的切向分量一般在分
4、界面两侧不连续，即： ， 。0)(12BnsJHn)(1215、 静电场的唯一性定理表明：在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程必定唯一。16、 采用镜像法解决静电场问题时应注意以下三点：（1）镜像电荷是虚拟电荷；（2）镜像电荷置于所求区域之外的附近区域；（3）导体是等位面。17、 电磁感应现象说明，穿过一条回路的磁通发生变化时，在这个回路中将有感应电动势的出现，并在回路中产生电流。18、 麦克斯韦方程组的物理意义为：（1）时变磁场将产生电场（2）电流和时变电场都会产生磁场，即变化的电场和传导电流是磁场的源（3）电场是有通量的源，穿过任一封闭面的电通量等于此面所包围的自由电荷电量（4）磁场
5、无“通量源” ，即磁场不可能由磁荷产生，穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。19、 高频电磁场只能存在于良导体表面的一个薄层内，这种现象称为集肤效应。20、 电磁波的相速度随频率的变化而变化的现象称为色散。当群速度小于相速度的这类色散称为正常色散，反之为非正常色散。21、 电场强度的方向随时间变化的方式称为电磁波的极化。电磁波的极化可分为三种，线极化、圆极化和椭圆极化。22、 圆极化波具有两个与应用有关的重要性质：（1）当圆极化如射到对称目标上时，反射波变为反旋向的波，即左旋波变为右旋波，右旋波变为左旋波（2）天线若辐射左旋极化波，则只能接收左旋极化波，反之，天线若辐射右旋极化波，则只能接收右旋极
6、化波。这种现象称为圆极化天线的旋向正交性。23、 根据导行波中有无纵向分量，导行波可分为：（1）横电磁波即 TEM 波（2）横电波即 TE 波或磁波 H 波（3 ）横磁波即 TM 或电波 E 波。24、 天线一般具有下列功能：（1）能量转化（2）定向辐射或接收（3）具有适当的极化（4）天线应与波导装置匹配。25、 电基本振子是一段载有高频电流的短导线，其长度远小于工作波长，导线上各点的高频电流大小相等，相位相同。26、 描述天线性能的电参数主要有：方向图，主瓣宽度，旁瓣电平，方向系数，极化特性，天线效率，频带宽度，输入阻抗。二、证明与计算1、设 u 是空间 x,y,z 的函数，证明：（1） ，
7、 （2） ， （3）udff)( duA)( duA)(证明：（1） fzefyefxef zufyufxfez )(zuyxfdf（2） =)()()()( uAzyuAx zuAyuxz)()()(= du（3） )()()()()( xuzuezuyue zxyzx =)()(Axyz dA2、 （1）应用高斯定理证明： VSffd（2）应用斯托克斯定理证明： lS证明：（1）设 d 为任意的常矢量，有 ，VVfdf)()(由矢量公式 ，所以有：)()( ffff d，根据高斯定理有VVd )()(fdSV所以 故得证。Sff)()( Ssf)(Sfsd（2）设 d 为任意的常矢量，有
8、)()(SSS d由矢量公式 =)所以 )(dSS根据斯托克斯定理有 lddld所以， ，于是有 证毕。lSlS3、证明格林（Green）第一公式 及格林第二公式VvuvuS )()(，其中dVduvS)( 22zyx证明：应用奥氏公式 ，取 有SAsvu格林第一公式得证。 dVdvudsvuS )()()(同理有 ，将该式与格林第一公式相减可得格林第二dVuvdSuvS)()(公式。4、证明：（1） ；（2） ；（3） 。其中3RR()AR，A 为一常矢量。xyzRe证： ()()3xyzxyzxyzee()()()00y yzxzxx yzRReeeee设 ，其中 为常数，有xyzAA,x
9、yzA()()z zxyzReeeA) (xyzzxyzee5、计算半径为 a，电荷线密度为 的均匀带电圆环在轴线上的电场强度。)(rl解：取圆环位于 xoy 平面，圆环中心与坐标原点重合,zeryxesinco,2aRdlazaezerEyxl2032)(sinco4)(zla320)(6、设有一个半径为 a 的球，其中充满体电荷密度为 C/m3 的电荷，球内外的介电常数均V为 ，求：（1）球内、外的电场强度；（2）验证静电场的两个基本方程；（3）球内、0外的电位分布。解：（1）因为电荷分布为均匀的球体，所以具有球对称性，即在与带电球同心，半径为 r的高斯面上，E 是常数。当 ra 时，有
10、，即 V/m。03224VSarEd rVeaE2032（2）采用球坐标散度、旋度公式。因为球内、外电场强度只是 r 的坐标，所以，1sin1rrerEr)(12当 ra 时有0V 0E（3）选无限远处为参考电，当 ra 时有 Vrr027、导体球及与其同心的导体球壳构成一个双导体系统。若导体球的半径为 a，球壳的内半径为 b，壳的厚度可以忽略不计，求电位系数、电容系数和部分电容。解：设导体球带电量为 q1，球壳带总电荷为零，无限远处的电位为零，由对称性可得，014pa120124qpb因此有 ，p01 021设导体球的总电荷为零，球壳带电荷为 q2，可得， ，因此210214qpb04pbb
11、qp02124电容系数矩阵等于电位系数矩阵的逆矩阵，所以有， ，ab01ab021ab2024部分电容为 ， ，121C2112C218、一同轴线的内、外导体半径分别为 a 和 b，内外导体之间填充两种绝缘材料，在aa 时，其包围的电流为 I，当 时有arIeJz,0,2 ar，即 ，当 时有，2IB20IreBarIeB2011、同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为 b，外导体的内半径为 c，设内、外导体分别流过的反向电流为 I，两导体间的介质的磁导率为 ，求各区域的 H、 B、 M。解：对于良导体一般取其磁导率为 0，因为同轴导体无限长，则其磁场沿轴线无变化，该磁场仅有 方向的分量其
12、大小为 r 的函数。应用安培环路定理当 ra 时， ，在该区域磁导率为 02aIreH故 ，并由于该区域为理想导体，故20BM=0当 a0）的媒质参数为0,1,1rr；区域 1 中的电场强度为0,2,512rrV/m)5cos(2)5cos(6 881 ztzteEx 区域 2 中的电场强度为： V/m0AeEx求（1）常数 A；（2）说明磁场强度的边界条件，并计算 H1和 H2；（3）证明在 z=0 处H1和 H2满足边界条件；xyP1(a,b)P2(a,-b)P3(-a,b)P4(-a,-b)P(x,y,z)解：（1）在无损耗媒质的分界面 z=0 处，有， ，由于 E1和 E2正好为切向电
13、场，在)105cos(88teEx )105cos(82tAeEx切向方向电场连续，故 A=80V/m。（2）根据麦克斯韦方程： ，得到 ，因此tHtety，因此)510sin()510sin(31 8811 ztztetEtHryy A/mcos.)50cos(6.0 881 tztey 同理： A/m17.82 t（3）对于第二问，取 z=0，有 H1=H2，这说明在分界面上磁场强度连续，满足边界条件。16、已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量为 V/m，式jkzyeEz0)(中 k 及 E0为常数，求：（ 1）磁场强度的复矢量；（2）坡印廷矢量的瞬时值；（2）平均坡印廷矢量。
14、解：（1）由 得：j0)(Re),(tjztz)cos(0kztkexzjxzjyz jEEtjzEjzH 0000 )(1)()(（2）电场、磁场强度的瞬时值为：，)cos()(Re),( 0kzteztzEytj, 0tEHt xtj 故，坡印廷矢量的瞬时值为： )(cos),(),(),( 20kztkEetzHttzSz（3）平均坡印廷矢量为： )(Re21*Eav (R1)0jkzjkzyex0202kekzz17、已知无界理想媒质（= 0，= 0，=0）中，正弦均匀平面电磁波的频率 f=108Hz，电场强度为： V/m34jkeyjkzxeE求：（1）均匀平面电磁波的相速度 vp，
15、波长 ，相移常数 k 和波阻抗；（2）电场强度和磁场强度的瞬时表达式；（3）与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。解：（1） m/s， m810931rpv108fvprad/m，2pvk 4920r（2） A/m)3(1jkzxjkzyeeEjH电场强度和磁场强度的瞬时值为V/m)3210cos()20cos(4Re)( 88 ztzttEyxtj )210cos()313 8ztee ytj A/m（3）复坡印廷矢量为= W/m2)4010()34(21 3* jkzxjkzyjkzeyjkzx eeeHES 165z坡印廷矢量的时间平均值为 W/m265RzavS与电磁波传播方
16、向垂直的单位面积上通过的平均功率为 W/m2165SavvdP18、已知海水的 r=1，=1S.m -1，试计算频率为 50Hz，10 6Hz，10 9Hz 的三种电磁波在海水中的透射深度。解：可近似地认为海水为良导体，故而，其趋肤深度为 f2当频率为 50Hz 时，有 m；7)104.35014.3( 2当频率为 106Hz 时，有 m；5.162 当频率为 109Hz 时，有 m；32793 06)( 19、有两个频率和振幅都相等的单频率的平面波沿 z 轴传播，一个波沿 x 轴方向偏振，另一个沿 y 轴方向偏振，但相位比前者超前 /2，求合成波的偏振，一个圆偏振可以分解为怎样的两个线极化？
17、解：根据题义，已知的两个单频平面波可表示为：， =)(01tkzjxeE)2(02tkzjyeE)(0tkzjyeEj合成波为： ，为右旋圆极化波。)(1 tkzjxj事实上合成波可分为：， ，从而有)cos(0kztEx)sin(0kztEy120Eyx上式说明，一个圆极化波是由两个极化方向垂直，一个的相位超前于另一个相位 /2 的平面波合成。反之，一个圆极化波可分解为上述的两个平面波。电磁场复习题（2）2、已知 取何值时，A 为无源场。222()()(),xyzAeaebecxabc解：若一个矢量函数的散度为零，则该矢量所代表的场为无源场。 222()()()20zxbyczxy 要满足上
18、式应有 ，所以0,0abc1,0abc3、一半径为 a 的圆环，环上均匀分布电荷，密度为 。求轴线上任一点的电场。/lCm解：如图所示。圆环上线元 ，其电量为： dlalldq在轴线上 P 产生的场为 dE，由于电荷分布的轴对称性，与 dl 相对应的线元 dl，在 P 点的场为 dE，dE 与 dE叠加后只有 z 方向的分量。 22300cos4()4()l lzaazdEdd23230 0(/)()()l lzzVmz4、两个无限长的 r=a 和 r=b(ba)的同轴圆柱表面分别带有面电荷密度 1 和 2。 （1）计算各处的 E；（2）于使 rb 处的 E=0，则 1 和 2 应具有什么关系
19、？解：（1）利用高斯定理 求解0sqEdArb： 12123 300,rlblablEOax yzdldEdEP（2）令 E3=0，则 12ba5、已知，同轴电缆内、外导体半径为 a 和 b，其间填充两层介质，介质分界面半径为 r0，内外导体间加电压为 V，求（ 1）各层介质的电场强度 E；（2）算出各层介质中的最大场强（3）欲使二层介质中最大场强相等，两层介质应满足什么关系？解：（1）设同轴电缆单位长带电荷 根据高斯定理可得：l12,llErr内、外导体间的电压为 00 012120(lnl)rblarrbUEda，从而的 E1 和 E20120lnllrba（2）各层介质最大场强出现在 r
20、=a,r=r0 处则 ，1max0120(lnl)UErba2max002120(lnl)Urba（3）由 ，有1max2ax12r6、不均匀电介质在没有自由电荷时，可能带有束缚电荷体密度。试导出束缚电荷体密度的表达式。解：束缚电荷体密度为 。00()PDEE由于电介质中无自由电荷，所以： ，得：，又0EDE利用适量恒等式： ，令 ，得到：()AA,E，0所以束缚电荷体密度为： 00E7、两层介质的同轴电缆，介质分界面为同轴圆柱，内导体半径为 a，分界面半径为 b，外导体内半径 c，两层介质的介电常数为 ，漏电导分别为 ，当外加电压 U0 时12和 12和计算：（1）介质中的电场强度；（2）分
21、界面上的自由电荷面密度；（3）单位长度的电容及漏电导。解：（1）因电流连续，两层介质中的单位长度的总电流必然相等，设为 I，所以有：1212,rrIIE外加电压： 12120lnlbcrrabIbIcUEda，则012lnlIcab0 01 2121212,(ll)(lnl)r rUUeEecbcrba（2）由 可得，内导体表面电荷面密度为：nD1012|(lln)raUEbca外导体表面电荷面密度为： 2021|(lnl)rcUEbca分界面上的电荷面密度为： 2012121| ()(lln)nrbDcb（3）设单位长同轴总电流为 I，电压为 U0，则电阻为：，2102lnlbcUaRI0G
22、R8、两无限长直导线，放置于 x=1,y=0 和 x=-1,y=0 处，与 z 轴平行，通过电流 I，方向相反。求此两线电流在 xy 平面上任意点的 B。解：应用安培环路定律分别求出无限长直导线的场，然后再叠加。设沿+z 方向的电流的场为 B1,沿-z 方向的电流的场为 B2，其分量为-I IxyOr2r1PB2B120110)(2)sin(2yxIrIBx 20101 )(1)(coIIy 20202 )(sinyxIrIBx 20202 )1(coIIy所以， 2221, yxyyxx BBB9、一宽度为 b 的无限长薄带线，通过电流 I，求中心线上空与带线距离为 a 的点 P 的 B解：
23、由于 P 点在对带线是在对称面上，因此 P 点的磁感应强度只有 x 分量，即，xBedx 宽度的带线中的电流为 dxbI它在 P 点的分量为： dxbIaIrdBx )(2cos2s200所以整个带线在 P 点的场为 IedxbIabx rctn)(022010、两个长的矩形线圈，放置在同一平面上，长度各为 l1 和 l2，宽度各为 w1 和 w2，两线圈最近的边的距离为 S，并且这两线圈只有 1 匝，求其互感。解：设在上面回路的电流为 I1，它在下面回路内 r 处产生的磁感应强度为： )(210wrB与回路 2 交链的磁通为： )1(ln2)1( 120211012 wsIdrrlIws 12IMxOab/2 b/2P dBdxl1l2w1w2sr13、已知真空中传播的平面波电场为： ，求此波的波长、频率、象)2cos(10ztEx速度、磁场强度、波阻抗以及平均能流密度矢量。解： ，所以波长2k频率为： （Hz）8103cf相速度为： smv/0波阻抗为： )(120磁场强度为： （A/m）)2cos(65.000 zteEnHyxz 电场、磁场的复矢量为： zjyzjxHe2.,1平均能流密度矢量为： 2*)/(613)R(mWeSzav
