期望与分布列高考试题精选.doc

1、第 1 页（共 29 页）期望与分布列高考试题精选一解答题（共 20 小题）1某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数（）求 X 的分布列；（）

2、若要求 P（X n）0.5，确定 n 的最小值；（）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n=19 与 n=20 之中选其一，应选用哪个？2甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立（）求甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的概率；（）记 X 为比赛决胜出胜负时的总局数，求 X 的分布列和均值（数学期望） 3一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立第 2 页（共

3、 29 页）（）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率；（）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 E（X）及方差 D（X） 4在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：作物产量（kg）300 500概率 0.5 0.5作物市场价格（元/kg）6 10概率 0.4 0.6（）设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；（）若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这

4、 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率5现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答（）求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；（）已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题设张同学答对甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立用X 表示张同学答对题的个数，求 X 的分布列和数学期望6一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张，编号分别为1，2 ，3 ，4； 白色卡片 3 张，编号分别为 2， 3，4从盒子中任取 4 张卡片 第 3 页（共 29 页）（假设取到任何一张卡片的可能性相同） （）求取

5、出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率（）在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望7某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤 20 元，成本为每公斤 15元销售宗旨是当天进货当天销售如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失 3 元根据以往的销售情况，按50，150） ，150，250） ，250， 350） ， 350，450） ，450，550进行分组，得到如图所示的频率分布直方图（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于 350公斤，而另一天日销售量低于 350 公斤的概率；（2）在频率分布直

6、方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值（i）求日需求量 X 的分布列；（ii）该经销商计划每日进货 300 公斤或 400 公斤，以每日利润 Y 的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货 300 公斤还是 400 公斤？8已知一个口袋中有 3 个白球，2 个黑球，这些球除颜色外全部相同现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为 1，2，3，4，5 的抽屉内，其中第 k 次取出的球放入编号为 k 的抽屉（1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p；（2）随机变量 X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，求分布列9自 2016 年底，共享单车日渐火爆起来，逐

7、渐融入大家的日常生活中，某市针对 18 岁到 80 岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如表所示：第 4 页（共 29 页）性别年龄性别 女性 合计18，25）180 40 22025，35）360 240 60035，50）40 100 14050，80）20 20 40合计 600 400 1000（1）采用分层抽样的方式从年龄在25，35）内的人中抽取 10 人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？（2）在（1）中选出 10 人中随机抽取 4 人，求其中恰有 2 人是女性的概率；（3）用样本估计总体，在全市 18 岁到 80 岁的市民中抽 4 人其中男性使用的

8、人数记为 ，求 的分布列10某中超足球队的后卫线上一共有 7 名球员，其中 3 人只能打中后卫，2 人只能打边后卫，2 人既能打中后卫又能打边后卫，主教练决定选派 4 名后卫上场比赛，假设可以随机选派球员（1）在选派的 4 人中至少有 2 人能打边后卫的概率；（2）在选派的 4 人中既能打中后卫又能打边后卫的人数 的分布列与期望11由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求为此，某市公交公司在某站台的 60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取 10 人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：组别候车时间（单位：min）人数第 5 页（共 29

9、页）一 0，5） 1二 5，10） 5三 10，15） 3四 15，20） 1（）估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数；（）现从这 10 人中随机取 3 人，求至少有一人来自第二组的概率；（）现从这 10 人中随机抽取 3 人进行问卷调查，设这 3 个人共来自 X 个组，求 X 的分布列及数学期望12数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如表所示：中学 甲 乙 丙 丁人数 30 40 20 10为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取 30 名参加问卷调查（）问甲、

10、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（）从参加问卷调查的 30 名学生中随机抽取 2 名，求这 2 名学生来自同一所中学的概率；（）在参加问卷调查的 30 名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取 2 名，用 X 表示抽得甲中学的学生人数，求 X 的分布列13某厂有 4 台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现 1 次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需 1 名工人进行维修每台机器出现故障需要维修的概率为 （1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于 90%？（2）已知一名工人每月只有维修 1 台机器的能力，每月需支付给

11、每位工人 1 万元的工资每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生 5 万元的利润，否则将不产生利润若该厂现有 2 名工人求该厂每月获利的均值14甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜投篮进行到有第 6 页（共 29 页）人获胜或每人都已投球 3 次时结束设甲每次投篮命中的概率为 ，乙每次投篮命中的概率为 ，且各次投篮互不影响现由甲先投（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数 X 的分布列与期望15某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从 T1、T 2 两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题 T1，

12、且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题 T2，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约已知甲、乙考试合格的概率都是 ，丙、丁考试合格的概率都是 ，且考试是否合格互不影响（I）求丙、丁未签约的概率；（II）记签约人数为 X，求 X 的分布列和数学期望 EX16在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球和 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球和 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖 （每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：求摸出 3 个白球的概率；求获奖的概率；（2）在

13、两次游戏中，记获奖次数为 X：求 X 的分布列； 求 X 的数学期望17一个箱中原来装有大小相同的 5 个球，其中 3 个红球，2 个白球规定：进行一次操作是指“ 从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中 ”（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为 4 的概率；（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望18袋子里有完全相同的 3 只红球和 4 只黑球，今从袋子里随机取球（1）若有放回地取 3 次，每次取一个球，求取出 2 个红球 1 个黑球的概率；（2）若无放回地取 3 次，每次取一个球，若取出每只红球得 2

14、分，取出每只黑球得 1 分求得分 的分布列和数学期望19甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即第 7 页（共 29 页）结束除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 假设各局比赛结果相互独立（1）分别求甲队以 3：0，3：1，3：2 胜利的概率；（2）若比赛结果为 3：0 或 3：1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 3：2，则胜利方得 2 分，对方得 1 分求乙队得分 X 的分布列20医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标 H 和 V现有 三种不同配方的药剂，根据分析，A，B，C 三种药剂能控制H

15、 指标的概率分别为 0.5，0.6 ，0.75，能控制 V 指标的概率分别是0.6，0.5，0.4，能否控制 H 指标与能否控制 V 指标之间相互没有影响（）求 A，B，C 三种药剂中恰有一种能控制 H 指标的概率；（）某种药剂能使两项指标 H 和 V 都得到控制就说该药剂有治疗效果求三种药剂中有治疗效果的药剂种数 X 的分布列第 8 页（共 29 页）期望与分布列高考试题精选参考答案与试题解析一解答题（共 20 小题）1某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个

16、 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数（）求 X 的分布列；（）若要求 P（X n）0.5，确定 n 的最小值；（）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n=19 与 n=20 之中选其一，应选用哪个？【解答】解：（）由已知得 X 的可能取值为 16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）= （

17、 ） 2= ，P（X=17）= ，P（X=18）= （ ） 2+2（ ） 2= ，P（X=19）= = ，P（X=20）= = = ，第 9 页（共 29 页）P（X=21）= = ，P（X=22）= ，X 的分布列为：X 16 17 18 19 20 21 22P （）由（）知：P（X18 ）=P（X=16 ）+P（X=17）+P（X=18 ）= = P（X19 ）=P（X=16 ）+P（X=17）+P（X=18 ）+P（X=19 ）= + = P（Xn）0.5 中，n 的最小值为 19（）解法一：由（）得 P（X 19）=P （X=16）+P（X=17）+P（X=18 ）+P（ X=19）

18、= + = 买 19 个所需费用期望：EX1=200 +（20019+500） +（20019+5002） +（200 19+5003） =4040，买 20 个所需费用期望：EX2= +（20020+500） +（20020+2500） =4080，EX 1 EX2，买 19 个更合适解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当 n=19 时，费用的期望为：19 200+5000.2+10000.08+15000.04=4040，当 n=20 时，费用的期望为：20 200+5000.08+10000.04=4080，第 10 页（共 29

19、 页）买 19 个更合适2甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立（）求甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的概率；（）记 X 为比赛决胜出胜负时的总局数，求 X 的分布列和均值（数学期望） 【解答】解：用 A 表示甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的是事件，A k 表示第k 局甲获胜，B k 表示第 k 局乙获胜，则 P（ Ak）= ，P （B k）= ，k=1 ，2，3，4，5（）P（A ）=P（A 1A2）+P（B 1A2A3）+P （A 1B2A3A4

20、）=（ ） 2+ （ ）2+ （ ） 2= （）X 的可能取值为 2，3，4，5P（X=2）=P（A 1A2）+P （B 1B2）= ，P（X=3）=P（B 1A2A3）+P（A 1B2B3）= ，P（X=4）=P（A 1B2A3A4）+P （B 1A2B3B4）= ，P（X=5）=P（A 1B2A3B4A5）+P （B 1A2B3A4B5）+P（B 1A2B3A4A5）+P （A 1B2A3B4B5）= ，或者 P（X=5）=1P （X=2 ） P（X=3） P（X=4）= ，故分布列为：X 2 3 4 5P E（ X） =2 +3 +4 +5 = 3一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘

21、制了日销售量的频率分布直方第 11 页（共 29 页）图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率；（）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 E（X）及方差 D（X） 【解答】解：（）设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个”，A 2 表示事件“日销售量低于 50 个”B 表示事件“在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1天的日销售量低于 50 个”，因此 P

22、（A 1）= （0.006 +0.004+0.002）50=0.6，P（A 2）=0.00350=0.15，P（B） =0.60.60.152=0.108，（）X 可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率为：，随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216因为 XB（3，0.6） ，所以期望 E（X）=3 0.6=1.8，第 12 页（共 29 页）方差 D（X）=30.6（1 0.6）=0.724在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：作物产量（kg）300

23、 500概率 0.5 0.5作物市场价格（元/kg）6 10概率 0.4 0.6（）设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；（）若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率【解答】解：（）设 A 表示事件“ 作物产量为 300kg”，B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg”，则 P（ A）=0.5，P （B）=0.4 ，利润=产量 市场价格成本，X 的所有值为：500101000=4000，5006 1000=2000，300101000=2000，3006 1000=800，则 P（ X=4000）=P （ ）

24、P（ ）=（10.5 ）（10.4）=0.3，P（X=2000 ） =P（ ）P （B ）+P （A ）P（ ）= （1 0.5）0.4+0.5 （1 0.4）=0.5，P（X=800）=P （A）P （B）=0.50.4=0.2 ，则 X 的分布列为：X 4000 2000 800 P 0.3 0.5 0.2 第 13 页（共 29 页）（）设 Ci 表示事件“ 第 i 季利润不少于 2000 元”（i=1，2，3） ，则 C1，C 2，C 3 相互独立，由（）知，P（C i）=P（ X=4000）+P（X=2000 ）=0.3+0.5=0.8（i=1 ，2，3） ，3 季的利润均不少于 2

25、000 的概率为 P（C 1C2C3）=P（C 1）P（C 2）P（C 3）=0.83=0.512，3 季的利润有 2 季不少于 2000 的概率为 P（ C2C3）+P（C 1 C3）+P（ C1C2 ） =30.820.2=0.384，综上：这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为：0.512+0.384=0.8965现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答（）求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；（）已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题设张同学答对甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互

26、独立用X 表示张同学答对题的个数，求 X 的分布列和数学期望【解答】解：（I）设事件 A=“张同学至少取到 1 道乙类题 ”则 =张同学至少取到的全为甲类题P（A）=1 P（ ）=1 =（II）X 的所有可能取值为 0，1，2，3P （ X=0）= =P（X=1）= =P（X=2）= + =P（X=3）= =X 的分布列为 X 0 1 2 3第 14 页（共 29 页）P EX=6一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张，编号分别为1，2 ，3 ，4； 白色卡片 3 张，编号分别为 2， 3，4从盒子中任取 4 张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同） （）求取出的 4 张卡片中

27、，含有编号为 3 的卡片的概率（）在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望【解答】解：（I）设取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片为事件 A，则P（A ）= =所以，取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率为（II）随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）= =P（X=4）= =X 的分布列为EX= =x 1 2 3 4P 第 15 页（共 29 页）7某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤 20 元，成本为每公斤 15元销售宗旨是当天进货当天销售如果当天卖不出去，未售出的全部降价

28、处理完，平均每公斤损失 3 元根据以往的销售情况，按50，150） ，150，250） ，250， 350） ， 350，450） ，450，550进行分组，得到如图所示的频率分布直方图（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于 350公斤，而另一天日销售量低于 350 公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值（i）求日需求量 X 的分布列；（ii）该经销商计划每日进货 300 公斤或 400 公斤，以每日利润 Y 的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货 300 公斤还是 400 公斤？【解答】解：（1）由频率分布直方图可

29、知，日销售量不低于 350 公斤的概率为（0.0025+0.0015）100=0.4 ，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于 350 公斤，而另一天日销售量低于 350 公斤的概率 P=0.40.4（1 0.4）+（10.4）0.40.4=0.192 （3 分）（2） （）X 可取 100，200，300，400，500，P（X=100）=0.001010=0.1； P（X=200）=0.002010=0.2；P（X=300）=0.003010=0.3； P（X=400）=0.002510=0.25 ；P（X=500）=0.001510=0.15；所以 X 的分布列为：X 100 20

30、0 300 400 500第 16 页（共 29 页）P 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15（6 分）（）当每日进货 300 公斤时，利润 Y1 可取100，700，1500，此时 Y1 的分布列为：Y1 100 700 1500P 0.1 0.2 0.7此时利润的期望值 E（Y 1）= 1000.1+7000.2+15000.7=1180；（8 分）当每日进货 400 公斤时，利润 Y2 可取400，400，1200，2000，此时 Y2 的分布列为：Y2 400 400 1200 2000P 0.1 0.2 0.3 0.4此时利润的期望值 E（Y 2）= 4000.1+4000.2

31、+12000.3+20000.4=1200；（10 分）因为 E（Y 1）E（Y 2） ，所以该经销商应该选择每日进货 400 公斤（12 分）8已知一个口袋中有 3 个白球，2 个黑球，这些球除颜色外全部相同现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为 1，2，3，4，5 的抽屉内，其中第 k 次取出的球放入编号为 k 的抽屉（1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p；（2）随机变量 X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，求分布列【解答】解：（1）编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率为：（2）由题意得 X 的可能取值为 ， ， ，= ，= ，第 17 页（共 29 页

32、）= ，= ，X 的分布列为：X P 9自 2016 年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对 18 岁到 80 岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如表所示：性别年龄性别 女性 合计18，25）180 40 22025，35）360 240 60035，50）40 100 14050，80）20 20 40合计 600 400 1000（1）采用分层抽样的方式从年龄在25，35）内的人中抽取 10 人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？（2）在（1）中选出 10 人中随机抽取 4 人，求其中恰有 2 人是女性的概率；（3）用样本估计总体，在

33、全市 18 岁到 80 岁的市民中抽 4 人其中男性使用的人数记为 ，求 的分布列第 18 页（共 29 页）【解答】解：（1）因为年龄在25，35）人中男性，女性使用人数占总体的比例分别为 ，所以抽取的 10 人中男性，女性人数分别为 （2）由题意知，在（1）中选出的 10 人中，女性使用者人数为 4，所以 4 人中恰有 2 女性使用者的概率为 （3）由题知， 的可能取值为 0，1，2，3，4，因为用样本估计总体，任取 1 人，是男性使用者的概率为 ，所以随机变量 服从二项分布，即 ，所以 的分布列为： 0 1 2 3 4P 10某中超足球队的后卫线上一共有 7 名球员，其中 3 人只能打中

34、后卫，2 人只能打边后卫，2 人既能打中后卫又能打边后卫，主教练决定选派 4 名后卫上场比赛，假设可以随机选派球员（1）在选派的 4 人中至少有 2 人能打边后卫的概率；（2）在选派的 4 人中既能打中后卫又能打边后卫的人数 的分布列与期望【解答】解：（1）设事件 A 表示“ 选派的 4 人中至多有 1 人能打边后卫”，则 P（ A）= = ，事件 B 表示“ 选派的 4 人中至少有 2 人能打边后卫”，P（B ）=1 P（A）=1 = （2） 的可能取值为 0，1，2，第 19 页（共 29 页）P（=0 ）= = = ，P（=1 ）= = = ，P（=2 ）= = = ， 的分布列为： 0

35、 1 2P E=1 +2 = 11由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求为此，某市公交公司在某站台的 60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取 10 人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：组别候车时间（单位：min）人数一 0，5） 1二 5，10） 5三 10，15） 3四 15，20） 1（）估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数；（）现从这 10 人中随机取 3 人，求至少有一人来自第二组的概率；（）现从这 10 人中随机抽取 3 人进行问卷调查，设这 3 个人共来自 X 个组，求 X 的分布列及数学期望【解答】解：

36、（）候车时间少于 10 分钟的人数为 60（ + ）=36（人）第 20 页（共 29 页）（）设“至少有一人来自第二组为事件 A”，则 P（A）=1 = （）X 的可能值为 1，2 ，3，P （X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（ X=3）= = ，所以 X 的分布列为X 1 2 3PEX= +2 +3 = 12数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如表所示：中学 甲 乙 丙 丁人数 30 40 20 10为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取 30 名参加问卷调查（）

37、问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（）从参加问卷调查的 30 名学生中随机抽取 2 名，求这 2 名学生来自同一所中学的概率；（）在参加问卷调查的 30 名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取 2 名，用 X 表示抽得甲中学的学生人数，求 X 的分布列【解答】 （本小题共 14 分）解：（）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为 100 名，抽取的样本容量与总体个数的比值为 ，所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为 9，12，6，3（3 分）第 21 页（共 29 页）（）设“从 30 名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件 A，从 30

38、 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 种，（5 分）来自同一所中学的取法共有 （7 分）所以 答：从 30 名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为 （8 分）（）由（）知，30 名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6 依题意得，X 的可能取值为 0，1，2， （9 分）， （12 分）所以 X 的分布列为：X 0 1 2P （14 分）13某厂有 4 台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现 1 次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需 1 名工人进行维修每台机器出现故障需要维修的概率为 （1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能

39、及时进行维修的概率不少于 90%？（2）已知一名工人每月只有维修 1 台机器的能力，每月需支付给每位工人 1 万第 22 页（共 29 页）元的工资每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生 5 万元的利润，否则将不产生利润若该厂现有 2 名工人求该厂每月获利的均值【解答】解：（1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件 A，则事件 A 的概率为 ；该厂有 4 台机器就相当于 4 次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为 X，则 ，则 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P设该厂有 n 名工人，则“ 每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修

40、”为 Xn，则 X=0，X=1 ， X=2， ，X=n，这 n+1 个互斥事件的和事件，则n 0 1 2 3 4P（Xn）1 ，至少要 3 名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于 90%；（2）设该厂获利为 Y 万元，则 Y 的所有可能取值为：18 ，13，8，P（Y=18）=P（X=0） ，；第 23 页（共 29 页）则 Y 的分布列为：Y 18 13 8P则 ；故该厂获利的均值为 14甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜投篮进行到有人获胜或每人都已投球 3 次时结束设甲每次投篮命中的概率为 ，乙每次投篮命中的概率为 ，且各次投篮互不影响现

41、由甲先投（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数 X 的分布列与期望【解答】解：（1）由题意甲获胜的概率：p= + = （2）由题意知投篮结束时甲的投篮次数 X 的可能取值为 1，2，3，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= + += ，X 的分布列为：X 1 2 3P EX= = 15某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从 T1、T 2 两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙第 24 页（共 29 页）两人选择使用试题 T1，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题 T2，并约定：两人成绩都合格就一同签

42、约，否则两人都不签约已知甲、乙考试合格的概率都是 ，丙、丁考试合格的概率都是 ，且考试是否合格互不影响（I）求丙、丁未签约的概率；（II）记签约人数为 X，求 X 的分布列和数学期望 EX【解答】解：（I）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为 A，B，C ，D由题意知 A，B，C ，D 相互独立，且 ， 记事件“丙、丁未签约 ”为 F，由事件的独立性和互斥性得：P（F） =1P（CD） （3 分）= （4 分）（II） X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4 （5 分），所以，X 的分布列是：X 0 1 2 3 4P （12 分） X 的数学期望 （13 分）16在公园游园活动中有这样一个游戏

43、项目：甲箱子里装有 3 个白球和 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球和 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏第 25 页（共 29 页）都从这两个箱子里各随机地摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖 （每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：求摸出 3 个白球的概率；求获奖的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为 X：求 X 的分布列； 求 X 的数学期望【解答】解：（1）记“在一次游戏中摸出 k 个白球 ”为事件Ak（k=0，1 ， 2，3 ） （2 分） （5 分）（2）X 的分布列为X 0 1 2P（ 8 分）X 的数学期望 （10 分）17一个箱中原来装有

44、大小相同的 5 个球，其中 3 个红球，2 个白球规定：进行一次操作是指“ 从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中 ”（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为 4 的概率；（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望【解答】解：（1）设 A1 表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”，B1 表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”，A2 表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”，B2 表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”则 A1B2 表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的第 26 页

45、（共 29 页）是白球”由条件概率计算公式得 P（A 1B2）=P（A 1）P （B 2|A1）= B1A2 表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”由条件概率计算公式得 P（B 1A2）=P（B 1）P （A 2|B1）= = A1B2+B1A2 表示“进行第二次操作后，箱中红球个数为 4”，又 A1B2 与 B1A2 是互斥事件P（A 1B2+B1A2）=P（A 1B2）+P （B 1A2）= （2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为 X，则 X=3，4，5P（X=3）= ，P（X=4）= ，P（X=5）= 进行第二次操作后，箱中红球个数 X 的分布列为：进行

46、第二次操作后，箱中红球个数 X 的数学期望EX= = 18袋子里有完全相同的 3 只红球和 4 只黑球，今从袋子里随机取球（1）若有放回地取 3 次，每次取一个球，求取出 2 个红球 1 个黑球的概率；（2）若无放回地取 3 次，每次取一个球，若取出每只红球得 2 分，取出每只黑球得 1 分求得分 的分布列和数学期望【解答】解：（1）从袋子里有放回地取 3 次球，相当于做了 3 次独立重复试验，每次试验取出红球的概率为 ，取出黑球的概率为 ，设事件 A=“取出 2 个红球1 个黑球”，则 P（A）= = （6 分）（2） 的取值有四个：3、4、5、6，第 27 页（共 29 页）P（=3 ）=

47、 = ，P（=4）= = ，P（=5）= = ，P（=6 ）= 分布列为： 3 4 5 6P（10 分）从而得分 的数学期望 E=3 +4 +5 +6 = （12 分）19甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 假设各局比赛结果相互独立（1）分别求甲队以 3：0，3：1，3：2 胜利的概率；（2）若比赛结果为 3：0 或 3：1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 3：2，则胜利方得 2 分，对方得 1 分求乙队得分 X 的分布列【解答】解：（1）记“甲队以 3：0 胜利”为事件 A1，“甲队以 3：1 胜利” 为事件 A2，“甲队以 3：2 胜利” 为事件 A3，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以 P（A 1）= = ，P（A 2）= （1 ） = ，P（A 3）= = ；所以甲队以 3：0 胜利、以 3：1 胜利的概率都为 ，以 3：2 胜利的概率为 ；（2）设“乙队以 3：2 胜利”为事件 A4，第 28 页（共 29 页）由题意知，各局比赛结果相互独立，所以 P（A 4）= （1 ）= ；由题意知，随机变量 X 的所有可能的取值为 0，1，2，3，根据事件的互斥性得P（X=0）=P（A