1、第1章 板的基本方程(Plate Equations) 1.1 记 号（Notations） 1.2 平衡方程（Equilibrium Equations） 1.3 变形的运动学（Kinematics of Deformations） 1.4 应力应变关系（StressStrain Relationships） 1.5 力和力矩积分（Force and Moment Integrals） 1.6 方程的综合（Synthesis of Equations） 1.7 边界条件（Boundary Conditions） 1.8 极坐标中的正交各向异性（Polar Orthotropy） 1.9 应变
2、能（Strain Energy）,第1章 板的基本方程(Plate Equations),本章的目的是提供一些记号、常规约定和基本方程，在此基础上，可以开展大部分板的振动的研究工作。在论述和推导中，将明确包含以下因素： （1）各向异性（Anisotropy）。 （2）面内力（Inplane forces）。 （3）变厚度（Variable thickness）。 其它一些复杂因素（如大挠度等），只是在进入方程时指出，而不作详细论证。为了简单起见，只对直角坐标系推导方程。,1.1 记 号（Notations） 与弹性力学中的规定相同，物体内一点处的应力及其正方向如图1.1所示。可见，正应力为拉力
3、（tensile），位于正面上的剪应力，其正方向分别指向正x-、y-、z-方向。图中已引入剪应力互等的三个方程，它们可由六面体单元的三个矩平衡方程得到。,第1章 板的基本方程,Q：为什么图中规定Tyz向上为正？ Q:剪应力互等的条件？,厚度为h、具有增量维度dx、dy的板单元如图1.2所示。x-、y-轴未变形的板中面上，称为中性面。关于中性面的位置，后面还有更多的论述。对于厚度方向均质的板，中性面位于板的中间。z-轴取为中性面的垂线，使xyz-轴系为右手系。因此xyz-轴系为空间固定的坐标系。横向剪力强度Qx 和Qy ，面内正向力强度 Nx 、Ny 和面内剪力强度 Nxy以及它们的增量如图所示
4、，它们的正方向与Tx 、Ty 和 Txy 相同。所有这些截面内力的量纲为每单位长度的力，它们是由正应力和剪应力的偶性分量，即板横截面上的应力表达式中随板的厚度坐标偶函数变化的部分）沿板的截面厚度积分得到的。所有这些面内力在变形后的中面切线方向或法线方向进行度量。,第1章 板的基本方程,图中q(x, y) 为外力，其量纲为每单位面积的力。,Q：为什么横向剪力强度Qx 和Qy ，面内正向力强度 是由正应力和剪应力的偶性分量得到？那奇次分量呢？,图1.3所示为板单元截面上的弯矩强度Mx 和My ，扭矩强度Mxy ，以及它们的增量。所有这些截面内力矩的量纲为每单位长度的力矩，它们是由正应力和剪应力的奇
5、性分量（odd component，即板横截面上的应力表达式中随板的厚度坐标奇函数变化的部分）沿板的截面厚度积分得到的。所有这些截面内力矩的量纲为每单位长度的力矩，它们是由正应力和剪应力的奇性分量（odd component，即板横截面上的应力表达式中随板的厚度坐标奇函数变化的部分）沿板的截面厚度积分得到的。,第1章 板的基本方程,变形后板的中面示于图1.4中，单元的一角取为空间固定坐标系xyz 的原点，z方向的位移为w，图中示出了单元各个角点处正的斜率（slope）。对于后面将假设的小挠度情况，角的斜率与正弦是等价的。,第1章 板的基本方程,Q：推导该点的位移？,1.2 平衡方程 考虑小挠度
6、情况（准确地说，是小斜率情况），将板单元z方向的力平衡，得方程,第1章 板的基本方程,1.2 平衡方程 考虑小挠度情况（准确地说，是小斜率情况），将板单元z方向的力平衡，得方程,第1章 板的基本方程,整理并略去高阶微量，得,（z1.1）,（z1.2）,其中r为质量面密度。利用三维弹性体的平衡微分方程，上式可得到简化。平衡微分方程为,面内惯性力很小，可略去；在板弯曲运动中，层间剪应力Tyz 和Txz 相比其它应力很小，也可略去。因此上式的第一、第二方程变为,第1章 板的基本方程,上式在板单元的任意厚度dz上都是成立的，因此对z积分后也成立，变成,（z1.4）,（z1.5）,(1.5)代入(1.2
7、)，得,（z1.6）,按以上类似的步骤，将板单元x、y方向的所有力相加，得方程,（z1.7）,Q：含有面内力Nx的1.6用位移场表示的偏微分方程是几阶？要求需几个边界条件？该问题与壳的方程比较有何不同？,在这两个方程中，面内惯性力、横向剪力Qx 和Qy 相比其它面内力很小，可略去。因此（1.7）式退化为（1.5）式。 列出板单元对y轴和x轴的矩平衡方程，可得,第1章 板的基本方程,（z1.8）,板单元对z轴的矩平衡自动满足。,Q：在板弯曲运动中，忽略层间剪应力，那为何上式Qx没有忽略？ Q:为什么板单元对z轴的矩平衡自动满足？ Q: 如何得到？,在这两个方程中，面内惯性力、横向剪力Qx 和Qy
8、 相比其它面内力很小，可略去。因此（1.7）式退化为（1.5）式。 列出板单元对y轴和x轴的矩平衡方程，可得,第1章 板的基本方程,（z1.8）,在这两个方程中，面内惯性力、横向剪力Qx 和Qy 相比其它面内力很小，可略去。因此（1.7）式退化为（1.5）式。 列出板单元对y轴和x轴的矩平衡方程，可得,第1章 板的基本方程,（z1.8）,列出板单元对y轴和x轴的矩平衡方程，可得,第1章 板的基本方程,（z1.8）,板单元对z轴的矩平衡自动满足。,1.3 变形的运动学（Kinematics of Deformations）,第1章 板的基本方程,将梁理论的基本假设平截面假设，推广到板的运动学中，
9、成为直法线假设：变形前板的中面法线，在板变形后仍保持直线并垂直于变形后的中面。板某个位置的侧视图示于图1.5，变形前板中面上任一点P(x，y)，变形后到达P点，因此过P点的法线上的任一点O的纵向位移为,（z1.9）,图1.5 板变形的运动学,（z1.10）,线性应变位移关系为,（z1.11）,所以,上式右端第一项为中面应变。,Q:梁理论的基本假设适用范围？,1static and dynamics:not thick,2low mode :dynamics ;thin,1.4 应力应变关系,第1章 板的基本方程,最一般的各向异性弹性体的应力应变关系为,（z1.12）,Q:最一般各向异性弹性体多
10、少个材料常数？,21-最一般各向异性线性弹性体,1.4 应力应变关系,第1章 板的基本方程,最一般的各向异性弹性体的应力应变关系为,（z1.12）,已经将矩阵aij写成对称形式，对称性的证明可参阅文献2。这里没有考虑热应变，因为有资料已经表明，热应变不直接影响板的自由振动。,Q:自由振动的频率及振动形状的特点？,Q:研究自由振动和强迫振动各自的目的？,Q:如何理解热应变不直接影响板的自由振动？,1.4 应力应变关系,第1章 板的基本方程,最一般的各向异性弹性体的应力应变关系为,（z1.12）,（z1.13）,已经将矩阵aij写成对称形式，对称性的证明可参阅文献2。这里没有考虑热应变，因为有资料
11、已经表明，热应变不直接影响板的自由振动。对于板，应力Tz、Tyz 和Txz 相比其它面内应力很小可略去 如此，应变因此（1.12）退化为,自由振动的频率及振动形状的特点？,研究自由振动和强迫振动各自的目的？,对于薄板低频下？,其逆关系为,第1章 板的基本方程,其中,（z1.14）,（z1.17）,当板沿 x-、y-方向为正交各向异性时，（1.13）、（1.14）中的系数 a14 = a24 = b14 = b24 = 0。于是可得,（z1.16）,（z1.15）,最一般各向异性弹性板多少个材料常数？,6,Q:正交各向异性弹性板多少个独立材料常数？,4,其逆关系为,第1章 板的基本方程,对于各向
12、同性板，应力应变关系为,（z1.18）,（z1.19）,Q:各向同性板弹性板多少个独立材料常数？,1.5 力和力矩积分,第1章 板的基本方程,板单元截面上的面内力和弯矩由面内应力在板的厚度上积分得到。对于均质板，这些积分为,（z1.20）,Q:图中My和Mxy由那些应力产生的？为何是图示方位？,1.5 力和力矩积分,第1章 板的基本方程,板单元截面上的面内力和弯矩由面内应力在板的厚度上积分得到。对于均质板，这些积分为,由（1.17）和（1.11），可得应力位移关系为,（z1.21）,（z1.20）,正交各向异性弹性板,由（1.17）和（1.11），可得应力位移关系为,（z1.21）,正交各向异
13、性弹性板,1.17,1.11,第1章 板的基本方程,上式右端第一项为z的偶函数分量，由中面应变引起；第二项为z的奇函数分量，由挠度引起。由（1.20）可见，面内力积分由应力中的偶函数分量产生，弯矩积分由应力中的奇函数分量产生。弯矩积分为,其中,（z1.23）,（z1.22）,第1章 板的基本方程,上式右端第一项为z的偶函数分量，由中面应变引起；第二项为z的奇函数分量，由挠度引起。由（1.20）可见，面内力积分由应力中的偶函数分量产生，弯矩积分由应力中的奇函数分量产生。弯矩积分为,其中,（z1.23）,（z1.22）,对于各向同性的情况，弯矩为,（z1.24）,以上弯矩表达式对于变厚度的板同样适
14、用，只需将h h(x, y)代入即可。关于面内力积分，它们与中面应变有关，情况比较复杂，将在不同的章节针对具体情况进行讨论。,对于变厚度的板?,1.6 方程的综合,第1章 板的基本方程,先考虑正交各向异性、均质等厚板的情况。在（1.8）式中略去转动惯量的影响，得,（z1.25）,（z1.29）,将（1.21）代入上式，得,（z1.28）,（z1.26）,其中,将（1.25）代入（1.6），得板弯曲（正交各向异性、均质等厚板）的平衡方程.,（z1.27）,方程的右端含有面内力，它们一般是x、y的函数。对于最简单的各向同性、均质和无面内力的情况，（1.27）变为,Q：含有面内力Nx的1.6用位移场
15、表示的偏微分方程是几阶？要求需几个边界条件？该问题与壳的方程比较有何不同？,Q：何种条件下略去转动惯量的影响？,1.7 边界条件,第1章 板的基本方程,因为微分方程（1.28）是4阶的，沿每个板边需要两个边界条件。可以用弹性边界来导出一般性的边界条件。在垂直于x-轴的板边上取出一个微元，如图1.7所示，其中有两个切割面平行于纸面，微元沿x-方向的尺度为dx，微元沿y-方向的尺度为单位长度。弹性边界的模拟，在板边上附加分布刚度为Kw的拉压弹簧和分布刚度为Kf 的扭转弹簧。当板边发生正向挠度时，弹簧对板边作用的力和力矩分别为Kw 和Kf ，方向如图。板提供给微元的反抗力（力矩）（作用在图示的锯齿边
16、上，称为edge reactions）为剪力Vx和弯矩Mx，由微元的平衡，得,（z1.25）,（z1.30）,（z1.26）,1.7 边界条件,第1章 板的基本方程,其中忽略了微元平行于纸面的两个切割面上的作用力，因为两个切割面上作用的净剪力的量级为 (Vy /y)1dx，作用的净弯矩的量级为 (My /y)1dx，都是微量。另外，面内力分量Nx不进入以上方程，这样做实际上假设了板边界不受纵向约束，或板边界上的纵向载荷足够小使得对（1.29）式的横向边界条件影响很小。 将弹簧刚度取为0和/或无穷大，可给出一些特殊边界条件： （1）Kw = 0，Kf = 0，对应于自由边界条件； （2）Kw =
17、 Kf =infinite ，对应于固支边界条件； （3）Kw =infinite ，Kf = 0，对应于简支边界条件； 对于任意边界的边界条件，只需在（1.29）式中，将x换成n，n为该边界的外法线方向。,（z1.29）,现在来讨论微元的反抗力（力矩）。显然，对垂直于y-方向的自由边界，有边界条件,第1章 板的基本方程,（z1.30）,（z1.17）,但是，每个边界只需要两个边界条件，多余一个条件。解决的办法是将Qy、Mxy组合成单个边界条件（剪力边界条件）。如图1.8所示，Mxy及其增量可用沿z-方向作用的两个力偶来代表，四个力叠加后的净作用力为Mxy /x，于是边界上各处总的剪力为,（z
18、1.32）,（z1.31）,对于任意边界，若其外法向为n，切向为t，则边界条件为,自由边界的进一步讨论，可参阅文献4,Q:为什么是是将Qy、Mxy组合成单个边界条件，而不是与其他量组合？,现在来讨论微元的反抗力（力矩）。显然，对垂直于y-方向的自由边界，有边界条件,第1章 板的基本方程,（z1.30）,（z1.17）,但是，每个边界只需要两个边界条件，多余一个条件。解决的办法是将Qy、Mxy组合成单个边界条件（剪力边界条件）。如图1.8所示，Mxy及其增量可用沿z-方向作用的两个力偶来代表，四个力叠加后的净作用力为Mxy /x，于是边界上各处总的剪力为,（z1.31）,1.9 应变能（Strain Energy）,第1章 板的基本方程,在求近似解时，比如应用Reyleigh-Ritz方法时，知道应变能是重要的。储存在任意弹性体中的应变能表达式为,（z1.40）,（z1.43）,如前所述，对于板弯曲问题，应力z、yz 和zx 相比其它面内应力很小可略去，因此（1.40）退化为,（z1.42）,（z1.41）,将应力应变和应变位移关系代入，可得正交各向异性板的应变能为,各向同性板的应变能为,Q:1.40成立的条件？,
