1、2002 年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案本试卷分第 I 卷(选择题) 和第 II 卷( 非选择题)两部分第 I 卷 1 至 2 页第 II 卷 3 至 9页共 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的本试卷分第 I 卷(选择题) 和第 II 卷( 非选择题)两部分第 I 卷 1 至 2 页第 II 卷 3 至 9页共 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的
2、四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）圆 的圆心到直线 的距离是1)(2yx3yx（A） （B） （C）1 （D）3（2）复数 的值是3)21(i（A） （B） （C ） （D ）1i1（3）不等式 的解集是0|)(x（A） （B） 且10|x|x（C） （D ） 且|1|（4）在 内，使 成立的 的取值范围是)2,(xcosin（A） （B ） （C） （D）)45,()2,(),4()45,(34（5）设集合 ， ，则,12|ZkxM,21|ZkxN（A） （B） （C ） （D ）NMN（6）点 到曲线 （其中参数 ）上的点的最短距离为)0,1(Ptyx2Rt（A）0 （B）1 （C
3、） （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A） （B） （C） （ D）43545353（8）正六棱柱 的底面边长为 1，侧棱长为 ，则这个棱柱侧11FEDBA2面对角线 与 所成的角是DE11（A） （B） （C） （D）90604530（9）函数 （ ）是单调函数的充要条件是cbxy2),（A） （B） （C） （D ）bb（10）函数 的图象是1（11）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（A）8 种 （B）12 种 （C）16 种 （D）20 种（12）据 2002 年 3
4、月 5 日九届人大五次会议政府工作报告：“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元，比上年增长 7.3%”，如果“十五”期间（2001 年2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（A）115000 亿元 （B）120000 亿元 （C）127000 亿元 （D）135000 亿元第 II 卷( 非选择题共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在题中横线xyO 11(A)xyO 11(B)xyO-11(C)xyO-11(D)（13）函数 在 上的最大值与最小值这和为 3，则 xay1,0 a（14）
5、椭圆 的一个焦点是 ，那么 52k)2,0(k（15） 展开式中 的系数是 72)(x3x（16）已知 ，那么 21f )41()31()21()1( ffff 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）已知 ， ，求 、 的值 奎 屯王 新 敞新 疆cossini2 ),0(sintg（18）如图，正方形 、 的边长都是 1，而且平面 、 互相垂直ABCDEFABCDEF 奎 屯王 新 敞新 疆点 在 上移动，点 在 上移动，若 （MNaNCM）20a（1）求 的长；（2） 为何值时， 的长最小；（3）当 的长最小时，求面 与面 所成二面角A
6、B的大小 奎 屯王 新 敞新 疆（19）设点 到点 、 距离之差为 ，到 、 轴P)0,1(,(m2xy的距离之比为 2，求 的取值范围 奎 屯王 新 敞新 疆m（20）某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同 奎 屯王 新 敞新 疆 为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设 为实数，函数 ，a1|)(2axf Rx（1）讨论 的奇偶性；)(xf（2）求 的最小值 奎 屯王 新 敞新 疆（22）设数列 满足： ，na121nna,32（I）当 时，求 并由此猜
7、测 的一个通项公式；1432,（II）当 时，证明对所的 ，有（i） na（ii） 211132naABCDEFPQMN参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C D C B B C B A B B C二、填空题（13）2 （14）1 （15）1008 （16） 2三、解答题（17）解：由 ，得1cos2sini2 0cocosin422)1ii(2(sncs2 ),0( ，1sin0cos2 ，即21in 6 3tg（18）解（I）作 交 于点 ， 交 于点 ，连结 ，依题意MPABCPNQABEQP可得 ，且 ，即 是平行四边形 奎 屯王 新
8、敞新 疆NQ 由已知 ，aBC1BEA ，2FAaP2)20( 21)( ( )(22 aaQQMN（II）由（I） 21)( aMN所以，当 时， N即当 、 分别为 、 的中点时， 的长最小，最小值为ACBFMN2（III）取 的中点 ，连结 、 ，MG ， 为 的中点NA, ，即 即为二面角的平面角BAB又 ，所以，由余弦定理有46G31462)()(cos22故所求二面角为 arcos（19）解：设点 的坐标为 ，依题设得 ，即 ，P),(yx2|xyx0因此，点 、 、 三点不共线，得),(yx0,1M,N2| N | mP 1|0因此，点 在以 、 为焦点，实轴长为 的双曲线上，故
9、MN|2m122myx将 代入 ，并解得122yx，因2251)(mx012所以 0解得 5|即 的取值范围为m)5,0(),(（20）解：设 2001 年末汽车保有量为 万辆，以后各年末汽车保有量依次为 万辆，1b2b万辆，每年新增汽车 万辆，则3bx，01b94.12对于 ，有n ).0(.21xxbn所以 )94.0.94.1(94. 21 nnnb xnn061nx94).3(06.当 ，即 时381 奎 屯王 新 敞新 疆1bbn当 ，即 时06.x.x数列 逐项增加，可以任意靠近n 06.x.94)3(0.limli 1xbn因此，如果要求汽车保有量不超过 60 万辆，即（ ）6n
10、,21则 ，即 万辆0.x6.3x综上，每年新增汽车不应超过 万辆 奎 屯王 新 敞新 疆6.3（21）解：（I）当 时，函数0a )(1|)(2xfxf 此时， 为偶函数)(xf当 时， ， ，0a12|2)(af，)()ff(af此时 既不是奇函数，也不是偶函数x（II） （i）当 时，a 43)21()(2 axxf当 ，则函数 在 上单调递减，从而函数 在 上的最小值为21a,a(f,)(f若 ，则函数 在 上的最小值为 ，且 )(xf, af43)21( )(21aff（ii）当 时，函数ax2xa若 ，则函数 在 上的最小值为 ，且21)(xf,f)( )(ff若 ，则函数 在 上
11、单调递增，从而函数 在 上的最小值为) xf),a1)(2af综上，当 时，函数 的最小值为)(xfa43当 时，函数 的最小值为212当 时，函数 的最小值为 1a)(xf（22）解（I）由 ，得1312a由 ，得32 42由 ，得4a534a由此猜想 的一个通项公式： （ ）n 1n（II） （i）用数学归纳法证明：当 时， ，不等式成立1213a假设当 时不等式成立，即 ，那么kn2ka351)(21)(1 kakk也就是说，当 时， 1k据和，对于所有 ，有 nna（ii）由 及（i） ，对 ，有)(1an 2kkak 1)2(1 ka )(2121akkk于是 ，1kk2131212111 aaaanknknkk
