1、实验三 傅里叶变换、系统的频域分析一、 实验目的1、学会用 MATLAB 实现连续时间信号傅里叶变换2、学会用 MATLAB 分析 LTI 系统的频域特性3、学会用 MATLAB 分析 LTI 系统的输出响应二、实验原理1傅里叶变换的 MATLAB 求解MATLAB 的 symbolic Math Toolbox 提供了直接求解傅里叶变换及逆变换的函数fourier()及 ifourier()两者的调用格式如下。Fourier 变换的调用格式F=fourier(f)：它是符号函数 f 的 fourier 变换默认返回是关于 w 的函数。F=fourier(f，v):它返回函数 F 是关于符号对
2、象 v 的函数，而不是默认的 w，即()()jvxFvfedFourier 逆变换的调用格式f=ifourier(F):它是符号函数 F 的 fourier 逆变换，默认的独立变量为 w，默认返回是关于 x 的函数。f=ifourier(f,u):它的返回函数 f 是 u 的函数，而不是默认的 x.注意：在调用函数 fourier()及 ifourier()之前，要用 syms 命令对所用到的变量（如 t,u,v,w）进行说明,即将这些变量说明成符号变量。例 4-1 求 的傅立叶变换2()tfe解: 可用 MATLAB 解决上述问题：syms tFw=fourier(exp(-2*abs(t)
3、例 4-2 求 的逆变换 f(t)21()Fjw解： 可用 MATLAB 解决上述问题syms t wft=ifourier(1/(1+w2),t)2连续时间信号的频谱图例 4-3 求调制信号 的频谱，式中0()cosftAgt014,()22解：MATLAB 程序如下所示ft=sym(4*cos(2*pi*6*t)*(Heaviside(t+1/4)-Heaviside(t-1/4);Fw=simplify(fourier(ft)subplot(121)ezplot(ft,-0.5 0.5),grid onsubplot(122)ezplot(abs(Fw),-24*pi 24*pi),gr
4、id 用 MATLAB 符号算法求傅里叶变换有一定局限，当信号不能用解析式表达时，会提示出错，这时用 MATLAB 的数值计算也可以求连续信号的傅里叶变换，计算原理是 nnjtj efdefjF)(lim)()( 0当 足够小时，近似计算可满足要求。若信号是时限的，或当时间大于某个给定值时，信号已衰减的很厉害，可以近似地看成时限信号时，n 的取值就是有限的，设为 N，有是频率取样点kNkenfk kNnjk 2,0,)()(10 时间信号取样间隔 应小于奈奎斯特取样时间间隔，若不是带限信号可根据计算精度要求确定一个频率 W0 为信号的带宽。例 4-4 用数值计算法求信号 的傅里叶变换)1()(
5、)tutf解，信号频谱是 ，第一个过零点是 ，一般将此频率视为信号的带宽，2(SajF若将精度提高到该值的 50 倍，既 W0=50 ，据此确定取样间隔， 02.1FR=0.02;t=-2:R:2;f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);W1=2*pi*5;N=500;k=0:N;W=k*W1/N;F=f*exp(-j*t*W)*R;F=real(F);W=-fliplr(W),W(2:501);F=fliplr(F),F(2:501);subplot(2,1,1);plot(t,f);xlabel(t);ylabel(f(t);title(f(t)=u(t+1)-u(
6、t-1);subplot(2,1,2);plot(W,F);xlabel(w);ylabel(F(w);title(f(t)的付氏变换 F(w);3用 MATLAB 分析 LTI 系统的频率特性当系统的频率响应 H（jw）是 jw 的有理多项式时，有1110()()()()(MNNbjwjbjwBjwAaaLMATLAB 信号处理工具箱提供的 freqs 函数可直接计算系统的频率响应的数值解。其调用格式如下H=freqs(b,a,w)其中，a 和 b 分别是 H(jw)的分母和分子多项式的系数向量，w 为形如 w1:p:w2 的向量，定义系统频率响应的频率范围，w1 为频率起始值，w2 为频率
7、终止值 ,p 为频率取样间隔。H返回 w 所定义的频率点上，系统频率响应的样值。例如，运行如下命令，计算 02pi 频率范围内以间隔 0.5 取样的系统频率响应的样值a=1 2 1;b=0 1;h=freqs(b,a,0:0.5:2*pi)例 4-5 三阶归一化的 butterworth 低通滤波器的频率响应为321()()()Hjwjjw试画出该系统的幅度响应 和相位响应 。H()解 其 MATLAB 程序及响应的波形如下w=0:0.025:5;b=1;a=1,2,2,1;H=freqs(b,a,w);subplot(2,1,1);plot(w,abs(H);grid;xlabel(omeg
8、a(rad/s);ylabel(|H(jomega)|);title(H(jw)的幅频特性);subplot(2,1,2);plot(w,angle (H);grid;xlabel(omega(rad/s);ylabel(phi(omega);title(H(jw)的相频特性);4用 MATLAB 分析 LTI 系统的输出响应例 4-6 已知一 RC 电路如图所示 系统的输入电压为 f(t)，输出信号为电阻两端的电压 y(t).当 RC=0.04，f(t)=cos5t+cos100t, 试求该系统的响应 y(t)t-+-+f(t) y(t)RC解 由图可知 ，该电路为一个微分电路，其频率响应为
9、()11RjwHjwjC由此可求出余弦信号 通过 LTI 系统的响应为0cost0()()ytj计算该系统响应的 MATLAB 程序及响应波形如下RC=0.04;t=linspace(-2,2,1024);w1=5;w2=100;H1=j*w1/(j*w1+1/RC);H2=j*w2/(j*w2+1/RC);f=cos(5*t)+cos(100*t);y=abs(H1)*cos(w1*t+angle(H1)+ abs(H2)*cos(w2*t+angle(H2);subplot(2,1,1);plot(t,f);ylabel(f(t);xlabel(Time(s);subplot(2,1,2);plot(t,y);ylabel(y(t);xlabel(Time(s);三、 上机实验内容1.验证实验原理中所述的相关程序；2.试用 MATLAB 求单边指数数信号 的傅立叶变换，并画出其波形；()()atfeu3.设 ，试用 MATLAB 画出该系统的幅频特性 和21()0.8().4Hjwjjw ()Hjw相频特性 ，并分析系统具有什么滤波特性。
