1、附五大模型概念及用法:一、等积变换模型等底等高的两个三角形面积相等;两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;baS2S1DCBA如左图 12:a夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图 ;ACDBS 反之,如果 ,则可知直线 平行于 ACDBS 正方形的面积等于对角线长度平方的一半;三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;二、鸟头定理(共角定理)模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 如图在 中, 分别是 上的点如图 (或 在 的延长线上, 在ABC ,DE
2、,ABCDBAE上) ,则 :():()ASDE EDCBA EDCBA图 图推理过程连接 ,再利用等积变换模型即可E三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):S4S3S2S1ODCBA 或者 1243:1324S1243:AOCSS蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):AB CDObaS3S2 S1S4 213:a ;24:Sab梯形 的对应份数为 2四、相似模型相似三角形性质:GF EAB CD(金字塔
3、模型) AB CDE FG (沙漏模型) ;ADEAF 2:BCS :所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;五、燕尾定理模型SABG SAGC SBGE:SEGC BE EC;:SBGA SBGC SAGF:SFGC AF FC;: G FED CB ASAGC SBCG SADG SDGB AD DB;:练习题集:1. (第 届华杯赛试题)3一个长方形分成 4 个不同的三角形,绿色三角形
4、面积是长方形面积的 倍,黄0.15色三角形的面积是 21 平方厘米问:长方形的面积是 平方厘米厘厘厘厘21厘厘厘厘2. (2007 年六年级希望杯二试试题 )如图,三角形田地中有两条小路 和 ,交叉处为 ,张大伯常走这两条小路,AECFD他知道 ,且 则两块地 和 的面积比是_DFC2DB FEDC BA3. 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形,如图所示, 三个三角形的面积 分别是 3,7,7,则阴影四边形的面积是多少?3 7 74. 如图,已知长方形 的面积 ,三角形 的面积是 ,三角形 的面积是 ,ADEF16ADB3ACF4那么三角形 的面积是多少?BCFEDCBA5. (北京市
5、第一届“迎春杯”刊赛)如图将三角形 的 边延长 倍到 , 边延长 倍到 , 边延长ABC1DBC2ECA倍到 如果三角形 的面积等于 ,那么三角形 的面积是 3F FFEDCB A6. 如图,在 中,延长 至 ,使 ,延长 至 ,使 , 是ABC DBABCE12BCF的中点,若 的面积是 ,则 的面积是多少? 2EFAB CDEF7. 如图,在 中,已知 、 分别在边 、 上, 与ABCMNACBM相交于 ,若 、 和 的面积分别是NOBO3、2、1,则 的面积是 8. 四边形 的对角线 与 交于点 (如图所示) 如果三ABCDABDO角形 的面积等于三角形 的面积的 ,且 ,C132A,那
6、么 的长度是 的长度的_倍 3O9. 如右图,已知 是 中点, 是 的中点, 是 的中点,DBCEDFAC由这 6 部分组成,其中比大 6 平方厘米,那么 的面AB B积是多少平方厘米?10.如右图,长方形 中, , ,求 的长ABCD16EF9GAD ABCEF GODCBANMOCBAFED CBA5 3 6 4 2 1 11.如图,长方形 中, 为 中点, 与 、 分别交于 、 ,已知ABCDEAFBEDGH, ,求 . 5Hcm3FcG12.图中四边形 是边长为 12 的正方形,从 到正方形顶点 、 连成ABCDcmGCD一个三角形,已知这个三角形在 上截得的 长度为 4 ,那么三角形
7、ABEFcm的面积是多少?G GFED CBA13.如右图,三角形 ABC 中,BD DC 4 9,CE EA 4 3,求 AF FB.:14. 如图,三角形 ABC 的面积是 1,BD DE EC,CF FG GA,三角形 ABC 被分成 9 部分,请写出这 9 部分的面积各是多少?OG H FE DCBAOF ED CBAGFED CBA15. 如右图, 中, 是 的中点, 、 、 是 边上的四等分点, 与AC GADEFBCAD交于 , 与 交于 ,已知 的面积比四边形 的面积大 平GMFNM GN7.2方厘米,则 的面积是多少平方厘米?B NM GAB CDE F16. 如图,在正方形
8、 中, 、 分别在 与 上,且 , ,连ABCDEFBCD2EB2CFD接 , ,相交于点 ,过 作 , 得到两个正方形 和正方形BFEGMNPQMGQA,设正方形 的面积为 ,正方形 的面积为 ,则PCNGQ1S2S_12:S QPNM GFEDCBA17. 如图,正方形 ABCD 的边长为 6, 1.5, 2长方形 EFGH 的面积为 AECFHGFEDCBA18. 如图, , , , , 求 1ABCS 5D4AEDGSEAFGFSASGF ED CBA19. 如图,在长方形 中, , , ,求阴影部分的面积ABCD62ADEFBBCADE FO20. 如右图,已知 , ,三角形 的面积
9、是BDC2EABC30,求阴影部分面积.F ED CBA21.(第六届希望杯五年级一试)如图,正方形 的边长是 厘米, 点在 上, 于 , 长ABCD12ECDBOAEB厘米,则 长_厘米。9E OED CBA32122. 如图,大圆半径为小圆的直径,已知图中阴影部分面积为 ,空白部分面积为 ,那1S2S么这两个部分的面积之比是多少?(圆周率取 )3.423. 如图中三个圆的半径都是 5 ,三个圆两两相交于圆心求阴影部分的面积和(圆周cm率取 )3.1424.(2008 年武汉明心奥数挑战赛)如图所示, 中, , , ,以 为一边向 外ABC903AB5CABC作正方形 ,中心为 ,求 的面积
10、DEO53OAB CDE25. 如图,三角形 是等腰直角三角形, 是三角形外的一点,其中 ,ABP90BPC,求四边形 的面积10cmPC PD CBA26.(2008 年全国小学数学资优生水平测试)如图,以正方形的边 为斜边在正方形内作直角三角形 , ,ABABE90、 交于 已知 、 的长分别为 、 ,求三角形 的面ACBDOAEB3cm5OBE积ABCDOE27.长方形 的面积为 36 , 、 、 为各边中点, 为 边上任意一点,问ABC2cmEFGHAD阴影部分面积是多少?HGFEDCBA28. (小学生数学报邀请赛)从一个棱长为 10 厘米的正方形木块中挖去一个长 10 厘米、宽 2
11、 厘米、高 2 厘米的小长方体,剩下部分的表面积是多少?(写出符合要求的全部答案)29. 用 10 块长 5 厘米,宽 3 厘米,高 7 厘米的长方体积木堆成一个长方体,这个长方体的表面积最小是多少?30. (05 年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示,一个 的立方体,在一个方向上开有 的孔,在另一个方向515上开有 的孔,在第三个方向上开有 的孔,剩余部分的体积是多少?213表面积为多少?参考答案1. (第 届华杯赛试题)3一个长方形分成 4 个不同的三角形,绿色三角形面积是长方形面积的 倍,黄0.15色三角形的面积是 21 平方厘米问:长方形的面积是 平方厘米厘厘厘厘21厘厘厘厘【分析】 由于
12、黄色三角形和绿色三角形面积总和是长方形面积的 倍,所以黄色三角形0.5面积是长方形面积的 倍,所以长方形的面积是 平方0.51.3527.3560厘米2. (2007 年六年级希望杯二试试题 )如图,三角形田地中有两条小路 和 ,交叉处为 ,张大伯常走这两条小路,AECFD他知道 ,且 则两块地 和 的面积比是_DFC2DB FEDC BAFEDC BAG FEDC BA【分析】 方法一:连接 B设 的面积为 1, 的面积 ,则根据题上说给出的条件,由CED BED x得,FDCBFS 即 的面积为 、 ; xACFS 又有 , 、 ,而2A2DE 2ABDESx ;1ABDSx得 ,所以 3
13、:():134):ACFBS 方法二:连接 ,设 (份),则 ,设ED ACDF BEDSx则有 ,解得 ,所以BFDSy 12xyxy:():43)1:2ACB 方法三:过 点作 交 于 点,由相似得 ,又FGBCAE:1:CDFEG因为 ,所以 ,所以两块田地 ACF 和 CFB 的面2ADE:1:2F积比 :1:3. 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形,如图所示, 三个三角形的面积 分别是 3,7,7,则阴影四边形的面积是多少?3 7 7FECBDA3 7 7分析:方法一:遇到没有标注字母的图形,我们第一步要做的就是给图形各点标注字母,方便后面的计算.再看这道题,出现两个面积相等
14、且共底的三角形。设三角形为 , 和 交于 ,则 ,再连结 。ABCEDFBED所以三角形 的面积为 3.设三角形 的面积为 ,FAx则 ,所以 ,四边形的面积为 。3:10:xx15x18方法二:连接 ,用燕尾定理解4. 如图,已知长方形 的面积 ,三角形 的面积是 ,三角形 的面ADEF6ADB3ACF积是 ,那么三角形 的面积是多少?4BCFEDCBAFEDCBAFEDCBA分析:方法一:连接对角线 A 是长方形AF 12DEADEFSSA , 38B12AC ,5 16282BECS 132ADFABCFBESS方法二:连接 ,由图知 ,所以 ,又由68A 16835BEFS,恰好是 面
15、积的一半,所以 是 的中点,因此4ACFS C,所以52.BCEFS 16342.56ABCS5. (北京市第一届“迎春杯”刊赛)如图将三角形 的 边延长 倍到 , 边延长 倍到 , 边延长ADECA倍到 如果三角形 的面积等于 ,那么三角形 的面积是 3 1FFEDCB AAB CDEF【分析】 (法 )连接 、 1AED , ,BCDSA1BC A同理可得其它,最后三角形 的面积 EF18(法 )用共角定理在 和 中, 与 互补,2AACBFE 1428ABCFES又 ,所以 AFCESA同理可得 , 6D3BD所以 18631EFAFBDESSAAA6. 如图,在 中,延长 至 ,使 ,
16、延长 至 ,使 , ABCE12BC是 的中点,若 的面积是 ,则 的面积是多少?CC 2FAB CDEF分析:(法 ) 利用共角定理1在 和 中, 与 互补,ABC FE ACBFE 241FES又 ,所以 ABC0.5FCESA同理可得 , D 3BD所以 20.53.EFEADFSS 7. 如图,在 中,已知 、 分别在边 、 上,ABCMNACB与 相交于 ,若 、 和 的面积分别MNOON是 3、2、1,则 的面积是 【分析】 这道题给出的条件较少,需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解根据蝴蝶定理得 312AOMBNNS设 ,根据共边定理我们可以得MONSx, , 解得 ABMNC321
17、xx2.5x8. 四边形 的对角线 与 交于点 (如图所示) 如果DACBDO三角形 的面积等于三角形 的面积的 ,且 ,AB132A,那么 的长度是 的长度的_倍 3O分析对于四边形 为任意四边形,两种处理方法:C1利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;2通过画辅助线来改变任意四边形根据题目中给出条件 ,:1:3ABDCS可得 ,所以 故 :1:3AOC226O:6:321OCD9. 如右图,已知 是 中点, 是 的中点, 是 的中点,EFA由这 6 部分组成,其中比大 6 平方厘米,那么B的面积是多少平方厘米?【分析】 解法一:因为 是 中点, 为 中点,有 且EDCFA2E平行于
18、,则四边形 为梯形FA在梯形 中有=,= , = :2:4又已知 =6,所以 ,= ;6(1)248所以= ,而=,所以=4,梯形 的面积为8ADEF、四块图形的面积和,为 81有 与 的面积相等,为 CEFD6所以 面积为 A1624因为 是 中点,所以 的面积是: (平方厘米)BABC248ABCDS解法二:如右图所示:题上给出了 ,所以 ;6ADGEFS6ADEFSODCBANMOCBAFED CBA5 3 6 4 2 1 GFED CBA因为 是 的中点, 是 的中点,ECDFAC由共边定理得: ;2AEEFDEFSS所以由上面的分析得到: , ;6D6S进一步共边原理可得:(平方厘米
19、)24848ABCADCAECDEFSS同样这个题目可以用相似模型也能解10.如右图,长方形 中, , ,求 的长169GAD ABCEF G【分析】 因为 ,根据相似三角形性质知 ,又因为 ,DABDAGEDFAB,所以 ,即 ,所GFFGEA2 225915F以 1511.如图,长方形 中, 为 中点, 与 、 分别交于 、 ,已知BCDABEGH, ,求 . AHcm3Fc【分析】 注意三角形 和三角形 相似,利用三角形相似的性质可HF以得到 ,:5:3DA作 垂直于 ,且交 于点 ,又因为 为 中点,则有 ,EOOD:1:2OEDF所以 ,3:5:10:2B, ,:AG(53)42AF
20、所以 .41312.图中四边形 是边长为 12 的正方形,从 到正方形顶点 、 连成ABCDcmGCD一个三角形,已知这个三角形在 上截得的 长度为 4 ,那么三角形ABEFcm的面积是多少?GOG H FE DCBAGFED CBANMGFED CBA【分析】 根据题中条件,我们可以直接判断出 与 平行,从而三角形EFD与三角形 相似,这样,我们就可以用相似三角形的性质来解GEF决问题.做 垂直 交 于 ,因为 EFDC,所以三角形 与三角形 相似,MDCABNGDC且相似比为 ,:4:123由此我们可以得 ,又因为 ,且 ,MN12MNcm所以 ,得 ,:N8故三角形 的面积为 .G210
21、2cm13.如右图,三角形 ABC 中,BD DC 4 9,CE EA 4 3,求 AF FB.:【分析】 根据燕尾定理得 27AOBCSD :16E (都有 的面积要统一,所以找最小公倍数)所以 :2716AOCBF 14. 如图,三角形 ABC 的面积是 1,BD DE EC,CF FG GA,三角形 ABC 被分成 9 部分,请写出这 9 部分的面积各是多少? GFED CBANMQPGFED CBA分析 设 BG 与 AD 交于点 P,BG 与 AE 交于点 Q,BF 与 AD 交于点 M,BF 与 AE 交于点 N连接 CP,CQ,CM,CN根据燕尾定理, , ,设:1:2ABPCS
22、G :1:2ABPCSD (份),则 (份),所以1ABPS 125 15同理可得, , ,而 ,所以 ,7ABQS ABN 3ABGS 375APQSOF ED CBA1237AQGS同理, ,所以 ,35BPMS 12BD 1239750PQMNS四 边 形, ,19704NED四 边 形 346NFCE四 边 形326GFQS四 边 形15. 如右图, 中, 是 的中点, 、 、 是 边上的四等分点,ABC ADBC与 交于 , 与 交于 ,已知 的面积比四边形 的面DMFGNAM FGN积大 平方厘米,则 的面积是多少平方厘米?7.2 NM GAB CDE FNM GAB CDE F【
23、分析】 连接 、 根据燕尾定理, , ,:1:ABMS :1:3ABMCSD 所以 ;15ABC 再根据燕尾定理, ,所以:ABNGC ,所以 ,那么: 43NFFSS 4:3NF,所以 14237AGC 25151728AABCABCSSS 根据题意,有 ,可得 (平方厘米)5.8ABCABC 6BC16. 如图,在正方形 中, 、 分别在 与 上,且 ,DEFD2EB,连接 , ,相交于点 ,过 作 , 得到两个正方形2CFGMNPQ和正方形 ,设正方形 的面积为 ,正方形 的面积为MGQAPNGQA1SG,则 _2S12: QPNM GFEDCBAQPG NMFEDCBAAB CDEFM
24、 NGPQ【分析】 解法一:求两个正方形的面积比,实际上就是求 ,根据:Q正方形的性质,可以得到: ;:QD连接 ,根据 , ,GC2FD:1:2GFCS而 (对称),所以得 ,ES ():32DE即 ,所以:3:D:QP所以 2194解法二:连接 、 .设正方形边长为 3,则 ,BEF,所以, = + =8, = + =18因为,F2F22B2=818=144= ,所以, =12.2E1ED由梯形蝴蝶定理,得 GFSFGSBE 22D:14:96所以, . 664925BEGBDEBDES四 边 形 四 边 形因为 , ,所以, 32CDCFS,所以, = = 因为正方形 的边长等5BFEE
25、FBEG3PCNG于 底边 对应的高,所以, = 21= , =3 = .因为 = GN56D6591S5= , = = ,所以, = =94.95812S65321S2817. 如图,正方形 ABCD 的边长为 6, 1.5, 2长方形 EFGH 的面积为 AECFHGFEDCBAAB CDEFGH【分析】 连接 DE, DF, 则长方形 EFGH 的面积是三角形 DEF 面积的二倍三角形 DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,所以长方形 EFGH 面积为 3361.5264.5216.5DEFS18. 如图, , , , 求 ABC ACEDGSEAFGFSASGF ED C
26、BA【分析】 本题题目本身很简单,但它把本讲的两个重要知识点融合到一起,既可以看作是“当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用,也可以看作是找点,最妙的是其中包含了找点的 种情况最后求得 的面积为 3FGS 432150FGS19. 如图,在长方形 中, , , ,求阴影部分的面ABCD6ADEFB积BCADE FOBCADE FO【分析】 如图,连接 , 将阴影部分的面积分为两个部分,其中三角形 的面积DE AED为 2632由于 ,根据梯形蝴蝶定理, ,所以 ,:1:FC:3:1DEOFSA 34OEFSAA而 ,所以 ,阴影部分的面
27、积为 DEASA 321.54DEOSA 2.520. 如右图,已知 , ,三角形 的面积是 30,求阴影部分面积.BBC分析:连接 ,CF因为 , ,三角形 的面积是 30,2所以 , .103ABEABCS15ABDABCS根据燕尾定理, , , 2FE1FA所以 , .17.54ABFABCS157.BFDS所以阴影部分面积是 .30.21.(第六届希望杯五年级一试)F ED CBA如图,正方形 的边长是 厘米, 点在 上, 于 , 长ABCD12ECDBOAEB厘米,则 长_厘米。9E OED CBA321【分析】 在四边形 中, ,因为 ,所以 ,OECB2180OEC3180OEC
28、2,所以, ,即 ,所以1DAAD296A22. 如图,大圆半径为小圆的直径,已知图中阴影部分面积为 ,空白部分面积为 ,那1S2S么这两个部分的面积之比是多少?(圆周率取 )3.14【分析】 如图添加辅助线,小圆内部的阴影部分可以填到外侧来,这样,空白部分就是一个圆的内接正方形设大圆半径为 ,则 , ,所以r2Sr21r12:3.4:257:10S移动图形是解这种题目的最好方法,一定要找出图形之间的关系23. 如图中三个圆的半径都是 5 ,三个圆两两相交于圆心求阴影部分的面积cm和(圆周率取 )3.14分析 将原图割补成如图,阴影部分正好是一个半圆,面积为 253.149.5cm24.(20
29、08 年武汉明心奥数挑战赛)如图所示, 中, , , ,以 为一边向 外ABC903AB5CABC作正方形 ,中心为 ,求 的面积DEO53OAB CDEF53OAB CDE解析: 如图,将 沿着 点顺时针旋转 ,到达 的位置OA90OF由于 , ,所以 而 ,90180AOAB所以 ,那么 、 、 三点在一条直线上18F由于 , ,所以 是等腰直角三角形,且斜边BB为 ,所以它的面积为 532164根据面积比例模型, 的面积为 OBC50825. 如图,三角形 是等腰直角三角形, 是三角形外的一点,其中AP, ,求四边形 的面积90BPC1cmABC PD CBAPPD CBA分析 因为 和
30、 都是直角,和为 ,所以 和 的和也为 ,BAC180ABPC180可以旋转三角形 ,使 和 重合,则四边形的面积转化为等腰直角三角ACB形 ,面积为 平方厘米P102526.(2008 年全国小学数学资优生水平测试)如图,以正方形的边 为斜边在正方形内作直角三角形 , ,ABABE90、 交于 已知 、 的长分别为 、 ,求三角形 的面ACBDOE3cm5O积ABCDOEFABCDOE分析 如图,连接 ,以 点为中心,将 顺时针旋转 到 的位置E90BF那么 ,而 也是 ,所以四AFBFB边形 是直角梯形,且 ,E3所以梯形 的面积为:( )1352cm又因为 是直角三角形,根据勾股定理,
31、,所AB222354ABE以 ( )27DS2那么 ( ),17BEABEADBAFESS2cm所以 ( )1.52OD2cm27.长方形 的面积为 36 , 、 、 为各边中点, 为 边上任意C2GHAD一点,问阴影部分面积是多少?HGFEDCBA解法一:寻找可利用的条件,连接 、 ,如下图:HHGFEDCBA可得: 、 、 ,而 12EHBABS12FHBS12DHGCS36ABCDCDS即 ;()368EBFGABC而 ,HHEFSS阴 影111()()364.52228EBFSABC所以阴影部分的面积是: 13.EBFS阴 影解法二:特殊点法找 的特殊点,把 点与 点重合,HD那么图形
32、就可变成右图:GAB CDEF(H)这样阴影部分的面积就是 的面积,根据鸟头定理,则有:DEF11136363.5222ABCDEBFCSSS阴 影解法三:可以找到长方形 的特殊状态正方形 ,然后就和上面的特殊AABCD点法一样28. (小学生数学报邀请赛)从一个棱长为 10 厘米的正方形木块中挖去一个长 10 厘米、宽 2 厘米、高 2 厘米的小长方体,剩下部分的表面积是多少?(写出符合要求的全部答案)【分析】 按图 1 所示沿一条棱挖,为 592 平方厘米;按图 2 所示在某一面上挖,为 632 平方厘米;按图 3 所示在某面上斜着挖,为 648 平方厘米;按图 4 所示挖通两个对面,为
33、672 平方厘米29. 用 10 块长 5 厘米,宽 3 厘米,高 7 厘米的长方体积木堆成一个长方体,这个长方体的表面积最小是多少?分析: 教师可以先提问:这个长方体的表面积最大是多少?为使表面积最大,要尽量保证10 2 个 7 5 的面成为表面,想要做到这点很容易,只需将 7 5 面做底面,而 后将 10 个长方体连排,衔接的面选用 3 5 的面(衔接的面将不能成为表面积) ,这样得到的长方体表面积最大同样要想最小,可把 7 5 面做衔接的面,可得到 10 个长方体的 连排,但此时我们还可以再制造出衔接面,如图:此时增加了 2 个 5 7 的面,减少了 10 个3 7 的面,总体来讲表面积
34、减少了表面积是:2 (7 15 15 10 10 7) 650(平方厘米),所以这就是最小的表面积30. (05 年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示,一个 的立方体,在一个方向上开有 的孔,在另一个方向515上开有 的孔,在第三个方向上开有 的孔,剩余部分的体积是多少?213表面积为多少?【分析】 求体积:开了 的孔,挖去 ,开了 的孔,3315挖去 ;开了 的孔,542挖去 ,21()6剩余部分的体积是: (46)10(另解)将整个图形切片,如果切面平行于纸面,那么五个切片分别如图:得到总体积为: 2410求表面积:表面积可以看成外部和内部两部分外部的表面积为 ,内部的面561238积可以分为前后、左右、上下三个方向,面积分别为 、210、 ,所以总的表面积为21531321548040(另解)运用类似于三视图的方法,记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数:前后方向: 32上下方向: 左右方向: 401 1 2 2 11 1 2 12 2 2 21 1 2 112211221 1 2 1 11111 2221111 1121121 1 2 1 12 2 2 22 2 22 2 2 211211 22总表面积为 304