1、第 1 页（共 10 页）2015 年四川省成都市高考数学零诊试卷（理科）一、选择题本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2014 成都模拟）已知向量 =（5，3） ， =（ 6，4） ，则 + =（ ）A （1，1） B （ 1，1） C （1， 1） D （1，1）2 （5 分） （2014 成都模拟）设全集 U=1，2，3，4 ，集合 S=l，3，T=4 ，则（ US）T 等于（ ）A2 ，4 B4 C D1 ，3，43 （5 分） （2014 成都模拟）已知命题 p： xR，2 x=5，则p 为（ ）Ax
2、R，2 x=5 BxR ，2 x5 Cx 0R，2 =5 Dx 0R，2 54 （5 分） （2014 成都模拟）计算 21og63+log64 的结果是（ ）Alog 62B2 Clog 63 D35 （5 分） （2015 青岛模拟）已知实数 x，y 满足 ，则 z=4x+y 的最大值为（ ）A10 B8 C2 D06 （5 分） （2014 成都模拟）关于空间两条不重合的直线 a、b 和平面 ，下列命题正确的是（ ）A若 ab，b，则 a B若 a，b，则 abC若 a，b，则 ab D若 a，b ，则 ab7 （5 分） （2014 成都模拟）PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.
3、5 微米的颗粒物，也称为可 A 肺颗粒物，般情况下 PM2.5 浓度越大，大气环境质量越差，茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某 10 日内每天的 PM2.5 浓度读数（单位：g/m 3）则下列说法正确的是（ ）A这 l0 日内甲、乙监测站读数的极差相等B这 10 日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C这 10 日内乙监测站读数的众数与中位数相等D这 10 日内甲、乙监测站读数的平均数相等第 2 页（共 10 页）8 （5 分） （2014 成都模拟）已知函数 f（x）= sinx+cosx（0）的图象与直线y=2 的两个相邻公共点之间的距离等于 ，则 f（x）的单调递减区间是（ ）A
4、k+ ，k+ ，kz Bk ，k+ ，kzC2k+ ，2k+ ，k z D2k ，2k+ ，kz9 （5 分） （2014 成都模拟）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（4x）=f（x） ，且当x（1， 3时，f（x）= 则 g（x）=f（x）|1gx|的零点个数是（ ）A7 B8 C9 D1010 （5 分） （2015 河南模拟）如图，已知椭圆 Cl： +y2=1，双曲线C2： =1（a 0，b 0） ，若以 C1 的长轴为直径的圆与 C2 的一条渐近线相交于A，B 两点，且 C1 与该渐近线的两交点将线段 AB 三等分，则 C2 的离心率为（ ）A5 B C D二、填空题：本大
5、题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分答案填在答题卡上11 （5 分） （2015 兰州一模）已知 （0， ） ，cos = ，则 sin（ ）= 12 （5 分） （2014 成都模拟）当 x1 时，函数 的最小值为 13 （5 分） （2014 成都模拟）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是 第 3 页（共 10 页）14 （5 分） （2014 成都模拟）运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是 15 （5 分） （2014 成都模拟）已知直线 y=k（x+ ）与曲线 y= 恰有两个不同交点，记k 的所有可能取值构成集合 A；P （x，y）是椭圆 + =l 上一动点，点
6、 P1（x 1，y 1）与点 P 关于直线 y=x+l 对称，记 的所有可能取值构成集合 B，若随机地从集合 A，B中分别抽出一个元素 1， 2，则 1 2 的概率是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤16 （12 分） （2014 成都模拟）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且a2=3，S 7=49，nN *（I）求数列a n的通项公式；（）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn17 （12 分） （2014 成都模拟）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知向量 =（a b，c a） ， =（a+b，c
7、）且 =0（）求角 B 的大小；（）求函数 f（A）=sin （A+ ）的值域18 （12 分） （2014 成都模拟）某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为 200 的样本统计数据如表：认为作业多 认为作业不多 总数第 4 页（共 10 页）喜欢电脑游戏 72 名 36 名 108 名不喜欢电脑游戏 32 名 60 名 92 名（I）已知该地区共有高二学生 42500 名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？（）在 A，B，C，D，E，F 六名学生中，但有 A，B 两名学生认为作业多如果从速六名学生中
8、随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率19 （12 分） （2014 成都模拟）如图，已知 O 的直径 AB=3，点 C 为O 上异于 A，B 的一点，VC 平面 ABC，且 VC=2，点 M 为线段 VB 的中点（I）求证：BC 平面 VAC；（）若 AC=1，求二面角 MVAC 的余弦值20 （13 分） （2014 成都模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是圆 x2+y2=4 上一动点，PDx 轴于点 D，记满足 = （ + ）的动点 M 的轨迹为 （）求轨迹 的方程；（）已知直线 l：y=kx+m 与轨迹 F 交于不同两点 A，B，点 G 是线段 AB 中点，射线OG
9、交轨迹 F 于点 Q，且 = ， R证明： 2m2=4k2+1；求AOB 的面积 S（）的解析式，并计算 S（）的最大值21 （14 分） （2014 成都模拟）巳知函数 f（x）=x1nx，g（x）= ax2bx，其中 a，bR（I）求函数 f（x）的最小值；（）当 a0，且 a 为常数时，若函数 h（x）=xg（x）+1对任意的 x1x 24，总有0 成立，试用 a 表示出 b 的取值范围；（）当 b= a 时，若 f（x+1） g（x）对 x0，+）恒成立，求 a 的最小值第 5 页（共 10 页）2015 年四川省成都市高考数学零诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题 1.D2.A
10、3.D4 B5 B6 D7 C8 A9 D10 C二、填空题：11 12 313 28+12 14 15 16 （12 分） （2014 成都模拟）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且a2=3，S 7=49，nN *（I）求数列a n的通项公式；（）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn【分析】 （）根据等差数列，建立方程关系即可求数列a n的通项公式（）求出数列b n的通项公式，利用等比数列的求和公式即可得到结论【解答】解：（）设等差数列的公差是 d，a2=3， S7=49， ，解得 ，an=a1+（n1）d=1+2 （n 1） =2n1（）b n= = =2n，则数列b n
11、为等比数列，则数列b n的前 n 项和 Tn= 17 （12 分） （2014 成都模拟）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知向量 =（a b，c a） ， =（a+b，c）且 =0（）求角 B 的大小；（）求函数 f（A）=sin （A+ ）的值域【解答】解：（） =（ab，c a） ， =（a+b，c） ，且 =0，（ ab） （a+b）c（ac）=0 ，即 a2+c2=b2+ac，cosB= = ， B（0，） ， B= ；第 6 页（共 10 页）（）由（）得：A= C（0， ） ，A+ （ ， ） ，sin（A+ ）（ ，1，则 f（A）=sin （A+
12、）的值域为（ ，1 18 （12 分） （2014 成都模拟）某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为 200 的样本统计数据如表：认为作业多 认为作业不多 总数喜欢电脑游戏 72 名 36 名 108 名不喜欢电脑游戏 32 名 60 名 92 名（I）已知该地区共有高二学生 42500 名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？（）在 A，B，C，D，E，F 六名学生中，但有 A，B 两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率【分析】 （I）根据样本数据统计表，可
13、得 200 名学生中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有 36 名，求出其占总人数的概率，再乘以高二学生的总数即可；（）求出至少有一名学生认为作业多的事件的个数，和从这六名学生中随机抽取两名的基本事件的个数，两者相除，即可求出至少有一名学生认为作业多的概率是多少【解答】解：（）42500答：欢电脑游戏并认为作业不多的人有 7650 名（）从这六名学生中随机抽取两名的基本事件的个数是至少有一名学生认为作业多的事件的个数是：15 =156=9（个）所有至少有一名学生认为作业多的概率是 答：至少有一名学生认为作业多的概率是 19 （12 分） （2014 成都模拟）如图，已知 O 的直径 AB=3，点
14、C 为O 上异于 A，B 的一点，VC 平面 ABC，且 VC=2，点 M 为线段 VB 的中点（I）求证：BC 平面 VAC；（）若 AC=1，求二面角 MVAC 的余弦值【分析】 （）由线面垂直得 VCBC，由直径性质得 ACBC，由此能证明 BC平面VAC（）分别以 AC，BC，VC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 MVAC 的余弦值第 7 页（共 10 页）【解答】 （）证明：VC 平面 ABC，BC平面 ABC， VCBC，点 C 为O 上一点，且 AB 为直径，ACBC，又 VC，AC平面 VAC，VC AC=C，BC平面 VAC（）
15、解：由（）得 BCVC，VC AC，ACBC，分别以 AC，BC，VC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（1，0，0） ，V（0，0，2） ，B（0，2 ，0） ，=（1，0， 2） ， ，设平面 VAC 的法向量 = =（0，2 ，0） ，设平面 VAM 的法向量 =（x ，y，z） ，由 ，取 y= ，得 ，cos = = ， 二面角 MVAC 的余弦值为 20 （13 分） （2014 成都模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是圆 x2+y2=4 上一动点，PDx 轴于点 D，记满足 = （ + ）的动点 M 的轨迹为 （）求轨迹 的方程；（）已知直
16、线 l：y=kx+m 与轨迹 F 交于不同两点 A，B，点 G 是线段 AB 中点，射线OG 交轨迹 F 于点 Q，且 = ， R证明： 2m2=4k2+1；求AOB 的面积 S（）的解析式，并计算 S（）的最大值【分析】 （）利用代入法求椭圆方程；（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由直线代入椭圆方程，消去 y，得（1+4k 2）x2+8kmx+4m24=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明结论由已知条件得 m0，|x 1x2|= ，由此能求出AOB 的面积，再利用基本不等式求最大值【解答】解：（）设 M（x，y） ，P（x 0，y 0） ，
17、则 D（x 0，0） ，且 x02+y02=4， = （ + ） ，第 8 页（共 10 页）x0=x，y 0=2y，代入可得 x2+4y2=4；（）证明：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由直线代入椭圆方程，消去 y，得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m24=0，x1+x2= ，x 1x2= （1）y1+y2=k（x 1+x2）+2m= ，又由中点坐标公式，得 G（ ， ） ，将 Q（ ， ）代入椭圆方程，化简，得 2m2=1+4k2， （2） 解：由（1） ， （2）得 m0，1 且|x 1x2|= ， （3）结合（2） 、 （3） ，得 SAOB= ，（1，+ ）
18、，令 =t（0，+ ） ，则 S= 1（当且仅当 t=1 即 = 时取等号） ，= 时， S 取得最大值 121 （14 分） （2014 成都模拟）巳知函数 f（x）=x1nx，g（x）= ax2bx，其中 a，bR（I）求函数 f（x）的最小值；（）当 a0，且 a 为常数时，若函数 h（x）=xg（x）+1对任意的 x1x 24，总有0 成立，试用 a 表示出 b 的取值范围；（）当 b= a 时，若 f（x+1） g（x）对 x0，+）恒成立，求 a 的最小值【分析】 （I）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出（II）由函数 h（x）=xg （x ）+1 对任意的 x1x 24，
19、总有 0 成立，可得函数 h（x）= 在 x4，+）上单调递增因此 h（x）=ax 22bx+10在4，+）上恒成立变形为 =ax+ 在4，+）上恒成立2b第 9 页（共 10 页），x4，+） 令 u（x）= ，x 4，+） 对 a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出（III）当 b= a 时，令 G（x）=f（x+1） g（x）=（x+1）ln（x+1） ax，x0，+） 由题意 G（x） 0 对 x0，+）恒成立G（x）=ln （x+1）+1axa，x0，+） 对 a 分类讨论利用研究其单调性极值与最值即可【解答】解：（I）f （x）=lnx+1（x0） ，令 f（x）=0 ，解得
20、x= 函数 f（x）在 上单调递减；在 单调递增当 x= 时，f （x）取得最小值且 = = （II）由函数 h（x）=xg （x ）+1 对任意的 x1x 24，总有 0 成立，函数 h（x）= 在 x4，+）上单调递增h（x）=ax 22bx+10 在4，+）上恒成立 =ax+ 在4 ，+）上恒成立2b ，x4，+） 令 u（x）= ，x4，+ ） （a0） 则 = 令 u（x）=0 ，解得 u（ x）在 上单调递减，在 上单调递增（i）当 时，即 时，u（x）在 上单调递减，在上单调递增u（ x） min= = ， ，即 （ii）当 时，即 ，函数 u（x）在4，+ ）上单调递增， ，即
21、 第 10 页（共 10 页）综上可得：当 时，即 当 ， （III）当 b= a 时，令 G（x）=f（x+1） g（x）=（x+1）ln（x+1） ax，x0，+） 由题意 G（x）0 对 x0，+）恒成立G （x）=ln （x+1）+1 axa，x0，+） （i）当 a0 时，G（x）0， G（x）在 x0，+）上单调递增G（ x） G（0）=0 在 x（0，+）成立，与题意矛盾，应舍去（ii）当 a0 时，令 v（x）=G（x） ，x0 ，+） 则 ， ，当 a1 时，v（x） 0 在 x0，+）上成立v（x）在 x0，+ ）单调递减v（ x） v（0）=1 a0，G（x）在 x0，+）上成立G（x）在 x0，+）上单调递减G（ x） G（0）=0 在 x0，+）成立，符合题意当 0a1 时， = ，x0，+） v（ x）在 上单调递增，在 单调递减v（ 0） =1a0，v（ x） 0 在 上成立，即 G（x）0 在 上成立，G（ x）在 上单调递增，G（ x） G（0）=0 在 成立，与题意矛盾综上可知：a 的最小值为 1
