1、弹性力学基本方程,平面应力问题,平面应变问题,1、平衡微分方程,（2-2）,同左,（2个）,2、几何方程（3个）,同左,3、物理方程（3个）,用下式代换：,2 6 边界条件,对于上述所谈及的两种平面问题： 平衡方程（22） 2个 几何方程（28） 3个 八个方程 物理方程（212）3个 可解 未知量:,注:虽然八个偏微分方程可解八个未知函数,但由于在求解过程中会产生积分常数;故,要想得出具体的解答还必需利用边界条件来确定积分常数。,一.位移边界条件,二、应力边界条件应力分量与面力分量之间的关系在全部边界上应力边界条件已知。,是位移的边界值； 边界上坐标的已知函数或边界上已知的位移分量。,在位移
2、边界问题中，物体在全部边界上的位移分量是已知的，即：,式中,.在边界上取直三棱柱（单位厚度）如图所示：,弹性体内单元体斜面上的应力分量与坐标面应力的关系有,单元体斜面恰为边界面则面力分量与坐标面应力的关系有应力边界条件,即有：,2.特例-边界面与坐标轴平行时,(1)左右两面：,o,x,上面：,l=0,，,m=,-,1,左面：,右面：,l=,-,1,l=1,m=0,m=0,下面：,l=0,，,m=1,y,(2)在上下两面,A.在边界上，应力分量的边界值等于对应的面力分量,且正坐标面取正,负坐标面取负。,B.边界上的面力转变为应力分量其正负号规定:正面正向、负面负向为正，其余为负。,例1 如图所示
3、，试写出其边界条件。,x,y,a,h,h,q,(1),(2),(3),(4),例2,如图所示，试写出其边界条件。,(1),A,B,C,x,y,h,p(x),p0,l,AB段（y = 0）：,代入边界条件公式，有,(2),BC段（x = l）：,(3),AC段（y =x tan ）:,例3,图示水坝，试写出其边界条件。,左侧面：,由应力边界条件公式，有,右侧面：,例4,图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。,解：, 平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。即,AB 边界：,由应力边界条件公式，有,（1）,AC 边界：,代入应力边界条件公式，有,（2）
4、,A 点同处于 AB 和 AC 的边界，满足式（1）和（2），解得, A 点处无应力作用,例5,图示楔形体，试写出其边界条件。,图示构件，试写出其边界条件。,例6,例5,图示楔形体，试写出其边界条件。,上侧：,下侧：,图示构件，试写出其应力边界条件。,例6,上侧：,下侧：,N,三.混合边界条件,1、在一部分边界上的位移分量为已知，另一部分边界上应力分量已知。,2、在同一边界上，已知一个位移分量和一个应力分量。,x,y,27圣维南原理(局部性原理),一.圣维南原理的叙述,举例,P,P,P,P,（a）,（b）,（c）,二. 圣维南原理的应用条件,1、必须用等效力系代替。 2、载荷区域必须比物体的最小尺寸为小（小边界上),y,L,x,M,线性分布的边界力所形成的力偶等于M,由材力弯曲公式：,等效面力,右端等效条件,积分边界条件：,自由端边界条件：,y,z,1,M,y,z,例1,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,y方向力等效：,对O点的力矩等效：,x方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,上端面：,（方法2）,取图示微元体，,可见，与前面结果相同。,由微元体的平衡求得，,作业：2-8，2-17,
