1、第四章 微分方程 一、微分方程的概念 案例 1 曲线方程已知曲线过点(，)，且曲线上任一点 处切线的斜率是该点横坐标的倒数， 求此曲线方程 解:设曲线方程为 ，于是曲线在点 处切线的斜率为 根据题意有（4.1.1）又曲线过点（，），故有（4.1.2）对式（4.1.1）两边积分，得 将式(4.1.2)代入上式，得 ，即 故所求曲线方程为 案例 2 自由落体运动 一质量为 的质点,在重力作用下自由下落,求其运动方程. 解: 建立坐标系如图（1）所示，坐标原点取在质点开始下落点, 轴铅直向下.设在时刻 质点的位置为 , 由于质点只受重力 作用,且力的方向与 轴正向相同，故由牛顿第二定律，得质点满足的
2、方程为，即 方程两边同时积分，得 上式两边再同时积分，得 其中 是两个独立变化的任意常数 案例 3列车制动 列车在直线轨道上以 20 米/秒的速度行驶，制动列车获得负加速度-0.42米 秒，问开始制动后要 经过多少他长时间才能把列车刹住？在这段时间内列车行驶了多少路程？解: 记列车制动的时刻为 t=0，设制动后 t 秒列车行驶了 s 米.由题意知，制动后列车行驶的加速度20.4dst， （4.1.3）初始条件为当 t时， s，20dvt. 将方程（4.1.3）两端同时对 t 积分，得1()0.4dsvttC， (4.1.4)式(4.1.4)两端对 t 再积分一次，得2120.Cst， (4.1
3、.5)其中 1C， 2都是任意常数，把条件当 t=0 时， 20dst代入（4.1.4）式，得 1C20,把 t=0 时，s=0 代入式（4.1.5），得 2C0于是，列车制动后的运动方程为2.st， （4.1.6）速度方程为 0.4dvtt. （4.1.7 ）因为列车刹住时速度为零，在式（4.1.7）中，令 0dsvt,得 0=-0.4t+20，解 出得列车从开始制动到完全刹住的时间为 205().4ts再把 t=50 代入式（4.1.6），得列车在制动后所行驶的路程为 20.50()sm二、可分离变量的微分方程案例 1 国民生产总值 1999 年我国的国民生产总值（GDP）为 80,423
4、 亿元，如果我国能保持每年 8%的相对增长率， 问到 2010 年我国的 GDP 是多少？ 解: (1)建立微分方程记 0t代表 1999 年，并设第 t 年我国的 GDP 为 ()Pt由题意知，从 1999 年起， ()Pt的相对增长率为 8%，即 8%()dt，得微分方程()8%()dPtt，且 (0)8,423.P（2）求通解分离变量得()8dPtt,方程两边同时积分，得 ln()0.lnttC(3) 求特解 将 (0)8,423.P代入通解，得 80,423，所以从 1999 年起第 t年我国的 GDP 为 ()Pt.t8,423e,将 019t代入上式，得 2010 年我国的 GDP
5、 的预测值为 (1)P.8,423e 31.78(亿元) 案例 2 落体问题 设跳伞运动员从跳伞塔下落后，所受空气的阻力与速度成正比运动员离塔时（t=0）的速度为零，求运动员下落过程中速度与时间的函数关系解: （1）建立微分方程 运动员在下落过程中，同时受到重力和空气阻力的影响重力的大小为 mg，方向与速度 v 的方向一致；阻力的大小为 kv(k 为比例系数)，方向与 v 相反从而运动员所受的外力为 Fmgk，其中m为运动员的质量.又由牛顿第二定律有 Fa，其中 为加速度，dvt于是在下落过程中速度 ()vt满足微分方程vmgkdt， 初始条件为 0tv.（2）求通解方程是一个可分离变量的微分
6、方程分离变量后，得 mdtkvg两端积分得 1)ln(1Cmtkvg,即 tmkevg2(其中12kCe)， 或 tke（其中2k）.（3）求特解把初始条件 0tv代入通解，得 kmg C于是所求速度与时间的关系为 )1(tmev.由上式可见，当 t 很大时，tmke很小，此时 v接近于gk由此可见，跳伞运动员开始跳伞时是加速运动， 以后逐渐接近于匀速运动，其速度为.案例 3 环境污染问题 某水塘原有 50t 清水(不含有害杂质)，从时间 0t开始，含有有害杂质 %5的浊水流入该水塘流入的速度为 2tmin，在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以 2tmin 的速度流出水塘问经过多长时间后塘中有害
7、物质的浓度达到 %4?解:（1）建立微分方程 设在时刻 t塘中有害物质的含量为 tQ，此时塘中有害物质的浓度 为50tQ， 不妨设单位时间内有害物质的 变化量为 M 单位时间内流出塘的有害物质的量 为 S2, 于是有 d12QSt即 25015021dttt, 初始条件为 0Q. （2）求通解 方程是式是可分离变量方程，分离变量得 d1250-()250Qdtt, 积分，得 250tCetQ,即 250tte （3）求特解 由初始条件 0t， Q得 250C，故 2501tet当塘中有害物质浓度达到 %4时，应有 20%450Q(t)，这时 t应满足250120te由此解得 6.70t(min
8、)，即经过 6.70min 后，塘中有害物质浓度达到 %4，由于250limtQt，塘中有害物质的最终浓度为 25% 案例 4 刑事侦察中死亡时间的鉴定 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的 37按照牛顿冷却定律开始下降，如果两个小时后尸体温度变为 35，并且假定周围空气的温度保持 20不变， 试求出尸体温度 H随时间 t的变化规律又如果尸体发现时的温度是 30，时间是下午 4 点整，那么谋杀是何时发生的？解: （1）建立微分方程 设尸体的温度为 )(tH( 从谋杀后计)，根据
9、题意，尸体的冷却速度 tHd与尸体温度 和空气温度20 之差成正比即 td20Hk，其中 0k是常数，初始条件为 037 （2）求通解 分离变量得 d20Hkt积分得 ktCe20（3）求特解 把初值条件 370H代入通解，求得 17C于是该初值问题的解为 kteH20为求出 k值，根据两小时后尸体温度为 35这一条件，有217035ke求得 063.k，于是温度函数为 teH063.172 将 30H代入上式有 te063.17，即得 4.8t（h）于是，可以判定谋杀发生在下午 4 点尸体被发现前的 4.8h，即 8 小时 24 分钟，所以谋杀是在上午 7 点 36 分发生的 案例 5 第二
10、宇宙速度 地球对物体的引力 F与物体的质量 m以及物体离地心的距离 s间的关系为2smgRF，这里 是重力加速度， R为地球半径验证：如果物体以 gRv20的初速度发射，则永远不会返回地球解: （1）建立微分方程 由牛顿第二定律 maF，其中 dtv，有vstsvtd，故有 2dsRmgv，初始条件为 s时， 0v.（2）求通解 变量分离后为 sgRvdd2两边积分 2得 CsgRv2（3）求特解 把 s时， 0v，代入通解得gRv210，故有 gRvsv202由此可见，当 s很大时， s2很小，当 gRv20时，速度 v永远大于 0，所以物体永远不会返回地面三、一阶线性微分方程案例 1 溶液
11、的混合 一容器内盛有 50L 的盐水溶液，其中含有 10g 的盐现将每升含盐 2g 的溶液以每分钟 5L 的速度注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以 3L 升/min 的速度流出溶液，问在任一时刻 t 容器中含盐量是多少？ 解: （1）建立微分方程设 t 时刻容器中含盐量为 x克，容器中含盐量的变化率为dtx=盐流入容器的速度盐流出容器的速度 （4.3.1）其中，盐流入容器的速度=2（克/升）5（升/分）=10(克/分),盐流出容器的速度 = tx250（克/升）3（升/分）= tx2503(克/分)由式（4.3.1）可得 31052dxxtt即 10tt由题意知初始条
12、件为 01tx（2）求通解直接应用求一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得 335025021dtdtxeeC)250()()()( 232323 tttt 32(50)410Ct（3）求特解将初始条件 01tx代入通解，得 C=-22500 2.所以，在时刻 t 容器中的含盐量为100+4t-2250023)50(t(g)案例 2 RL 电路 在一个包含有电阻 R（单位： ），电感 L（单位：H）和电源 E（单位：V）的RL 串联回路中，由回路电流定律，知电流（单位：A）满足以下微分方程 dIt,若电路中电源 t2sin3伏，电阻 10，电感 0.5H 和初始电流 6A，求在任何时刻 t 电路
13、中的电流解:（1）建立微分方程这里 tE2sin3， 10R， 5.L，将其代入 RL 电路中电流应满足的微分方程，得tIdti60，初始条件为 0tI （2）求通解 此方程是一阶线性微分方程，应用公式(4.3.4)，得通解2020(6sin)dt dtIeeC20206sintteedC203sicos101tett，（3）求特解将 0t时, 6I代入通解，得 2033sin20cos2011Ce（ ） （ ），解之，得 6910，所以，在任何时刻 t的电流为 20693sincos2110tIett案例 3 RC 回路 在一个包含有电阻 R（ ），电容 C（F）和电源 E（V）的 RC串联
14、回路中，由回路电流定律，知电容上的电量 q（C）满足以下微分方程1dtR,若回路中有电源 40cos2t(V),电阻 100 ，电容 0.01F，电容上没有初始电量.求在任意时刻 t电路中的电流解: （1）建立微分方程我们先求电量 q.这里 40cos2,10,.EtRC，将其代入 RC 回路中电量 q 应满足的微分方程得 4cos2dqtt，初始条件为 0tq.（2）求通解此方程是一阶线性微分方程，应用公式(4.3.4)，得84sin2cos5tqCett，将 0t, 代入上式，得084sin2cos2055Ce（ ） （ ），解之，得 4于是484sin2cos55tqett，再由电流与电量的关系 dIt，得4168cos255tIett
