1、某公司经销一种产品，它下设三个工厂、四个销售部。三个工厂的日产量分别为：A17吨，A24吨，A39吨；各销售部的日销量分别为：B13吨，B26吨，B35吨，B46吨。各厂到各销售部的单位产品的运价如下表。问该公司应如何调运产品，才能完成运输任务而使运费最省。,例:,产销平衡表,单位运价表,运输问题一般用表上作业法求解，需建立表格模型：,表 上 作 业 法 计 算 步 骤 框 图,分析实际问题 列出产销平衡表 及单位运价表,确定初始调运方案 (最小元素法或Vogel法),求检验数 (闭回路法或位势法),所有检验数0,找出绝对值最大的负检验数，用闭回路调整法，得出新的调运方案,得到最优方案 算出总
2、的运价,表上作业法的具体步骤和方法,1. 确定初始基可行解,运输问题必存在最优解。,确定初始基可行解的方法:最小元素法和伏格尔(Vogel)法。,初始基可行解的确定 - （1）最小元素法,基本思想：就近优先供应，即从单位运价表中的最小运价cij 开始确定调运量,然后再由次小运价确定调运量,依次下去，直到最后供完为止就给出了初始基可行解。,3,1,4,6,3,3,单位运价表,产销平衡表,3,1,4,6,3,3,数字格的个数 =3+4-1(即m+n-1),数字格：基变量,空格：非基变量,该初始方案的总运费（31）（64）（43）（12）（310）（35）86元, , , , , , ,单位运价表,
3、产销平衡表,初始基本可行解为: (x13,x14,x21,x23,x32,x34)=(4,3,3,1,6,3),相应运价为： （c13,c14,c21,c23,c32,c34）=（3,10,1,2,4,5）,最小元素法中的退化情况,3,4,5,6,0,2,即数字格里为基变量的取值，空格为非基变量的取值,初始基可行解的确定 - （2）伏格尔法(Vogel)：,做法：1）. 分别计算出各行和各列的罚数。（罚数=次小费用-最小费用）2）.找出最大的罚数,选择它所在的行或列所对应的最小费用,进行优先安排。3）.重复计算步骤1和2。, 2 5 1 3,011, ,6, 2 1 3,012,3, 2 1
4、2,01, , ,3, 1 2,76, ,5,2,1,当产销地的数量不多时，伏格尔法给出的初始方案有时就是最优方案，故常用该法求运输问题最优方案的近似解,1.闭回路法； 2.位势法,2. 最优性的判别,最优性检验 - （1）闭回路法,闭回路：从某一空格出发，沿水平方向或垂直方向前进,遇到合适的数字格可以旋转90度，继续前进,若最后能回到出发点,则所构成的回路为闭回路。,结论:在任何可行方案中,以空格(i,j)为一个顶点,其余顶点全是数字格的闭回路存在且唯一.,(+1),(-1),(-1),(+1),3,3,1,2,依次求出所有空格（非基变量）的检验数，当检验数还存在负数时，说明原方案还不是最优
5、解。,作法:先从任意空格(i,j)处出发，作一闭回路 给空格(i,j)一个单位的运量,调整闭回路上其余数字格 的运量,使达到产销平衡. 则闭回路上总运费的变化值等于空格(i,j)的检验数. 当所有的检验数都为正时，则为最优解.,经调运后，运费的变化值为：3-3+2-1=1， 即空格( AI,B1)的检验数为1,3,1,3,6,3,1,4,9,2,3,10,5,4,调运后总运费的变化值为：92+3-10 +5-41 空格(2,2)的检验数为1。,检 验 数 表,检验数中有负数，说明原方案不是最优解。,该表是用最小元素法给出的初始运输方案,将初始运输方案（上表）中有数字格的地方换上对应格的单位运价
6、得下表,单位运价表,最优性检验(2)位势法（对偶变量法）,产销平衡表,确定各行各列的一组位势：使基变量中的 cij=ui+vj 其中ui和vj即i行和列的位势,单位运价表cij,1 0 -4,1,8,2,9,ij=Cij-(Ui+Vj),Ui+Vj,Cij,当表中空格处出现负检验数时，表明当前平衡表给出的调运方案不是最优的，需调整调运量，改进原调运方案，使总运费减少。,改进的方法闭回路调整法,以(2，4)格为调入格，以此格为出发点， 作一闭环回路。,（+1）,（1）,（+1）,（1）,2。在最小负检验数所在的闭回路上，取偶点中运量最小的，（以保证调整之后各分量仍是正值，即仍是基可行解），它即为
7、出基变量,3。最小运量即为调整量：闭回路上，奇点加调整量，偶点减调整量，得到新的方案.,1。最小负检验数所对应的空格（非基变量），即为进基变量,运量调整后，必然使某个数字格变成零。把一个 变成零的数字格抹去，得新的调运方案。,经检验,所有ij0 得到最优解， 最小运费为85元。,0,ij=Cij-(ui+vj),3,0,7,0,例 、将下表按闭回路调整法进行调整,在需要减少运量的地方有多个相等的最小数，则调整后原先空格处填上这个最小数，而原最小数的位置都变为空格. 继续计算中，要把最小数格之一变为空格，其余均补添0，并看作数字格，使数字格数=m+n-1,产销平衡的运输问题 ：产销不平衡的运输问
8、题：,产销不平衡的运输问题的求解方法,产大于销,销大于产,由于总产量大于总销量，就要考虑多余的物资在哪些产地 就地储存的问题。在产销平衡表中，将各产地的仓库存有多余物资并运往一个假想销地Bn+1，在单位运价表中令各产地到假想销地Bn+1的单位运费 Ci,n+1 =0 （i=1,2m）.则在表中增加一列，可理解为各产地的单位运价ci,n+1及库存量bn+1，则该问题转为产销平衡问题。,设 x i,n+1 是产地 Ai 的库存量，即产地A i 到假想销地 Bn+1 的运量，于是有,其销量为:,最优解中，产地A i 到假想销地Bn+1的运量实际上是产地A i 就地储存的多余物资的数量。,在产销平衡表
9、中虚设一个假想产地Am+1， 其产量为再令假想产地Am+1到各销地的单位运价C m+I,j =0 (j=1n) , 则运价表中增加一行，可理解为到各销地的单位运价及缺货量。则该问题同样转为产销平衡问题。 在最优解中，虚设产地到销地Bj的运量实际上就是最后分配方案中销地的缺货量。,销大于产,例 (产大于销)设有A1、A2、A3三个产地生产某种物资，其产量分别为7t、5t、7t，B1、B2、B3、B4四个销地需要该种物资，销量分别为2t、3t、4t、6t，又知各产销地之间的单位运价见表1，试决定总运费最小的调运方案.,表1 单位运价表 单位：元/t,表2 产销平衡表,表3 单位运价表,表4 最优解
10、,例2,（销大于产） 设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥。各化肥厂年产量，各地区年需要量及从各化肥厂到各地区运送化肥的单位运价如表：,试决定总运费最节省的化肥调运方案。,解: 这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为160万吨，四个地区的最低需求为110万吨， 最高需求为无限。根据现有产量，第个地区每年最多能分配到60万吨，这样最高需求为210万吨，销量大于产量。为了求得平衡，在产销平衡表中增加一个假想的化肥厂D，其年产量为50万吨。由于各地区的需要量包含两部分，如地区，其中30万吨是最低需求，故不能由假想化肥厂D供给，令相应运价为M(任意大正数)，而另一部分20万吨满足或不满足均可以，因此可以由假想化肥厂D供给，按前面讲的，令相应运价为0。对凡是需求分两种情况的地区，实际上可按照两个地区看待。这样可以写出这个问题的产销平衡表和单位运价表。,5020 10 30 30 20 0 30 20,
