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第五章 经济学模型--华东理工大学数学建模课件.ppt

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资源描述

1、2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,第五章 经济学模型,5.1 厂商利润极大化均衡模型 5.2 寡占市场的价格领导模型 5.3 垄断厂商对要素的需求模型 5.4 完全竞争厂商对要素的需求模型 5.5 效用极大化的消费者选择模型 5.6 最优成本组合与厂商长期成本模型 5.7 价格歧视,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,厂商利润极大化均衡模型,市场论中不同类型市场的特点 完全竞争市场的特点 垄断竞争市场的特点 寡占市场的特点 厂商在不同类型市场中的利润极大化均衡模型分析,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,一、完全竞争市场

2、的特点在常人心目中,竞争让人想起商场上你死我活的斗争,如:福特汽车公司与通用汽车公司,松下电器与索尼电器都是老竞争对手,每家公司在作出决策时,都要考虑自己的行动会如何引起竞争对手的反应和对策。然而,在经济学模型中,完全竞争的定义却与通常意义上的竞争相差甚远。在一个完全竞争的行业中,每家厂商都失去了自己的个性,并且不必考虑自己的行为会给整个市场带来什么影响,因为每一家厂商在市场中所占份额都是微不足道的,更精确的说,经济学意义的完全竞争市场必须符合以下四个条件。,市场论中不同类型市场的特点,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,1、大量的买主和卖主。在市场的买方和卖方两边都必

3、须有大量的参与者,从而任何一名买者或卖者都不会在市场占显著的份额,均无法 通过自己的买卖行为来影响总产量或市场价格。即完全竞争市场上每个人都是价格接受者,即厂商将市场价格看作是与自己产量无关的既定变量,所以每个厂商都面临一条从截距为市场价格P的水平需求曲线。只要厂商人数较多,且没有串谋,价格接受者的假设基本成立。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,2、资源完全自由流动。当外部条件(如产品价格等)发生变化时,产业发生相应的调整往往会带来部分资源进入或退出该行业。当行业扩张时,新的劳动、土地、能源、资金等会流入该行业,而当行业收缩时,原行业内的部分资源又会流出该行业另觅出

4、路。一个完人竞争的市场要求资源进入或退出该行业没有人为的壁垒,如,执照特许等。还有自然因素也会带来资源转移的壁垒。如有些行业规模经济十分显著,要建立一个大规模的企业,但需要有十分雄厚的财力基础,这在事实上给绝大多数潜在进入者设置了障碍,称为自然垄断(Natural Monopoly)。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,3、同质产品。在完全竞争市场上,所有厂商都生产同一种标准化产品,在消费者眼里,购买不管那家厂商的产品都没有差异的。所以整个行业的总产量就等于单个厂商的产品相加。产品的同质性(Homogeneity)是市场统一价格的前提,若甲厂商生产的面粉与乙厂商生产的

5、面粉被认为是完全同质的,完全可替代的,那么甲厂商不可能定价比乙厂家高,否则他会一袋面粉也卖不出去。,(,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,4、生产者和消费者都拥有充分的信息。在完全竞争市场上,所有与该产品的信息都是完全公开的,生产者和消费者可据此作出正确的决策。对生产者来说,有关信息包括产品的生产方法,投入要素的价格以及产品的价格等;对消费者来说,有关信息包括他们自己的偏好,产品价格等,此外消费者有时也是生产要素的供应者,他们必须知道自己供应的要素可得到多少报酬。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,虽然可能没有一种行业能完全满足这些条件(可能

6、只有一些标准化产品市场,如初级产品,农产品比较接近完全竞争),但完全竞争模型不失为微观经济学理论中最关键的部分。现实情况或多或少完全偏离了完全竞争的假设前提,但运用完全竞争理论的扩展和延伸模型来分析,有时并没有太大的影响。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,二、垄断竞争市场的特点,垄断正好是完全竞争的反面,在完全竞争市场上,许多厂商生常一种同质产品,不同厂商的产品之间可以完全替代,而垄断则是某种产品只有唯一的一家生产者,因这种产品没有良好的替代品。所以垄断厂商的产量就是行业的产量,垄断厂商面临的需求曲线就是行业的需求曲线。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技

7、术系,数学建模,垄断厂商的产品没有相近的替代品,若存在替代品,该厂商不得不和别的厂商进行竞争而没有完全控制市场的能力。如,松下电器公司是生产松下电器的唯一厂商,但它并不是垄断者,因为索尼,东芝,菲力浦电器均是其非常相近的替代品,若松下公司冒然提价,便会轻易地失去相当部分的市场份额。当然,怎么样的替代品才能构成竞争具有一定的模糊性。如,1956年美国政府曾根据谢尔曼反垄断法起诉杜邦公司,因为杜邦公司在玻璃纸市场销售额中占75%,有垄断的嫌疑。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,但最后法院判杜邦公司无罪,因为主要用于包装的玻璃纸有许多的替代品,如蜡纸、塑料纸、锡箔纸等,若

8、把所有的包装纸包括在内,杜邦的市场份额就降到了20,还不能购成垄断。再如,不少经济学家认为区域性的发电厂在照明能源上具有垄断地位,因为煤油灯、蜡烛虽然是电灯的替代品,但实在算不上良好或相近的替代品,所以在判断垄断是否成立时,必须全面考虑替代品的存在和替代性的强度。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,厂商要成为永久的垄断者,还必须设置很多的壁垒,使其他厂商不可能进入该行业,即使目前的垄断者享有巨额利润。所以垄断厂商是某种产品唯一的生产者,无论该产品的价格的高低,该厂商都将是唯一的生产者。从这个标准来看,一家米店就不是垄断者,因为若他涨价过高,马上会有竞争者开第二家米店。

9、那么什么原因引起垄断的存在。五种原因被认为是造成垄断的经典原因。(1)对投入品(原材料)的控制。资源的垄断带来了产品的垄断,比如“石油输出国组织”该组织成员国占据了全世界原油储量的近70%,所以能在相当程度上操作世界原油价格。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,不过严格地说,该组织并不是单个垄断者,而是一种卡特尔。4个核心国家(沙特、科威特、伊朗和委内瑞拉)占了欧佩克石油储量的四分之三以上(在某个行业中,若几个主要的厂商联手限制产量、操作价格,以实现垄断利润。称这种联合为卡特尔(cartel),它能使一个竞争市场变成垄断市场。一般地,没有哪一个卡特尔对经济造成严重影响

10、,从经济学的角度来分析,卡特尔失败是因为其内在不稳定性。首先,卡特尔内部的每一家厂商都有强烈的欺骗动机。卡特尔的高价格是通过限制产量来实现的,但每个成员都希望只享受卡特尔的好处高价格,,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,而不付出代价限制产量。使所有成员遵守卡特尔协定是卡特尔的最大难题。其次,卡特尔成员之间在重大决策下很难达成一致。(产量的分配、市场的瓜分和利润的分享)因为厂商规模大小各异,成本高低悬殊,发展目标不同等等问题各执一词,吵嚷不休,很难达成一致。最后,卡特尔的高额利润会引致外来厂商进入,若卡特尔成功地通过限产来提价,但若卡特尔无法阻止外来厂商进入,外来厂商会

11、迅速填补完全竞争产量与卡特尔产量之间的空白,所以卡特尔最后不但失去了垄断利润,而且将自己的市场份额拱手送给了外商。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,(2)规模经济。在有些行业。规模报酬递增阶段一直持续到很高的产量,以至于由一家厂商来供应整个市场 的成本要比几家厂商瓜分市场的生产成本低得多,这种情况称之为“自然垄断”,如许多公用行业,供电,供水,电话,通讯等。 (3)专利。专利是政府和法律容许的一种垄断形式,因为专利禁止了其他人生产某种产品或使用某项技术。除非经专利持有人的同意。 (4)执照和特许,很多情况下,未经政府特许,一般人不能涉足某些行业:如邮政、广播电视、军

12、工、烟草专卖等。使这些行业通过政府特许或执照、偏离了竞争性行业的要求,而具有垄断的特点。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,(5)进入时滞。即使进入某种行业不存在人为壁垒,至少还需要一定的时间。如,大名鼎鼎的雷偌公司在1945年发明了圆珠笔,当时圆珠笔竟售价12.45¥,虽然成本仅1¥,如此暴利自然让许多制笔厂趋之若骛,但仅1年以后牌号多达10O多种,3年后圆珠笔价格降到了1¥以下。然而在这段时间里雷偌公司品尝了垄断者的滋味。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,垄断竞争市场的特点完全竞争和垄断分别是市场结构的两个极端,但在现实中,常常碰到的是

13、各种中间状态,垄断竞争市场和寡占市场就是两种中间市场结构,前者更接近完全竞争市场,而后者更接近垄断市场。 1993年,美国麻省理工学院张伯伦总结了垄断竞争市场的以下特点: 大量的买者和卖者,但不同厂商的产品在消费者眼中是有差异的; 不同厂商的产品是良好的替代品。绝大多数消费品,如,服装,家用电器。牙膏等。基本上具有垄断竞争的市场的特点; 厂商的可以自由进入或退出该行业; 厂商行为相对独立。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,三、寡占市场的特点,在寡占(Oligopoly)市场上,少数几个大规模厂商占据整个行业或行业的大部分产业,他们的产品可能是同质的,也可能是有差别的

14、,这样的行业有:汽车,钢铁,飞机制造等。如,世界上制造飞机的主要有三大公司:欧洲客车,波音和麦道公司。寡占行业通常是规模经济比较显著的行业,厂商之间主要采取非价格竞争的方法。打价格战的结果只能是两败俱伤。为了解释这一现象,美国经济学家斯威齐(PAUL SWEZZY)在三十年代提出了“拗折的需求曲线模型”(The kinked Demand curve model).,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,“拗折的需求曲线模型”(The kinked Demand curve model).,“悲观主义”模型:总是假设对厂商最为不利的情况会发生,即无论厂商采取什么行动,竞争

15、对手总是做出对厂商不利的反应。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,厂商在不同类型市场中的 利润极大化均衡模型 总利润为总收益(TR)与总成本(TC)之差:1.在完全竞争市场上 对单个厂商来说,价格P是既定不变的,令P=PO 则: 式极大化的一阶条件为:,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,为了保证符合式的产量Q带来利润极大值而不是极小值,二阶条件为: 只要边际成本是递增的,式则成立。对完全竞争厂商来说,利润极大化产量为价格与处于上升阶段的边际成本相等时的产量。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,2.在垄断竞争市场上对产

16、商来说,价格P不再是既定不变的,而是产量Q的函数 总利润函数为: 式达到极大值的一阶条件为:事实上,式为一切市场结构中厂商利润极大化的均衡条件,只不过在完全竞争市场中,所以(6)式简化为(3)式,MC=P;而在垄断 市场中,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,“价格歧视模型”,价格,垄断厂商的需求函数,产量,P,P-P,0,Q Q+Q,D,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,垄断厂商的边际收益不仅与价格有关,而且与需求弹性有关。作为价格制定者的垄断厂商,向不同的买者集团索取不同的 价格,若这些不同的价格并非因为成本不同造成,称这种做法为价格歧视(

17、price discrimination),它不同于诸如种族,性别歧视那样名声狼藉。如公园门票儿童半价,假期学生探亲火车票对折,深更半夜打长途电话便宜等,都是价格歧视。但并不是在任何情况下都能实行价格歧视,实行歧视性价格需要以下三个条件:,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,1.生产者必须拥有一定的垄断势力。若一家有严重性别歧视倾向的肥皂厂商对男性顾客索价高于女性顾客,那么男性顾客只要到别处购买就能逃避这种歧视。在一个完全竞争市场上,任何索价高于通行价格的行为都将导致失去所有顾客。2.实行价格歧视必须能够防止不同购买者集团之间重新买卖或交换这种产品。如丰田汽车公司在新型

18、车的广告中,对年龄过60岁的老人打8折优惠,公司发现前来购车的都是老头老太虽然几天后是他们的孙儿孙女们开着新车满街兜风。正是这个原因,实现价格歧视的大多数是一些一次性消费的商品或服务,如电影,打电话,用电等。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,3.前两个条件只是保证歧视性价格可行,不同购买者集团的需求弹性不同则是保证价格歧视有利可图。若有两组顾客A和B,A组的需求弹性为2.5,B组的需求弹性为5,若一开始垄断厂商制定了统一的价格10元,则MRA=10(1-)=6元 MRB=10(1-=8元少卖一单位给A组厂商仅损失6元但多卖一单位给B组厂商多收入8元。所以厂商应进一步

19、增加对B组的销售,而厂商只能降低对B组的售价并提高对A组的售价。当来自两组的边际收益相等时,厂商总利润达到极大化,此时,厂商对需求弹性较低的顾客组(A组)收取较高的价格,,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,对需求弹性较高的顾客组(B组)收取较低的价格。价格歧视的优劣很难判断,因为与单一的价格相比,价格歧视损害了低需求弹性组(A组)消费者的利益,而有利于高需求弹性组(B组)的消费者。一般的低收入者比高收入者对价格更敏感(需求弹性高)所以在低收入的社会,价格歧视可能会得到许多人的赞许。另外,价格歧视还经常出现在国际贸易中的倾销,因为国际市场需求弹性一般大于国内市场。,20

20、19/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,所以垄断厂商常常国内国外区别定价,同一商品出口价格要低于国内售价。如,日本被认为是倾销嫌疑最大的国家,80年代末90年代初日元价格升值强劲国内价格若折算成美元或其它货币几乎翻了一倍,为了保住国外市场日本厂商将出口产品的美元定价保持在日币升值前的水平,这样两者价格日趋扩大,构成了价格歧视。不过近年来日本厂商也碰到了这样一个问题:一些人将日本出口到美国的产品再运回日本出售还有利可图,这便是价格歧视的第二个条件在起作用。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,3.在寡占市场上,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术

21、系,数学建模,在某些寡占行业中,存在一家实力雄厚的大厂商和一家(或几家)小厂商,前者是主导厂商(Dominant firm)或领导者,后者则是追随着。这表现在追随厂商将领导厂商的产量当作是既定不变的并按照完全竞争原则确定自己的产量;而领导厂商则按照市场需求与追随厂商产量之差来确定自己的利润极大化产量。这一模型称为斯塔科伯格模型是德国经济学家斯塔科伯格在30年代提出来的。,寡占市场的价格领导模型,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,“寡占市场的价格领导模型”在主导厂商模型中,以下标1代表主导厂商,下标2代表追随厂商,则追随厂商的利润极大化问题为:Max (1),追随厂商的

22、供给函数y2=S(P),2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,主导厂商的剩余需求函数R(P)为市场需求D(P)减去追随厂商的供给S(P),即R(p)=D(P)S(P) 令主导厂商的边际成本是常数C1,则主导厂商的目标为:Max =(P-C1)R(P)(2) 如,D(P)=a-bp, C2(y2)=/2, C1(y1) =M C1y1=C1y1 对追随厂商来说,利润极大化产量为:,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,Max = Max = P-y2=p-MC2(y2)=0相应的供给函数为y2=S(P)=P(3) 主导厂商的剩余需求函数为:y1=R(P

23、2)=D(P)-S(P)=a-bp(b+1)p(4)(4)式写成价格P作为主导厂商y1的函数:,(,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,由(5)式,则(2)式的均衡条件为:MR1=MC1=C1,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,主导厂商均衡产量为:Y*1= (6),=,将(6)式代入(5)式得市场均衡价格为P*= (7),2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,将(7)式代入(3)式得追随厂商的产量为: Y*2=P*=,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,厂商对要素的需求模型,完全竞争厂商对要素的需求

24、模型 垄断厂商对要素的需求模型,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,在两要素模型中,假定Q=Q(L,K),L的价格为w,K的价格为r,则成本C=wL+rK。又假定最终产品的市场价格为P。一阶条件为:,一、完全竞争厂商对要素的需求模型,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,(3)、(4)式便是完全竞争厂商对要素的需求的均衡条件:要素的边际价值产品=要素价格。,(1),(2)式也可写成:,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,在柯布道格拉斯生产函数,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,(5)/(6)得,(,

25、代入(5)式,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,由(7)可得,并代入(6)式,K*=,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,二、垄断厂商对要素的需求模型,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,每个消费者的行为都取决于两方面的因素:一是消费者的主观态度,即消费者对某种商品组合的偏好程度;二是消费者的客观能力,即以消费者的现实收入购买一定价格的商品或商品组合的能力。 效用就是对某一商品的组合的消费中得到的满足感的主观衡量,其衡量单位是任意的,一个单位的效用代表消费者得到了一份主观上的满足感。总效用(Total Utihty “T

26、U”):消费者从商品和服务的消费中得到满足的总量,而边际效用(Marginal Utility “MU”):,效用极大化下的消费选择模型,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,每增加一个单位消费量所引起的总效用的增量,即消费最后一个单位商品和服务所带来的效用增量。总效用(TU)和边际效用(MU)随着消费的增加,消费者总效用增加,但边际效用递减。边际效用为正,意味着增加消费能带来总效用增加,当边际效用为负时,人们会停止消费,因为此时提供的不是主观上的满足感,而是厌恶和痛苦。如,在食品的消费中人们总是适可而止,若不是参加吃喝比赛,一般人是不会过量饮食的。,2019/6/15东

27、华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,若用数学语言描述如下:设商品X的效用函数为:TU=U(x),边际效用为:MU=MU=,和0效用函数的一阶导数,即边际效用大于零表示随着X的增加,总效用也相应增加,效用函数的二阶导数小于0则表示随着X的增加,边际效用递减。无差异曲线:带给消费者的效用相同的所有商品组合组成的曲线,即同一条无差异曲线上的所有商品组合,消费者的偏好程度是完全相同的,或者说,消费者觉得它们在效用上是没有差异的。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,无差异曲线,U,B,D,C,A,O,食物,衣服,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,边

28、际替代率:在维持效用水平不变的前提下,消费者增加一单位某种商品的消费数量时所需要的放弃的另一种商品的消费数量,称为商品的边际替代率。记为这里,当 时,为无差异曲线的斜率商品的边际替代率是递减的,在几何上表现为无差异曲线凸向原点(解释略),2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,消费者偏好纯属个人的意愿,但是愿望并不等于现实,消费者的消费选择时,必须顾及预算方面的约束,这种约束是由收入和价格两方面构成的。(客观能力约束) 如设定某人一星期的收入I为100元,食物的价格为5元一份,衣服的价格为10元一件,若不考虑储蓄因素,那么,他将所有的钱均花在食物上,可消费20份食物;若将所

29、有的收入花在衣服上,可消费10件衣服。也可将部分收入花在食物上,部分花在衣服上,比如,消费6份食物和7件衣服。或10份食物和5件衣服等等。把所有可能组合画在坐标图上,便可得到一条预算约束线。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,预算约束线:消费者既定收入所能消费的两种商品的所有可能组合。即:,为预算约束线,B(,),C(,),A(,),O,食物(),衣服(),(,),2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,预算约束线显示了消费者的收入所能购买的两种商品的所有可能组合,其斜率为两种商品的价格之比。 预算约束线给出了消费者可以选择的区域的界限,图中,MN

30、线以下的区域(包括MN线本身)内任何一点所代表的商品组合都是消费者的收入可以承担的,在MN线上的点正好让消费者耗尽所有的收入,而在MN线以内的点,如C点,消费者可得到3份食物和2件衣服,则消费者的收入还有剩余。但在MN线以外的点,如D点,消费者可得到10份食物和10件衣服,则是消费者力所不能及的消费组合,预算约束线说明了资源的稀缺性,消费者不能无止尽地消费,无论他的偏好多么强烈,他只能在预算约束线划定的范围内进行选择。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,预算约束线MN斜率为负,其绝对值为纵截距与横截距之比,即所以预算约束线的斜率为两种商品的价格之比,或一种商品对另一种

31、商品的相对价格。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,效用极大化下的消费选择模型,消费者如何在即定的预算约束线 下寻求效用 极大化?即:由lagrange乘数法解得:,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,()式的经济含义:每种商品的边际效用与自身价格之比都相等且lagrange乘数 恰好等于货币的边际效用 ()式的经济含义:两种商品边际效用之比等于两种商品的价格之比,而前者又等于边际替代率MRSxy,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,假定小麦的生产需要投入两种要素:劳动(L)和土地(N),那么等产量线就是一条由用技术上有

32、效的方法生产一定产量的所有劳动和土地的可能组合点所组成的一条曲线。如图,等产量线Q(100)表示要生产100单位的小麦,既可用1单位劳动和5单位土地,也可用3单位劳动和2单位土地,前者是一种粗放式经营法,后者则是一种相对精耕细作的办法。,最优成本组合与厂商长期成本模型,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,土地,等产量线,Q(100),劳动力,5,2,0,1,3,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,等产量线显示了生产一定产量的各种不同投入要素组合方法,事实上就是生产函数的图象表述。等产量曲线上各点切线的斜率称之为边际技术替代率(Marginal R

33、ate of Technicnl Substitution, “MRTS”)即:MRTSLN=N/L或MRTS LN=dN/dL其经济意义:为了保持产量不变,增加1单位某种投入要素(如劳动)可以相应减少的另一种要素(如土地)的投入。,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,因为同一条等产量线上产量不变,所以增加L劳动所带来的增加的产量LMPL应与减少N土地带来减少的产量NMR N相等,即: LMPL=NMR N N/L= MPL /MR N= MRTS LN所以边际技术替代率等于两种要素的边际产量之比。因为随着劳动的增加,劳动的边际产量递减,而同时相应的土地的减少使土地的边

34、际生产力上升,所以上式中的边际技术替代率是递减的,反映在图象上,对产量曲线具有凸的形状。,(,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,假定厂商只有两种投入要素K和L,生产函数为y=f(k,L),两种要素的价格分别为r和w,则最优成本问题是要解决下面条件极值问题: 建立拉格朗日函数:L=RK+WL+(1) (2)(3),2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,由(1)(2)可得边际技术替代率=两种要素的边际产量之比=两种要素的价格之比, 从(1)、(2)、(3)式,可解出K和L作为产量y和要素价格r,w的函数:由(4a)(4b)可以得出厂商长期总成本关于产

35、量和要素价格的函数:TC=RK(r.w.y)+WL(r.w.y)=TC(r.w.y),2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,下面通过一种具体的生产模型来说明上述推导过程,这种生产函数就是柯希.道格拉斯生产函数,这是一种十分特殊而有用的函数。其形式为:y=f(K,L)= (a,b为常系数)当a+b1表现为规模报酬递增 当a+b 1 表现为规模报酬不变当a+b1表现为规模报酬递减现在最优成本组合问题可变成:,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,由(1)(2)(3)式可得:(6)xK,(7)xL,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模

36、,将(11)(12)代入(8)求出 :(13)将(13)代入(11)、(12)可解出K和L:,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,(14)(15)式即为最优成本组合下的两种投入元素,将(14)(15)代入(5)式,可得厂商最优成本组合下的长期总成本: TC=rK+wL=,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,若a+b=1即在相当长一段产量区域内规模报酬不变. 则(16)式简化成:TC=,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,若垄断厂商认为它的顾客分为两大组,需求函数分别为Q1=Q1(p1)和Q2=Q2(p2),为计算方便。设两

37、种需求函数为P1(Q1)和P2(Q2)而厂商的总成本C是总产量Q=Q1+Q2的函数。若该产品市场符合实行价格歧视的条件,则厂商的利润极大化问题为: MaxP1(Q1)Q1+P2(Q2)Q2-C(Q1+ Q2) 上式分别对Q1和Q2求导并令其等于0,得极值的一阶条件:MR1(Q1)=MC(Q1+Q2)(1)MR2(Q2)=MC(Q1+Q2)(2),价格歧视模型,2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,垄断市场上,MR=P 所以(1)(2)式 可写成由(3)(4),2019/6/15东华理工学院数信学院信息技术系,数学建模,由(5)可知,若所以垄断厂商应对需求弹性较高的那个顾客组(B组)索取较低的价格;而对需求弹性较低那个顾客组(A组)索取高价。,

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