1、 基于公式建模的 PDE模式 ：案例 基于公式建模 案例 基于公式建模 本节的模型求解在一个单元圆盘上的 Poisson方程，首先设定常数源项，然后在圆心设定一个点源。两种情况下均已知解析解，可用来判定数值结果的精确性。 这些模型作为在 COMSOL Multiphysics中使用 PDE的基于公式建模的介绍性案例，在 COMSOL Multiphysics模型库 的 “基于公式建模 ”的章节中可以找到更多的相关案例。 单元圆盘上的 Poisson方程 一个众所周知的经典 PDE是 Poisson方程 在单元圆盘 上， f = 1 ，其解析解为 因此可以将 COMSOL Multiphysic
2、s的数值解与解析解进行对比。 结果 下面的图显示了误差 (由 COMSOL Multiphysics得到的数值解和解析解之间的差 )： 页码， 1/8(W)w2011/5/26mk:MSITStore:C:UsersAdministratorDesktopCOMSOL_LibDoc_Multiphysics.C.有限元解在求解域的中心很接近解析解，这是很自然的，因为解析解和单元形函数都是二阶多项式。然而，靠近边界的误差就比较大，因为边界上的单元形状与几何相似，局部和整体坐标不是线性。因此，尽管在局部坐标中是二阶多项式，形函数在 x 和 y 上并不是严格的二阶多项式。 模型库路径： COMSOL
3、_Multiphysics/Benchmarks/poisson_unit_disk 使用图形化用户界面建模 下面说明如何使用图形化用户界面得到上面的图。 模型导航视窗 选项和设定 1 在 模型导航视窗 ，从 空间维度 中选择 2D 。 2 在应用模式列表中，打开 COMSOL MultiphysicsPDE模式 ，然后打开 古典偏微分方程 。 3 选择 泊松方程式 。 4 在 单元 列表中 选择 拉格朗日 二次 (缺省的单元类型 )。 5 点击 确定 。 1 在 选项 菜单选择 轴 /格点设定 。 2 输入下表中的轴限制。 3 点击 格点 标签。 4 清除 自动 选择框，输入下面的格点间格和
4、特别点： 轴 格点 页码， 2/8(W)w2011/5/26mk:MSITStore:C:UsersAdministratorDesktopCOMSOL_LibDoc_Multiphysics.C.几何建模 物理设定 边界条件 模型中的缺省边界条件是 u = 0 ，因此不需要做改变。 求解域设定 缺省 f 为 1，因此也不需要做改变。 网格 求解 点击主工具条上的 求解 按钮。 后处理和图形化 要以 3D表面的形式观察结果，点击绘图工具条上的 3D表面图 。 将 FEM的结果与解析解对比： x 最小 -2 x 间格 0.5 x 最大 2 特别 x y 最小 -1.5 y 间格 0.5 y 最大
5、 1.5 特别 y 1 在绘图工具条上点击 椭圆形 /圆形 (以圆心 ) 。 2 点击右键，画一个圆心在 (0, 0)，半径为 1的圆盘。 1 点击主工具条上的 网格模式 按钮来初始化和显示网格。 2 点击主工具条上的 细化网格 按钮。 1 点击 绘图参数 工具条按钮。 2 点击 表面 标签。 3 在 表面数据 的 表达式 编辑框中键入 u-(1-x2-y2)/4 。 页码， 3/8(W)w2011/5/26mk:MSITStore:C:UsersAdministratorDesktopCOMSOL_LibDoc_Multiphysics.C.施加点源 对于在圆心处有一个点源的单位圆上的 Po
6、isson方程，其正式表达式为： 其中 是在圆心的 Dirac 分布。解析解为 ，在圆心处存在一个奇异点。 最简单的描述点源的方法是使用一个额外的弱项，为此，用户需要了解一些 FEM理论和 PDE的弱解的基础知识。要得到广义 Poisson方程的弱解形式 (其中 f 是任意的源项 )，乘上一个试函数 u test ，并在求解域内 积分： 分布积分，引入 Lagrange乘子 处理边界上的约束，得到： 4 点击 确定 。 页码， 4/8(W)w2011/5/26mk:MSITStore:C:UsersAdministratorDesktopCOMSOL_LibDoc_Multiphysics.C
7、.这些方程中的各项是域 内或边界 上的积分。可以向方程中引入一个额外的弱项。要处理在 或 上的积分， COMSOL Multiphysics同样要处理来自于边和奇异点的贡献。软件不是积分来自点的贡献，而是直接将它们累加到方程中。 只要源项 f 是一个空间、解变量和时间的函数， COMSOL Multiphysics就可以离散给定的积分方程。不幸的是，无法以 COMSOL Multiphysics能积分的函数形式表述 Dirac 分布。根据 Dirac 分布的定义，下式成立： 因此，设定 f 为 0，并在原点上添加一个弱项 u test 来修正弱形式。下面的案例模型采用了局部精细化网格来处理位于
8、原点的奇异点的解析度。 模型库路径： COMSOL_Multiphysics/Benchmarks/point_source 使用图形化用户界面建模 模型导航视窗 1 在 模型导航视窗 的 空间维度 列表中选择 2D 。 2 在应用模式列表中打开 COMSOL MultiphysicsPDE模式 ，然后是 古典偏微分方程 。 3 选择 泊松方程式 ，在 单元 列表中确认选中 拉格朗日 二次 。 页码， 5/8(W)w2011/5/26mk:MSITStore:C:UsersAdministratorDesktopCOMSOL_LibDoc_Multiphysics.C.选项和设定 几何建模 4
9、 点击 确定 。 1 在 选项 菜单选择 轴 /格点设定 。 2 在 轴 /格点设定 对话框中，输入下列参数： 轴 x 最小 -2 x 最大 2 y 最小 -1.5 y 最大 1.5 3 点击 格点 标签。 4 清除 自动 选择框。 5 在格点间格的编辑框内输入下列值，然后点击 确定 。 格点 x 间格 0.5 特别 x y 间格 0.5 特别 y 1 点击绘图工具条上的 椭圆 /圆 (以圆心 ) 按钮。 2 按住右键，画一个圆心在 (0, 0)，半径为 1的圆。 3 点击绘图工具条上的 点 按钮，在原点上点击一次。 页码， 6/8(W)w2011/5/26mk:MSITStore:C:Use
10、rsAdministratorDesktopCOMSOL_LibDoc_Multiphysics.C.物理设定 点设定 边界条件 缺省的边界条件是 u = 0 ，所以不需要作任何修改。 求解域设定 网格 因为解在原点处存在奇异点，因此需要在该点附近生成更高解析度的网格： 1 在 物理量 菜单选择 点设定 。 2 在 点设定 对话框中选择点 3。 3 在 弱项 编辑框中 键入 u_test 。 4 点击 确定 。 1 在 物理量 菜单选择 求解域设定 。 2 选择求解域 1。 3 键入 PDE的参数，然后点击 确定 。 属性 值 c 1 f 0 1 从 网格 菜单选择 自由网格参数 。 2 点击
11、 点 标签。 3 选择点 3。 4 在 最大单元尺寸 编辑框中键入 0.001 。 5 点击 重划网格 按钮。 6 点击 确定 。 页码， 7/8(W)w2011/5/26mk:MSITStore:C:UsersAdministratorDesktopCOMSOL_LibDoc_Multiphysics.C.求解 点击主工具条上的 求解 按钮。 后处理和图形化 点击绘图工具条上的 3D 表面图 按钮来 显示 3D表面的结果。 解析解表明在原点是一个无限大的值，因此很难评价误差的大小。因为解是轴对称的，可以在以原点出发的一条线段上将 COMSOL Multiphysics的结果与解析解进行比较。
12、 另一种检查解精度的方法是在求解域上积分数值解与解析解之间的差。结果表明，尽管原点附近的局部误差很大，在 L 2 上的平均全域误差很小。 1 从 后处理 菜单选择 剖面图参数 。 2 在 剖面图参数 对话框，点击 线 /拉伸 标签。 3 在 y轴数据 的 表达式 编辑框中键入 u+log(x2)/(4*pi) 。 4 在 剖面线数据 区， x0 中键入 0.02 ， x1 中键入 1 ， y0 和 y1 保持缺省值 0 。 5 点击 确定 。 页码， 8/8(W)w2011/5/26mk:MSITStore:C:UsersAdministratorDesktopCOMSOL_LibDoc_Multiphysics.C.
