1、第7章圆轴扭转,7.1扭转的概念和外力偶矩的计算 7.2扭矩和扭矩图 7.3圆轴扭转时的应力与强度条件 7.4圆轴扭转时的变形及刚度条件 小结,7.1扭转的概念和外力偶矩的计算,7.1.1扭转的概念机械中的轴类零件往往承受扭转作用如汽车传动轴图7-1(a)，左端受发动机的主动力偶作用，右端受传动齿轮的阻抗力偶作用，于是轴就产生了扭转变形图7-1(b)是汽车传动轴的计算简图此外，带传动轴、齿轮传动轴及丝锥、钻头、螺钉旋具等，工作时均受到扭转作用从以上实例可以看出，杆件产生扭转变形的受力特点是:在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等、方向相反的力偶图7-1(b)杆件的变形特点是:各横截面绕轴
2、线发生相对转动(图7-2)杆件的这种变形称为扭转变形工程中把以扭转变形为主要变形的杆件称为轴，工程中大多数轴在传动中除有扭转变形外，还伴随有其他形式的变形本章只研究等截面圆轴的扭转问题。,7.1扭转的概念和外力偶矩的计算,7.1.2外力偶矩的计算为了求出圆轴扭转时截面上的内力，必须先计算出轴上的外力偶矩在工程计算中，作用在轴上的外力偶矩的大小往往是不直接给出的，通常是给出轴所传递的功率和轴的转速。第4章已述功率、转速和力偶矩之间存在如下关系式中，M为外力偶矩，Nm; P为轴传递的功率，kW; n为轴的转速，r/min,7.1扭转的概念和外力偶矩的计算,应当注意，在确定外力偶矩M的转向时，凡输入
3、功率的主动外力偶矩的转向与轴的转向一致;凡输出功率的从动力偶矩的转向与轴的转向相反,7.2扭矩和扭矩图,7.2.1扭矩圆轴在外力偶矩作用下发生扭转变形时，其横截面上将产生内力求内力的方法仍用截面法如图7-3(a)所T受扭转圆轴为例，假想地将圆轴沿任一横截面1-1切开，并取左段作为研究对象图7-3(b)由于整个轴是平衡的，所以左段也处于平衡状态轴上已知的外力偶矩为M，因为力偶只能与力偶来平衡，显然截面1-1上分布的内力必构成力偶，内力偶矩以符号T表示，方向如图7-3所示，其大小可由左段的平衡条件乏 求得。,7.2扭矩和扭矩图,由此可见，杆件扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力
4、偶矩T称为截面1-1上的扭矩扭矩的单位与外力偶矩的单位相同，常用的单位为牛米(Nm)，或用千牛米(kNm)表示如取截面的右侧为研究对象图7-3(c)，也可得到同样的结果取截面左侧与取截面右侧为研究对象所求得的扭矩，应数值相等而转向相反，因为它们是作用与反作用的关系为了使从两段杆上求得的同一截面上的扭矩的符号相同，扭矩的正负号用右手螺旋法则判定:将扭矩看作矢量，右手的四指弯曲方向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指向若扭矩矢量的方向离开截面，则扭矩为正图7-4(a), (b);反之，若扭矩矢量的方向指的截面，则扭矩为负图7-4(c), (d);这样，同一截面左右两侧的扭转，矛但数值相等，而且符
5、号相同。,7.2扭矩和扭矩图,7.2.2扭矩图通常，扭转圆轴各截面上的扭矩是不同的，扭矩T是截面的位置x函数即以与轴线平行的x轴表不横截面的位置，以垂直于x轴的T轴表示扭矩，则由函数T=T(x)绘制的曲线称为扭矩图例7.1图7-5(a)所示为一齿轮轴已知:轴的转速n=300 r/min，主动齿轮A输入功率PA=50 kW，从动齿轮B和C输出功率分别为PB=30 kW,PC=20 kW试计算1-1, 2-2截面上的扭矩，并画出主轴ABC的扭矩图,7.2扭矩和扭矩图,解:(1)计算外力偶矩.由式(7.1)得主动力偶矩MA的方向与轴的转向一致同理可得从动力偶矩MB和MC的方向与轴的转向相反(2)计算
6、扭矩将轴分为AB,BC两段，逐段计算扭矩对AB段，设轮几和轮B之间的截面1-1上的扭矩T1为正号图7-5(b)，则根据平衡条件有,7.2扭矩和扭矩图,对BC段，设轮B和轮C之间的截面2-2上的扭矩T2为正号图7-5(c)，则根据平衡条件有(3)画扭矩图根据以上计算结果，按比例画出扭矩图图7-5(d)由图可以看出，在集中力偶作用处，扭矩值发生突变，其突变值等于该集中外力偶矩的大小最大扭矩发生在AB段内，其值Tmax=1592Nm从本例中可以归纳出截面法求扭矩的方法如下(1)假设某截面上的扭矩均为正号，则该截面上的扭矩等于截面一侧(左或右)轴上的所有外力偶矩的代数和,7.2扭矩和扭矩图,(2)计算
7、扭矩时外力偶矩正负号的规定是:使右手拇指与截面外法线方向一致，若外力偶矩的转向与其他四指的转向相同，则取负号;反之取正号这样，正的外力偶矩产生正的扭矩，负的外力偶矩产生负扭矩当外力偶矩的代数和为正时，截面上的扭矩为正;反之为负。应用上述方法直接求某截面上的扭矩非常简便现仍以图7-5(a)为例，将各截面的扭矩计算如下,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,7.3.1圆轴扭转时横截面上的应力为了求得圆轴扭转时横截面上的应力，必须了解应力在截面上的分布规律为此，首先进行扭转变形的实验观察，作为分析问题的依据取图7-6(a)所示圆轴，实验前，先在它的表面上划若十垂直于轴线的圆周线和平行于轴线的纵向线实验时
8、，在圆轴两端加力偶矩为M的外力偶，圆轴即发生扭转变形图7-6(b)在变形微小的情况下，可以观察到如下现象(1)两条纵向线倾斜了相同的角度，原来轴表面上的小方格变成了歪斜的平行四边形(2)轴的直径、两圆周线的形状和它们之间的距离均保持不变,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,根据观察到的这些现象，可推断，圆轴扭转前的各个横截面在扭转后仍为互相平行的平面，只是相对地转过了一个角度这就是扭转时的平面假设根据平面假设，可得两点结论(1)圆轴横截面变形前为平面，变形后仍为平面，其大小和形状不变，由此导出横截面上沿半径方向无切应力;又由于相邻截面的间距不变，所以横截面上没有正应力(2)由于相邻截面相对地转过
9、了一个角度，即横截面间发生了旋转式的相对错动，纵向线倾斜了同一角度 ，出现了切应变，故横截面上必然有垂直半径方向的切应力存在,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,为了求得切应力在横截面上的分布规律，我们从轴中取出微段dx来研究(图7-7)圆轴扭转后，微段的右截面相对于左截面转过一个微小角度 ，半径O2B转到O2B1，半径为 的内层圆柱上的纵线EF倾斜到EF1，倾斜角 为，此倾斜角 即为一切应变在弹性范围内剪应变 是很小的，由图7-7中的几何关系有即,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,由于 对同一横截面上的各点为一常数，故(7.2)式表明:横截面上任一点的切应变 与该点到圆心的距离 成正比这就是圆
10、轴扭转时的变形规律根据剪切胡克定律，横截面上距圆心为 处的切应力 ,与该处的剪应变 成正比，即将式(7.2)代入上式，得,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,上式说明:横截面上任一点处的切应力的大小，与该点到圆心的距离 成正比也就是说，在截面的圆心处切应力为零，在周边上切应力最大显然，在所有与圆心等距离的点处，切应力均相等实心圆轴和空心圆轴横截面上的切应力分布规律如图7-8所示，切应力的方向与半径垂直式(7.3)虽然表明了切应力的分布规律，但其中 尚未知，所以必须利用静力平衡条件建立应力与内力的关系，才能求出切应力在横截面上离圆心为 的点处，取微面积dA(图7-9)微面积上的内力系的合力是 ，它
11、对圆心的力矩等于 ,整个截面上这些力矩的总和等于横截面上的扭矩示.即,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,式中:A为整个横截面的面积将式(7.3)代入上式，得因G， 均为常量，故上式可写成式中，积分 与横截面的几何形状、尺寸有关，它表示截面的一种几何性质，称为横截面的极惯性矩，用Ip表示，即,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,其量纲是长度的四次方，单位为mm4或m4.于是，(7.4)式可写成或将(7.5)式代入(7.2)式，即得横截面上距圆心为 处的切应力计算公式为对于确定的轴T,Ip都是定值。因而最大切应力必在截面周边各点上，即 =R时 ，故,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,若令则式(7.6
12、)可写成如下形式Wp称为抗扭截面系数，其单位为mm3或m3必须指出，由实验证明，平面假设只对圆截面直杆才是正确的，所以公式(7.6)和(7.7)只适用于等直圆杆另外，在导出公式时，应用了剪切胡克定律，所以只有在 不超过材料的剪切比例极限时，上述公式才适用,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,7.3.2圆截面极惯性矩IP及扭转截面系数WP的计算1.实心圆截面对实心圆截面，可取半径为 宽度为 的圆环形微面积(图7-10)， 如，则实心圆截面的极惯性矩Ip为,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,实心圆截面的抗扭截面系数Wp为2.空心圆截面对空心圆截面(图7-11)其惯性矩Ip可以采用和实心圆截面相同的方
13、法求出如令d/D=a，则上式可写成,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,圆环形截面的抗扭截面系数Wp为例7.2一轴AB传递的功率P=7.5 kW，转速n=360 r/min轴的AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，如图7-12所示已知D=30 mm，d=20 mm。试计算AC段横截面边缘处的切应力以及CB段横截面上外边缘和内边缘上的切应力解:(1)计算扭矩由式(7.1)可求得轴上的外力偶矩为,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,由计算扭矩的规律可知AC段和CB段的扭矩均为(2)计算极惯性矩(3)计算切应力AC段轴横截面边缘处的切应力为,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,CB段轴横截面内外边缘处的
14、切应力分别为,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,7.3.3圆轴扭转时的强度条件为保证圆轴正常工作，应使危险截面上最大工作切应力 不超过材料的许用切应力由此得出圆轴扭转的强度条件扭转强度条件也可用来解决强度校核、选择截面尺寸及确定许可载荷等三类计算问题例7.3图7-1所示汽车传动轴AB由无缝钢管制成，已知传递的最大扭矩M=2.5 kNm，外径D=100 mm，内径d=94 mm，材料的许用应力 =60 MPa(1)试校核该轴的强度;(2)若改用相同材料的实心轴，并和原传动轴强度相同，试计算其直径D1;(3)空心轴和实心轴所用材料的质量之比解:(1)校核轴的强度,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,
15、扭矩T为抗扭截面系数Wp为最大切应力为上述数据表明，传动轴AB的强度足够,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,(2)改为实心轴，当材料和扭矩相同时，要使它们的强度相同，即使抗扭截面系数Wp相等，即:0.2D3= 43 850 mm3，故实心轴的直径为(3)当两者的材料及长度相等时，空心轴与实心轴所用的材料质量比即为它们的横截面面积之比，即,7.3圆轴扭转时的应力与强度条件,即空心轴的质量仅为实心轴的32.3%由此可见，在条件相同的情况下，采用空心轴可以节省大量材料，减轻自重，提高承载能力因此在机床、汽车、飞机中的轴类零件大多采用空心轴。,7.4圆轴扭转时的变形及刚度条件,7.4.1圆轴扭转时的变
16、形如前所述，轴的扭转变形用横截面问绕轴线的相对转角即扭转角甲来表示由式(7.5)可知，相距dx的两截面间的扭转角为所以，对于相距l的两横截面间的扭转角则为式(7.10)就是等直圆轴相对转角的计算公式相对转角 的单位是弧度(rad)，其转向则与扭矩的转向相同，所以扭转角的正负,7.4圆轴扭转时的变形及刚度条件,随扭矩的正负而定对于阶梯状圆轴以及扭矩分段变化的等截面圆轴，须分段计算相对转角，然后求代数和由式(7.10)可以看出，当T和L一定的情况下，GIp越大，则扭转角 越小，说明圆轴的刚度越大故称GIp为截面的抗扭刚度，它反映了材料和横截面的几何因素对扭转变形的抵抗能力,7.4圆轴扭转时的变形及
17、刚度条件,7.4.2圆轴扭转时的刚度条件圆轴扭转时，不仅要满足强度条件，还应有足够的刚度，否则将会影响机械的传动性能和加工所要求的精度工程上通常是限制单位长度上的转角 ，使它不超过规定的许可转角 。 于是，建立圆轴扭转的刚度条件为式中， 的单位为rad/m工程实际中，许用转角 的单位为度/米(/m)，考虑单位的换算，则得,7.4圆轴扭转时的变形及刚度条件,单位长度的许可转角 的数值，根据对机器的精度、工作条件等来确定，可查阅有关工程手册。例7.4阶梯轴如图7-13(a)所示，已知:M1=5 kNm, M2=3.2 kNm, M3=1.8 kNm;AB=200 mm，BC=250 mm, =80
18、 rad， =50 rad，G=80 GPa, =1.5/m(1)求C截面相对于A截面的扭转角 (2)校核该轴的刚度。解:(1)画扭矩图按计算扭矩的规律算得各段的扭矩为根据上述结果即可画出扭矩图如图7-13(b)所示(2)求C截面相对于A截面的扭转角,7.4圆轴扭转时的变形及刚度条件,由已知条件得所以(3)校核轴的刚度,7.4圆轴扭转时的变形及刚度条件,所以该轴的刚度不够例7.5等截面传动轴如图7-14(a)所T已知M1=4.5 kNm, M2 = 9 kNm, M3=3 kNm,M4=1.5 kNm，材料的切变模量G=80 GPa，许用切应力 =80MPa,许用转角 =0.3 /m,试设计轴
19、的直径.解:(1)画扭矩图计算各截面扭矩得TAB=M1=4.5 kNm,TBC=M1-M2=-4.5 kNm，扭矩图如图7-14(b)所T由扭矩图可知，Tmax=4.5kNm发生在AB段和BC段(2)按强度条件设计轴的直径由剪切强度条件 及 得,7.4圆轴扭转时的变形及刚度条件,(3)按刚度条件设计轴的直径由刚度条件 及得经上述强度计算和刚度计算结果可知，该轴之直径应由刚度条件确定，现选用d=105mm。,小结,(1)圆轴扭转时，轴上所受的载荷是作用面垂直于轴线的力偶用截面法和平衡条件可以求出内力扭矩T扭转圆轴横截面上只有切应力，其方向垂直于半径;其大小与到截面圆心的距离成正比，在圆心处为零，
20、边缘处最大，呈线性分布最大切应力计算公式(2)Wp是圆轴横截面的抗扭截面系数，它是度量轴抵抗扭转破坏能力的一个几何量对实心圆截面对空心圆截面,小结,(3)圆轴扭转强度条件是利用强度条件可以解决强度校核、确定截面尺寸和许用载荷等三类强度计算问题(4)等截面圆轴扭转时的变形计算公式为等截面圆轴扭转的刚度条件是(5)运用强度条件和刚度条件解决实际问题的步骤计算轴上外力偶矩;计算内力(扭矩)，并画出扭矩图;,小结,分析危险截面，即根据各段的扭矩与抗扭截面系数，找出最大切应力所在截面;计算危险截面的强度，必要时还应进行刚度计算,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,
