1、 3.3 势垒贯穿重点：势垒贯穿的条件 在实际生活中的应用设粒子的总能量为 E，沿 x 轴正向运动，其势能变化分三个区域： （3.3-1） 粒子沿 x 方向运动，则波函数 只是 x 的函数，粒子在三个区域中分别以 表求，则它们分别满足薛定谔方程： （3.3-2） 下面分两种情况讨论： （1） EU0情形 为简便起见，令 （3.3-3） 则方程（3.3-2）可简化为 （3.3-4）方程（3.3-4）的解为（3.3-5）第一项是由左向右传播的平面波 第二项是由右向左传播的平面波必须令:运用 及 连续的条件来确定（3.3-5）式中各系数：即运用： 可得到：（3.3-6）由上面可见，五个常数 及 C
2、满足四个独立的方程，解上方程组，得： （3.3-7） （3.3-8） 由几率流密度公式 将射入波 反射波 透射波 依次代换上式中的 ，分别可得到： 入射几率流密度： 反射几率流密度：透射几率流密度： 若定义：透射系数反射系数应用（3.3-7） ， （3.3-8）式，得 （3.3-9） （3.3-10） 由上二式可见，D 和 R 均小于 1，而 DR1，这说明入射粒子一部分贯穿势垒到 xa 区域，另一部分被势垒反射回去（图 3.8） 。 （2） EU0情形 这时 虚数，令 ，由（3.3-3）式得 （3.3-11） 为实数，这样，只需把 换为 ，前面的计算仍然成立，利用关系式 则由（ 3.3-9）
3、式得透射系数为： （3.3-12） 其中 shx 是双曲正弦函数，其值为 如果粒子的能量 E 比势垒高度小很多，即 EU0情形 ，同时势垒的宽度 a 不太小,以致 则 此时 于是（3.2-12）式可近似表成 （3.3-13） 因为 和 同数量级， 时， ，所以上式可写为 （3.3-14） 式中为数量级接近于 1 的常数。 由此可见，透射系数 D 随着势垒 a， 及粒子质量 的依赖关系很敏感，所以在宏观实验中不容易观测到粒子贯穿势垒的现象。对于任意形状的势垒： (3.3-15)由上面讨论可见： （1）粒子在能量 E 小于势垒高度 时，仍然贯穿势垒的现象，这种效应称为 隧道效应（动画演示） 。隧道
4、效应是一种微观效应。只有当势垒宽度 a,粒子质量 和 值愈小，贯穿几率愈大。如果 a 和 为宏观大小时，粒子实际上将不穿过势垒（因此时 的值比起宏观是如此的小，即可认为 ）所以实际上 隧道效应已经没有意义了，量子概念过渡到经典的概念。 （2）隧道效应用经典理论无法解释，它完全由微观粒子的波动性而来，因为从经典力学来看，粒子的能量等于动能与势能 之和 在 的区域内，粒子的动能变为负值，动量将是虚数，这是没有意义的。按照量子力学的概念，粒子遵从测不准关系，作为坐标函数的势能和动量数的动能不能同时具有确定值，因而说某区域内粒子的能量等于动能和势能之和将不再有明确的意义。 （3）隧道效应不但可解释一些经典理论所不能解释的现象，如 a 衰变，金属冷发射等，而且这种效应已被用来制成固体器件如半导体隧道二极管，超导隧道结（Josephon 结） ，扫描隧道显微镜等。（扫描电子显微镜照片）48 个 Fe 原子形成的“量子围栏”围栏中的电子形成驻波
