1、线性代数与解析几何,王晓霞，办公室：7111，Tel：,作业要求,1.1 矩阵及其运算,一、 矩阵的概念,二、 矩阵的线性运算,三、 矩阵的乘法,四、 矩阵的转置,返回,1.1 矩阵及其运算一、矩阵的概念,系数,常数项,例1. 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B.,四城市间的航班图情况常用表格来表示:,发站,到站,这个数表反映了四城市间交通联接情况.,交通图邻接矩阵,由 个数 排成的 行 列的数表,称为 矩阵.,记作,矩阵的概念,简记为,实矩阵,复矩阵.,称为矩阵的型.,例如,是一个 实矩阵,是
2、一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵(视为数).,思考题: 赢得矩阵,比赛策略:,(上,中,下),(中,上,下),(下,中,上),(上,下, 中),(中,下,上),(下,上,中).,齐王的赢得矩阵,齐 王 策 略,田 忌 策 略,(上,中,下),(中,上,下),(下,中,上),(上,下, 中),(中,下,上),(下,上,中).,(2)只有一行的矩阵,称为行(矩)阵.,（3）只有一列的矩阵,称为列(矩)阵.,（1）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 .,几种特殊矩阵,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,是一个3 阶方阵.,一般的n 阶方阵：,（主对角元）,记作
3、,对角元,记作,(8)方阵,称为单位矩阵（或单位阵）.,可以建立线性方程组与矩阵的一一对应：,系数及常数项组成的矩阵,称为方程组的增广矩阵.,二、矩阵的线性运算,同型矩阵：,A与B相等：,记为A=B.,加法：,例1 设,解,注意：,对于同型矩阵才有意义.,负矩阵：,减法：,数乘：,矩阵的线性运算：加法、数乘.,矩阵的线性运算满足如下八条性质：,三、矩阵的乘法,例2 某电子集团生产三种型号的彩电，第一季度各40万台, 20万台, 30万台, 第二季度各30万台, 10万台, 50万台, 每万台的利润分别是400万元, 300万元, 500万元, 第一,二季度各类产品的利润是多少 ?,解,矩阵的乘
4、法：,=,cijC .,例3,解,例4,解,例5,解,=(,）,看几个特殊矩阵的乘法运算,单位矩阵在矩阵乘法中的相当于数“1”的作用.,对角阵与矩阵的乘积,左行右列,定义:上三角矩阵,下三角矩阵,结论:,两个上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵.,两个下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵.,证明:,要证C是上三角矩阵.,注意 1.矩阵乘法不满足交换律，即：,2.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵,例 设,则,特别的，当AB=BA时，则称A与B可交换。,例 设,则,3.矩阵乘法不满足消去律，,例7 线性方程组的矩阵形式,矩阵乘法的运算规律：,(AB)C = A(BC) k (AB) = (kA)B = A(kB
5、) A(B+C) = AB + AC,(B + C)A = BA +CA,证明 ( AB)C =A(BC),证,所以，(AB)C = A(BC),定义（方阵的幂）,注意,定义（方阵的多项式）,设有多项式 f (x), g(x), A, B 为n阶方阵，则f(A) g(A) = g(A) f (A).,但是，一般,等等,注意,等等,但是,四、矩阵的转置,定义（转置）,例,性质：, ( AT)T = A (A+B)T = AT+BT (kA)T = kAT (AB)T = BTAT(A1A2Ak)T = ATk ATk-1AT1,证明,例8,解,46,对称矩阵与反对称矩阵,定义,设A为n阶方阵，如
6、果满足 ，即,对称矩阵以主对角线为对称轴对应的元素相等.,说明,那末A称为对称矩阵.,47,练习,证,(BBT)T = (BT)TBT = BBT .,48,证,问题：数乘对称矩阵是否仍为对称矩阵？,同阶对称矩阵之和是否仍为对称矩阵？,同阶对称矩阵的乘积是否仍为对称矩阵？,例,例9 设A, B均为n阶对称阵，则AB对称 AB = BA.,证 ：,:,例6 设列矩阵 满足,证明,例7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和.,证明,所以C为对称矩阵.,所以B为反对称矩阵.,命题得证.,52,特殊矩阵,方阵,行矩阵与列矩阵;,单位矩阵;,对角矩阵;,零矩阵;,小 结,上(下)三角矩阵;
7、,同型矩阵,矩阵相等.,行阶梯矩阵.,1.矩阵-数表,数量矩阵;,53,加法;,数与矩阵相乘;,矩阵与矩阵相乘;,转置矩阵.,2. 矩阵运算,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律.,（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算.,注意,1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换,一、引 入,二、高斯消元法与初等变换,三、初等矩阵,一、引入,齐次方程组：AX = 0;,非齐次方程组：AX = b, b 0 (b中至少有一分量不为零),为AX = b的解：,AX = b 成立.,问题,方程组何时有解？ 若有解，有多少解？如何求出其全部解？
8、,定义,引例,求解线性方程组,分析用消元法解下列方程组的过程,二、高斯消元法与初等变换,解,用“回代”的方法求出解：,于是解得,小结：,1上述解方程组的方法称为消元法.,2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换,（1）交换方程次序；,（2）以不等于的数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的k倍,称以上三种变换为线性方程组的初等变换.,方程组与其增广矩阵一 一对应.,若用矩阵来讨论线性方程组，则上述变形实际上是对方程组对应的矩阵进行行变形，这种变形就是矩阵的初等变换.,定义,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,同理 可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”),矩阵的初等
9、变换,通常称 (1) 对换变换; (2)倍乘变换; (3)倍加变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,逆变换,逆变换,逆变换,用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：,方程组的解为：,高斯消元法就是对增广矩阵实施行初等变换化为 简化行阶梯形矩阵,达到消元与求解方程的目的.,行阶梯形矩阵,例如,特点,(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,不是行阶梯形矩阵.,不是行阶梯形矩阵.,下列矩阵是否是行阶梯矩阵?,是行阶梯形矩阵.,练习,例如,简化行阶梯形矩阵,（1）是行阶梯矩阵；,
10、（2）每一非零行的第一个非零元素为数1；,且1所在的列的其余元素均为0.,注 对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为简化行阶梯形矩阵.,例 利用矩阵的初等行变换,将A,化成简化行阶梯形矩阵.,解,(行阶梯形矩阵 ),(简化行阶梯形矩阵 ),线性方程组,一般情形,对其增广矩阵作初等行变换，总可以化为如下形式的简化行阶梯矩阵（必要时交换未知量的下标）,这个方程组与原方程组同解,自由未知量 .,解为,当方程为齐次方程组时，,齐次方程组至少有一组零解,特别地，方程个数少于未知量个数的齐次方程组一定有非零解.,例 求解齐次线性方程组,解,由此即得,例 解方程组,解,方程无解.,例 解线性方程组
11、,解,行,对应的方程组为,即,简化行阶梯形矩阵,为方程组的全部解.,等价关系的性质,具有上述三条性质的关系称为等价,矩阵的等价,定义 由单位矩阵 I 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,三、初等矩阵,第 列,第 列,(1) 对调I中对调两行或两列，得初等对换矩阵.,第 列,第 列,第 列,得初等倍加矩阵.,例 计算,k,定理,设A是m n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当 于在A的左边乘一个相应的m阶初等矩阵；对施行 一次初等列变换，相当于在A的右边乘一个n阶相 应的初等矩阵.,“左行右列”,一般结论,“左行
12、右列”,对矩阵作一次初等行(列)变换,在矩阵左边(右边)乘以一个初等矩阵,同样的行为,初等变换与初等矩阵的关系,矩阵的初等变换可看成矩阵的一种运算.,“左行右列”,“左行右列”,定理的应用：,1.若矩阵B是经有限次行初等变换得到的，则存在有限个初等矩阵E1, , Ek , 使得,2.若矩阵B是经有限次列初等变换得到的，则存在有限个初等矩阵E1, , Ek , 使得,3.若矩阵B是经有限次初等变换得到的，则存在有限个初等矩阵P1, , Pk , Q1, , Qt使得,解,例,例 设矩阵,例 设有线性方程组,解,其解为,这时又分两种情形：,小 结,1. 初等行(列)变换,3. 矩阵等价具有的性质,
13、5. 线性方程组的增广矩阵；,6. 利用矩阵的初等行变换解线性方程组. 目标为化方程组的增广矩阵为简化行阶梯形矩阵，从而判断方程组是否有解，有解时有唯一解还是无穷多解.,1.3 逆 矩 阵,一、逆矩阵的定义,二、用行初等变换求逆矩阵,二、逆矩阵的运算性质,则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.,在数的运算中，,当数 时，,有,其中 为 的倒数,（或称 的逆）.,在矩阵的运算中，,单位阵 I 相当于数的乘法运算中,的1，,那么，对于矩阵 ，,如果有一个类似于,使得,一、逆矩阵的定义,1.概念的引入,2.定义,例 设,由定义 可知，若 B 是 A 的逆矩阵，则 A 也是 B 逆矩阵，即 A与 B 是互逆
14、的.,单位阵 I:,对角阵,I -1 = I.,若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.,证明,3.唯一性,若设 和 是 的可逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,即,推论,注意,(此推论将在2.2中证明),则,逆矩阵的求法一：待定系数法,例 设,解,设 是 的逆矩阵,又因为,所以,此法对于高阶不适合.,二、逆矩阵的运算性质,证(3),证明,注意,例,证明,例,证,例,解,问题 初等矩阵可逆吗？其逆阵呢？,1. A是可逆的；2. AX = 0只有零解；3. A与I 行等价；4. A可表为有限个初等矩阵的乘积.,定理 设A为n阶矩阵，则下列各命题等价：,“12”:,显然AX = 0有零解,
15、证,设X是AX = 0的解, 则,X= IX,所以 AX = 0 只有零解.,1. A是可逆的；2. AX = 0只有零解；3. A与I 行等价；4. A可表为有限个初等矩阵的乘积.,定理 设A为n阶矩阵，则下列各命题等价：,BX = 0同解, 只有零解,矛盾.,“23”:,证,则AX = 0与,由条件，A可经行初等变换得I.,显然（ ？）,“34”:,“41”:,由于初等矩阵可逆,它们的乘积也可逆.,推论 设A为n阶矩阵，则AX = b有唯一解的充要条件是A可逆.,证 充分性,必要性,设AX = b有唯一解X, 但A不可逆.,A不可逆,令Y=X+Z,(反证法),与AX = b有唯一解矛盾.,
16、AX = 0有非零解Z.,则Y为AX = b的解，,若A可逆,三、 用行初等变换求逆矩阵,设A可逆，,所以存在初等矩阵E1, , Ek, 使得,方法如下,解,例,例,解,例 求A的逆矩阵,解,A不可逆.,在求矩阵的逆时，若作行初等变换时, 出现全行为0，则可知矩阵不可逆!,用初等行变换求逆时, 必须坚持始终, 不能夹杂任何列变换.,注意,用初等行变换求可逆矩阵A的逆矩阵,解,练习,例,解,方法1：先求出 ，再计算 .,方法2：直接求 .,求解矩阵方程,例 求解矩阵方程 AX=A+X,其中,解,( A-I ) X = A,把所给方程变形为,所以A-I可逆, 且,设矩阵,解,练习,其它矩阵方程,解
17、,例,例 设 求,解,而,故,1. 逆矩阵的概念、唯一性.,小 结,2. 逆矩阵的运算性质.,(2)利用行初等变换求逆矩阵,4. 逆矩阵的计算方法,3. 设A为n阶矩阵，则下列各命题等价：,(1) A是可逆的；(2) AX = 0只有零解；(3) A与I 行等价；(4) A可表为有限个初等矩阵的乘积.,5. 利用逆矩阵求解矩阵方程.,一、分块矩阵的定义,二、分块矩阵的运算规则,1.4 分块矩阵,一、分块矩阵的定义,具体做法是：将矩阵A用若干条纵线 和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵 称为A的子块，以子块为元素的形式上的 矩阵称为分块矩阵.,针对:,行数, 列数较高的矩阵(大型矩阵), 采用分
18、块法.,目的:,大矩阵运算转化为若干小矩阵运算, 使运算更为简明.,例,即,子块,即,定义,常用的分块矩阵,(1)按行分块,(2) 按列分块,(3) 块对角矩阵(准对角矩阵),条件:,块对角矩阵.,二、分块矩阵的运算规则,左边列的分法与右边行的分法一致,注意,设A, B均为n阶矩阵，且分块相同，,Ak 呢？,例,(5) 逆,A-1也为块对角矩阵.,例 求AB:,解,将矩阵分块作乘法其分法不是唯一的. 只需 前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致就行了.,在上例中,例 设,解,例 设,解,(1)加法,(2)数乘,(3)乘法,分块矩阵与一般矩阵的运算性质类似,小 结,(4)转置,(5) 逆阵,线性方程组的解法,一、矩阵的运算,二、逆矩阵的运算及证明,三、矩阵的分块运算,典 型 例 题,例 计算,一、矩阵的运算,解,例2,解,方法一 用定义求逆阵,二、逆矩阵的运算及证明,方法二 初等行变换,分析,矩阵方程,解,证,例4,三、矩阵的分块运算,同理可得：,例 5,解,根据分块矩阵的乘法，得,第三章 练习题,一、填空题,二、解下列矩阵方程,三、求下列矩阵,四、 设 求 ,五、求下列矩阵的逆矩阵,六、,练习题答案,
