1、1九年级上册课本亮题拾贝课本中的例、习题是经过编者反复琢磨，认真筛选后精心设 置的，具有一定的探究性在教学的 过程中要立足课本，充分发挥课本例、习题的教学功能，可以有效地避免题海战术，不但有利于巩固基础知识，而且还能增强同学们的应变能力， 发展创新思维，提高数学素养211 二次根式题目 计算： （人教课本 P8 2（4）题）2)3(解 原式= 点评 大家知道，当 a0 时， 有意义，且 而当 a0 时， 也有意2a2 2义，此时 ，进一步的，则等于a（a 0） 为了预防解题粗心出错（如|2） ，通常是根据平方（或立方）的意义，先处理掉（好）符号，再按有关顺序3)(和规定运算演变变式 1 填空：
2、（1） = ；（2） = （答案：（1） （2） ）94413变式 2 当 x 时，式子 在实数范围内有意义？ （答案： ）3x变式 3 若 是整数，求正整数 n 的值（至少写出 3 个） 2n（答案：n = 1，2，9，17 等 ）变式 4 是否存在正整数 n，使得 是有理数？若存在，求出一个 n 的值；若不231存在，请说明理由解 假设存在正整数 n，使 是有理数，则因为 3n + 2 是正整数，所以 3n + 2 应该是一个完全平方数假设 3n + 2 等于 k（k3，k 是正整数）的平方，则 k = 3p 或者 3p + 1 或者 3p + 2，也就是说 k 除以 3 余 0 或者 1
3、 或者 2，而（3p） 2 除以 3 余 0， （3p + 1） 2 = 9p2 + 6p + 1， （3p + 2） 2 = 9p2 + 12p + 4 除以 3 都余 1，所以没有数的平方除以 3 余 2表明 3n + 2 不是完全平方数，从而假设不成立，因此，不存在正整数 n，使 是有理数212 二次根式的乘除题目 计算： （人教课本 P15 6（ 4）题）65027解 原式= = 156)23(152533 另法 原式= 29点评 进行二次根式的乘除运算时，根据乘法、除法规定（ （a、b0） ，2（a0，b0） ） ，可以从左往右正向使用（如另法） ，也可以从右往左逆向使用（法一） ，
4、往往可视其具体题目的数字特点和结构特征，灵活选用一般情况是尽可能先把根式化简，大数化小，遇到字母开平方时，必须注意字母的正、负性（或讨论） 演变变式 1 填空：（1） = ；50276（2） = （答案：（1） （2） ）507 31059因为原式= ，2 + 3 = 5，)(32所以设 2 = a， 3 = b，则 5 = a + b，题目可演变成如下形式：变式 2 化简： 解 原式= = b（a + b） = ab + b2)()(若赋予 a 一些不同的值（相应的可得到 b 的值） ，则可得到一组二次根式的乘法除法试题变式 3 甲、乙两同学在化简 时，采用了不同的方法：xyx5253甲：
5、因为 x， y 是二次根式的被开方数，且在分母上，所以 x0，y0，于是令 x = 1，y = 1，代入可得，原式= 1乙： 原式= )(52从而得出了不同的结果请指出甲、乙同学的做法是否正确？说明理由解 甲，乙两同学的做法都不正确甲同学犯了以特殊代替一般的错误，虽然最终结果是 5乙同学对题目形式上的意义理解错误，通常 是一个整体，是被除式xy正确解法是：原式= 5)()()5(52 yxxyx213 二次根式的加减题目 已知 ， ，求下列各式的值：13x13（1）x 2 + 2xy + y2； （2）x 2y 2 （人教课本 P21 6 题）解 ， ， ，x y = 2，xy = 2于是 x
6、2 + 2xy + y2 =（x + y） 2 = ，1)3(x2y 2 =（x + y） （xy ）= 4点评 本题属于“给值求值”类型，一般不宜直接代入算值通常的思路是：先把已知式和待求式进行适当的等价变形化简，充分挖掘出已知式和待求式之间的内在联系，然后再看情况灵活地代入，往往能简捷而巧妙地求值演变变式 1 已知 ， ，求：（1） ， （2） 的值21a2b2baab解 由已知可得 a + b = 2， ，ab =1（1）原式= )(3（2）原式= 2412)(2 abab变式 2 如果实数 a，b 满足 a2 + 2ab + b2 = 12， ，求 的值3baba解 显然 b0，于是由
7、已知，得 ，3412)(22 ，即 ，)(3a)13()(有 ，因此 1312b )32(1ba说明 上述解法，既抓住了已知式的特征（两个等式的左边有公因式，约后能降次，但要注意是否为 0 啰！） ，又避免了解方程组的难点本题还可以进一步求出 a、b 的值 ，（x 1） 2 = 3，得 x22x = 2，结合 x0，两边除以 x，3得 ，注意到 ，则 = ，2y 22)(y42，得24xyx变式 3 若实数 x 满足 ，试求：（1） ；（2） ；（3） 的24xx2x值（答案 （1）8 （2） （3） ）1422.2 降次 解一元二次方程题目 无论 p 取何值时，方程（ x3） （x2）p 2
8、 = 0 总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由 （人教课本 P4612 题）解 原方程可化为 x25 x + 6p 2 = 0方程根的判别式为 =（5） 24（6p 2）= 1 + 4p2，对任何实数值 p，有 1 + 4p20， 方程有两个实数根 x1 = ，x 2 = ，且两个根不相等5另法 由 p2 =（x 3） （x2）= x 25x + 6 = ，41)25()6)2(2xx得 ，无论 p 取何值 ，因此 4)5(41415p点评 解一元二次方程有配方法，公式法或因式分解法一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的
9、特点，选择适当的方法（1）要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时，常常只须考查方程根的判别式（2）见到含字母系数的二次方程，在实数范围内，首先应有0；若字母在二次项系数中，则还应考虑其是否为 0（3）关于一元二次方程有实数根问题，一般有三种处理方式（何时选择那种方式要根据具体题目的特点来确定）： 利用求根公式求出根来； 利用根与系数的关系将这两个4根的和与积表达出来：x 1 + x2 = x1x2 = ，以便后继作整体代换； 将根代入方程中进abc行整体处理演变变式 1 分别对 p 赋值 0，2， 等，可得如下确定的方程：3解方程：（1）x 25x + 6 = 0；（2）x 25x + 1
10、 = 0；（3）4x 220x + 21 = 0变式 2 当 x 取什么范围内的值时，由方程 （x 3） （x2）p 2 = 0 确定的实数 p 存在？请说明理由解 对任意实数 p，有 p20，所以只需 p2 =（x3） （x2）0，利用同号相乘得正的原理，得 x 应满足 或 解得 x3 或 x2 ,3,x表明，当 x 取 x2 或 x3 范围内的实数时，由方程（x3） （x 2）p 2 = 0 确定的实数 p 存在变式 3 指出方程（x 3） （x 2）p 2 = 0 的实数根所在的范围？解 方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x 2 = ，45p2415且对任意实数 p，有 1 + 4p
11、21， 有 x1 ，x 2 ，3即方程的实数根所在的范围是 x2 或 x3变式 4 试求 y =（x3） （x2）的最小值解 由 y =（x3） （x2）= x 25x + 6 = ，41)25()6)25(22 x得 y 的最小值为 ，当 时取得4122.3 实际问题与一元二次方程题目 如图，要设计一幅宽 20 cm，长 30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3:2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（精确到 0.1 cm）？（人教课本 P5310 题）分析 结合图形，阅读理解题意（数形结合） 矩形图案中，长 30 cm，宽 20 cm现
12、设计了横、竖彩条各 2 条，且其宽度比为 3:2，于是设横彩条宽为 3x cm，则竖彩条的宽就为 2x cm，其长与矩形图案的长宽相关等量关系式为“使彩条所占面积是图案面积的四分之一” 解 根据题意，设横向彩条的宽为 3x，则竖向彩条的宽为 2x，于是，建立方程，得 ，034122032 x化简，得 12x2130x + 75 = 0解得 61.56因此横向彩条宽 1.8 cm，竖向彩条宽 1.2 cm另法 如图，建立方程，得 2031)620(3xx 2x 2x3x3x 30 205法三 如图，建立方程，得 2034)620)(43( x点评 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：（1）设：即
13、设好未知数（直接设未知数，间接设未知数） ，不要漏写单位；（2）列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；（3）解：解所列方程；（4）验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；（5）答：即答题，怎么问就怎么答，注意不要漏写单位演变变式 1 矩形图案的长、宽不变，但设计的两横两竖彩条的宽度相同，如果彩条的面积是图案面积的四分之一，求彩条的宽 （答案： ）2195变式 2 矩形图案的长、宽不变，现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩形，其面积是整个矩形面积的四分之三，上下边等宽，左右等宽，应如何设计四周的宽度？解 因为矩形图案的长、宽比为 30: 20 =
14、 3:2，所以中央矩形的长、宽之比也应为3:2，设其长为 3x，则宽为 2x，所以 ，得 ，从而上、下边宽为04x35x，左、右宽为 )3(510.)0( 2)(1.)(变式 3 如图，一边长为 30 cm，宽 20 cm 的长方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，将四边折起，可以做成一个无盖长方体容器求所得容器的容积 V 关于截去的小正方形的边长 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范围解 根据题意可得，V 关于 x 的函数关系式为：V =（302x ） （202x）x即 V = 4x3 100x2 + 600x，x 的取值范围是 0x 10 变式 4 在一块长 30 m、宽 20 m
15、的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半小明的设计方案如图甲所示，其中花园四周小路的宽度都相等小明通过列方程，并解方程，得到小路的宽为 2.5 m 或 22.5 m小亮的设计方案如图乙所示，其中花园每个角上的扇形（四分之一圆弧）都相同解答下列问题：（1）小明的结果对吗？为什么？（2）请你帮小亮求出图乙中的 x ？（3）你还有其他设计方案吗？甲 乙解 （1）小明的设计方案：由于花园四周小路的宽度相等，设其宽为 x 米则根据题意，列出方程，得 ，即 x225x + 75 = 0，解得0321)0)(23( xxxx20 m 30 m x20 m 30 m 20 m 30 m
16、6x = 或 x = 由于矩形荒地的宽是 20 m，故舍去 x = ，得花园四21352135 2135周小路宽为 m，所以小明的结果不对（2）小亮的设计方案：由于其中花园的四个角上均为相同的扇形，所以设扇形的半径为 x 米，列方程得 ，所以 m （3）略20312x103x23.1 图形的旋转题目 如图， ABD，AEC 都是等边三角形BE 与 DC 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（人教课本 P679 题）解 ABD 是等边三角形， AB = AD ， BAD = 60同理 AE = AC，EAC = 60 以点 A 为旋转中心将ABE 顺时针旋转 60 就得到 CA
17、D， ABE ADC，从而 BE = DC另法 ABD ，AEC 都是等边三角形， AB = AD ， AE = AC，BAD =EAC = 60，于是 CAD =CAB +BAD =CAB +EAC = EAB从而有 CADEAB， DC = BE点评 由于旋转是刚体运动，旋转前、后的图形全等，所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口演变变式 1 如图，ABC 和ECD 都是等边三角形，EBC 可以看作是DAC 经过什么图形变换得到的？说明理由 （人教课本 P805 题）说明：如上题图，去掉 BC，把
18、 D，A，E 放在一直线上即得本题经过下列各种演变，原来的结论仍保持不变（1）ABC 与CDE 在 BC 的异侧（2）点 C 在 BD 的延长线上（3）C 点在 BD 外（4）ACD 与BDE 在 BD 的异侧，且 D 点在 BC 的延长线上（5）ABC 与CDE 都改为顶角相等的等腰三角形，即 AB = AC，CE = DE，BAC =CED 变式 2 如图，四边形 ABCD，ACFG 都是正方形，则 BG与 CE 有什么关系？说明理由B CD AECBAEDACBEDCABEDCBA ED ACBEDCBAED BCD AFEGB CAED7变式 3 如图，ABD ， AEC 都是等腰直角
19、三角形，则BE 与 DC 有什么关系？24.1 圆题目 如图，O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm，ACB 的平分线交O 于 D，求 BC，AD，BD 的长（人教课本 P93 例 2）解 AB 是直径， ACB = ADB = 90在 Rt ABC 中，BC 2 = AB2AC 2 = 1026 2 = 82，即 BC = 8 CD 平分ACB， = ，于是 AD = BDAD BD 又在 RtABD 中，AD 2 + BD2 = AB2， 510BAD点评 在涉及圆中的有关弧，弦（直径） ，角（圆心角，圆周角）等问题中，垂径定理，同圆中的关系（在同圆或等圆中，圆心角相等
20、弧相等 弦相等 弦心距相等 圆周角相等）是转化已知，沟通结论的纽带其中半圆（或直径）所对的圆周角是直角还联结了勾股定理（将出现代数等式） 演变 变式 1 在现有已知条件下，可进一步的，求四边形 ACBD 的面积等于多少？解 由例题及解答可知，ACB，ADB 都是直角三角形，于是四边形 ACBD 的面积等于 cm24952186212 BDACSADBC变式 2 求内角平分线 CE 的长？抽取出图形中的基本图 RtABC，因为 AC:BC:AB = 3:4:5，于是，斜边上的高 ，外接圆半径 R = 5（也即斜边上的中线） 54设ACB 的平分线为 CE，过 E 向两直角边作垂线，则其长相等，设
21、为 x，于是 ，由 ，得xCE2BCAxAC211， 7486BA74变式 3 如图，AD 是ABC 外角EAC 的平分线，AD 与三角形的外接圆交于点 D，求证：BD = CD解 因为圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角，所以有DAE = DCB，而DAC =DBC（同 所对的圆周角相等） ，结合题设 AD 是EAC 的平分线，CD 则有DCB =DBC，所以 BD = CD变式 4 如图，点 A、B、C、D 在同一个圆上，四边形 ABCD 的对角线把 4 个内角分成 8 个角，这些角中哪些是相等的角？（课本 P93 练习第 1 题）解 1 = 4，2 = 7 ，3 =6
22、，5 =8D E BCADE BCA OACDBE54321 78ACDB6 OPCABODBCAE8变式 5 如图，A、P 、 B、C 是O 上的四点，APC =CPB = 60，判断ABC 的形状并证明你的结论 （课本 P95 第 11 题）解 BAC =BPC = 60， ABC =APC = 60 ，因而ABC 是等边三角形变式 6 （托勒密定理）AC BD = AB CD + AD BC（见上图） 24.2 与圆有关的位置关系题目 如图，ABC 中，ABC = 50，ACB = 75，点 O 是内心，求BOC 的度数 （人教课本 P1061 题）解 O 是ABC 内切圆的圆心（内心）
23、 ， OB ，OC 分别是ABC 和ACB 的平分线 ABC = 50，ACB = 75， OBC = 25，OCB = 37.5，因此 BOC = 1802537.5 = 117.5点评 抓住“内心与各顶点连线平分每一个内角，且到三条边的距离相等”这些事实，很容易促进角或线段的转化，突破关键，解决问题演变变式 1 已知周长为 l 的ABC 的内切圆半径等于 r，求ABC 的面积解 设内心为 O，连接 OA，OB，OC，则 OA、OB、OC 把ABC 分割成三个易求的小三角形，其面积的和为：= rCABrASSCOBABC 2121 lrCAB21)(变式 2 如图，点 O 是ABC 的内心，
24、则 O90解 180= ，)180(2)(2180ACB AO9说明 变式 2 有多种不同的解法，如连结 AO 并延长，或延长 BO 交 AC 于 D 等等，请读者探究，收获定当不少变式 3 如图，ABC 中，BC，O 在A 的平分线上，求证：AB + OCAC + OB证明 BC， ABAC，于是在 AB 上取点 D，使 AD = AC，连结 OD，则由已知和作图，可得AOCAOD，进而 OC = OD在OBD 中，有 BD + ODOB，（AB + OC）（AC + OB）=（AB AD）+ ODOB = BD + ODOB0，故 AB + OCAC + OB变式 4 如图，ABC 中，B
25、，C 的平分线相交于点 O，B COAB COADB COADB COAE9过 O 的直线 DEBC，DE 分别交 AB、AC 于 D、 E，求证：DE = BD + CE解 由已知 DEBC，BD、CO 分别平分B、C，可以发现BDO 和CEO 是等腰三角形，于是有 BD = DO，CE = OE，因此 BD + CE = DO + OE = DE变式 5 如图，B、C 在射线 AD、AE 上，BO 、 CO 分别是DBC 和ECB 的角平分线（1）若A = 60，则O 为多少度？（2）若A = 90，120 时，O 分别是多少度？（3）求A 与O 的关系式解 BO 、CO 是DBC 和EC
26、B 的平分线， DBC = 2 2，ECB = 23， ABC = 18022，ACB = 18023在ABC 中，A +ABC +ACB = 180， A + 18022 + 180 23 = 180，即2 +3 = 90 + A1在BOC 中，2 +3 +O = 180， O = 90 A12（1）当A = 60 时，O = 90 60 = 6012（2）当A = 90 时，O = 90 90 = 45当A = 120 时，O = 90 12120 = 30（3）A 与O 的关系式为O + A = 901224.3 正多边形与圆题目 画一个正五边形，再作出它的对角线，得到如图所示的五角星
27、（人教课本 P1172 题）解 先画一个圆，将圆五等分，分点依次为 A， B，C，D，E，顺次连结这些点，得正五边形 ABCDE，再作出正五边形的对角线 AC，AD，BD，BE ，CE ，即得如图所示的五角星点评 正多边形与圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧（或把圆心角分成一些相等的角） ，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆，如上所示作出的是一个正五角星演变 变式 1 求五角星中五个角的和解 AMN =B +D，ANM =C + E， A + B +C + D + E =A +AMN +ANM = 180 表明正五角星中五个角的和为 180另法 连结 C
28、D，则在AEF 和CDF 中，有 B + E = 180 BFE = 180CFD =CDF +DCF在ACD 中，A +ACD +ADC = 180，即 A + ACE +DCF +ADB +CDF = 180 A + B +C + D + E = 180ABD O EC4321CBADEFCBADECBADEMN10说明 正五角星中每个角都是 36变式 2 如变式 1 的图，在正五角星中存在黄金分割数，可以证明 （参见人教版课本 46 页“阅读与思考 黄金分割数”25BEMN） ，此结论待同学们学习了相似形的有关知识后即可证明变式 3 如图，是将不规则的五角星改为退化的五角星，则其五个角的
29、和等于多少？解 如图，将其转化为不规则的五角星，问题立即获解，五个角的和等于 180，或连结两个顶点后利用三角形内角和定理即可解决变式 4 六角星，七角星，甚至 n 角星的各个顶角之和等于多少？解 都等于 180说明 解答星型 n 边形顶角和的问题关键是根据“三角形的内角和为 180及其推论” ，设法将分散的角归结到某个三角形或四边形中，这是解答此类题目的金钥匙244 弧长和扇形面积题目 如图，从一个直径是 1 m 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为 90 的扇形，求被剪掉的部分的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是多少？（人教课本 P1259 题）解 连结 BC，因为扇形的圆
30、心角为 90，所以 BC 过圆心 O（即 BC 是直径） ，于是在等腰直角三角形 ABC 中，扇形的面积为 ，2BCA 8412AB扇形的弧长为 ，因此被剪掉的部分的面积为42（m 2） 8)21(将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径 r 满足 ，得42r（m） 8r点评 求解图形（阴影部分）的面积时，通常是利用等积变换，分割、重叠等，把求图形（阴影部分）的面积转化为求圆，扇形，弓形，三角形或多边形等基本图形的面积演变变式 1 求所围成的圆锥的高 h 和体积 V解 ，830)2()(2rABh7683032 V变式 2 如图，AC，BD 是O 中两条互相垂直的直径，以 A 为圆心 A
31、B 为半径画弧 ，BD 求证：月牙形阴影部分的面积等于ABD 的面积解 设圆的半径为 R，则 21RSABD以 A 为圆心，AD 为半径画出的扇形CBADElrhCAB OCDAB OE11ABED 的面积 ，弓形 BED 的面积为 ，所以月牙形阴影2213609RS）（扇 形 21R部分的面积等于 ，即与ABD 的面积相等22)(1R变式 3 如图，从一个半径是 r 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为 的扇形，求扇形的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥底面圆的半径解 连结 OA，OB，OC，则 OA = OB = OC = r，BOC = 2BAC，OA 平分BAC，即 ，BOC = 2
32、过 O 作 ODAB 于 D，则 OD 平分 AB，于是 AB = 2AD2OAB在 Rt ADO 中， ， 2coscosrABADcosrAB因此，扇形 ABC 的面积为 ，290360S扇 形BC 弧长为 92360r 所对的圆心角为 2，BC 将扇形围成圆锥，则圆锥底面圆的半径 r1 满足 2r1 = = ，得 BC 90r180r251 概率题目 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为 3:7如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上， “落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？（人教课本 P1391 题）解 落在海洋里的可能性更大点评 可能性是指能成为事实的属性然而世界上有很多事情具有偶
33、然性，人们不能事先判断这些事情是否会发生概率就是从数量上用来描述（刻画）随机事件发生的可能性的大小对这一问题，需要充分把陨石抽象成随机地散落，地球也是必须抽象成平辅的面，与生活中通常所看到的质点只能正面地落在面上（不可能弯曲行进而落在背面上） 我们生活的地球，脚下大地的形状并不是无边无际的辽阔平面，而是大致接近于球面演变变式 1 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为 3:7如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则“落在海洋里”与“落在陆地上”的概率各是多大？解 落在海洋里的概率为 ，落在陆地上的概率为 1073103变式 2 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到正三角形的内切
34、圆（即阴影部分）区域的概率为（ ） A B C D1693解 设正三角形的边长为单位 1，则正三角形的面积为 ，正三角形的内切圆半径4，内切圆的面积为 ，针扎到正三角形的内切圆（即阴影部630tan21r 12)63(分）区域的概率为 ，选 C94变式 3 甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个OCABD60 xyO60151512人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率解 以 x 和 y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的条件是x y15在平面直角坐标系中，点（ x，y）的所有可能结果是边长为 60 的正方形，而可能会面的时间由图中的
35、阴影部分所表示，所以两人能会面的概率为 16704562P说明 把上述问题抽象成如下模型是：设在面积为 S 的区域中有任意一个小区域 A，小区域的面积为 SA，则任意投点，点落入 A 中的可能性大小与 SA 成正比，而与 A 的位置及形状无关，为 P注意，如果是在一个线段上投点，那么面积则改为长度；如果是一个立方体内投点，则面积就改为体积25.2 用列举法求概率题目 在 6 张卡片上分别写有 16 的整数随机地抽取一张放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？（P 154 练习第 1 题）解 设第一次随机地取出的数字为 a，第二次随机地取出的数字为 b，
36、则（b，a）共有36 种情况ab 1 2 3 4 5 61 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）从上表可知，b 能够整除 a 的情况有（1，1） ， （2，1） ， （3，1） ， （4，1） ， （5，1） ，（6，1） ， （2，2） ， （4，2）
37、， （6，2） ， （3，3） ， （6，3） ， （4，4） ， （5，5） ， （6，6） ，共 14种因此，所求的概率为 87点评 用列表或画树状图的方法，可以不重不漏的列举事件发生的所有结果，我们把这两种方法统称为列举法；列举法只适用于等可能事件；等可能事件的特点是：出现的结果是有限多个，各结果发生的可能性相等用列举法求概率的一般步骤是：（1）用列表或画树状图的方法，列举出事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果个数 n 及所求事件出现的结果个数 m；（ 3）利用公式计算所求事件 A 的概率，即 mAP)(列表或画树状图都可
38、以清晰地、不重不漏的表示出某个事件发生的所有可能结果，从而13很方便地求出某些事件发生的概率当试验包含两步时，列表法比较方便，也可以用画树状图法；当试验在三步或三步以上时，用画树形图的方法方便演变变式 1 求第二次取出的数字小于第一次取出的数字的概率是多少？（答案： ）125变式 2 把第一次取出的数字作分母，第二次取出的数字做分母，所求得分数是真分数的概率？（答案： ）361变式 3 求两次取出的数字和大于 8 的概率？（答案： ）185变式 4 同时抛掷两枚均匀的正方体骰子求：（1）掷得两个 6 的概率；（2）两枚骰子的点数之和为奇数的概率；（3）两枚骰子的点数之积为奇数的概率；（4）所得
39、两个点数之和大于 9 的概率 （答案：（1） （2） （3） （4） ）变式 5 已知关于 x 的不等式 ax30（其中 a0） （1）当 a = 2 时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；（2）在 6 张卡片上分别写有 16 的整数，从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数 a，求使该不等式没有正整数解的概率（答案：（1） ，在数轴上的表示略 （2） ）233变式 6 小明和小颖做抽取卡片（6 张卡片上分别写有 16 的整数）游戏，规则如下： 游戏前，每人选一个数字； 每次各抽取 1 张卡片； 如果同时抽取的 1 张卡片点数之和，与谁所选数字相同，那么谁就获胜（1）列出同
40、时抽取的卡片数字所有可能出现的结果；（2）已知小明选的数字是 5，小颖选的数字是 6如果你也加入游戏，你会选什么数字，使自己获胜的概率比他们大？请说明理由（答案：（1）略 （2）同时抽取两张卡片，可能出现的结果有 36 种，它们出现的可能性相同所有的结果中，满足两张卡片点数和为 5（记为 事 件 A） 的 结 果 有 4 种， 即 （ 1， 4） ，（ 2， 3） ， （3，2） ， （4，1） ，所以小明获胜的概率为 满足两张卡片点数和为91364)(P6（记为事件 B）的结果有 5 种，即（1，5） ， （2， 4） ， （3，3） ， （4，2） ， （5，1） ，所以小颖获胜的概率为
41、要想使自己获胜的概率比他们大，必须满足两张卡片点数和出现36)(P的结果多于 5 种，由所列表格可知， 只有两张卡片点数和为 7（记为事 件 C） 的 结 果 多 于 5 种，有 6 种， 即 （ 1， 6） ， （ 2， 5） ， （3，4） ， （4，3） ， （5，2） ， （6，1） ，所以 因此，63)(P要想使自己获胜的概率比他们大，所选数字应为 7 ）变式 7 A 箱中装有 3 张相同的卡片，它们分别写有数字 1，2，4；B 箱中也装有 3 张相同的卡片，它们分别写有数字 2，4，5现从 A 箱、B 箱中各随机地取出 1 张卡片，请你用列表或画树状图的方法求：（1）取出的两张卡片数字恰好相同的概率；（2）如果取出 A箱中卡片上的数字作为十位上的数字，取出 B 箱中卡片上的数字作为个位上的数字，求两张卡片组成的两位数能被 3 整除的概率 （答案：（1） （2） ）95说明 由于两次取出来的数字互有较强的关系，所以可以据此编出有关这两次数字的加法、减法、乘法、除法、乘方、开平方、不等式、指数、对数，甚至函数的概率问题
