1、1因数与倍数知识点归纳及考点应用1、倍数与因数的关系【知识点 1】倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。例如：6 是倍数、3 和 2是因数。 （）改正：6 是 3和 2的倍数， 3和 2是 6的因数。练习：（1）85=40 ， （ ）和（ ）是（ ）的因数， （ ）是（ ）和（ ）的倍数。（2）因为 369=4，所以（ ）是（ ）和（ ）的倍数， （ ）和（ ）是（ ）的因数。（3）在 186=3 中，18 是 6 的（ ） ，3 和 6 是（ ）的（ ） 。（4）在 147=2 中， （ ）能被（ ）整除， （ ）能整除（ ） ， （ ）是（ ）的倍数， （ ）是（ ）的因数。（5）若
2、 AB=C（A 、B、C 都是非零自然数） ，则 A 是 B 的（ ）数，B 是 A 的（ ）数。（6）如果 A、B 是两个整数（B0） ，且 AB2，那么 A 是 B 的 ，B 是 A 的 。（7）判断并改正：因为 76=42，所以 42是倍数，7 是因数。 （ ）因为 155=3，所以 15 和 5 是 3 的因数， 5 和 3 是 15 的倍数。 （ ）5 是因数，15 是倍数。 （ ）甲数除以乙数，商是 15，那么甲数一定是乙数的倍数。 （ ）（8）甲数3=乙数，乙数是甲数的（ ） 。A、倍数 B、因数 C、自然数【知识点 2】倍数因数只考虑正数，小数、分数等不讨论倍数、因数的问题。例
3、如：0.65=3，虽然可以表示 0.6 的 5 倍是 3 但是，0.6 是小数是不讨论倍数因数问题。因此类似的：因为 0.65=3，所以 3 是 0.6 和 5 的倍数。是错误的说法。练习：（1）有 52=2.5 可知（ ）A、5 能被 2 除尽 B、2 能被 5 整除 C、5 能被 2 整除 D、2 是 5 的因数，5 是 2 的倍数（2）365=71 可知（ ）A、5 和 7 是 36 的因数 B、5 能整除 36 C、36 能被 5 除尽 D、36 是 5 的倍数（3）属于因数和倍数关系的等式是（ ）A、20.250.5 B、22550 C、200【知识点 3】没有前提条件确定倍数与因数
4、例如：36 的因数有（ ） 。确定一个数的所有因数，我们应该从 1 的乘法口诀一次找出。如：136=36、218=36 、312=36、49=36、66=36 因此 36 的所有因数为：1、2、3、4、6、9、12、18、36 重复的和相同的只算一个因数。一个数的因数个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是他本身。例如：7 的倍数（ ） 。确定一个数的倍数，同样依据乘法口诀，如：17=7、27=14、37=21、47=28、57=35还有很多。因此 7 的倍数有：7、14、21、28、35、42一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。练习：（1）20 的因数有： （2
5、）45 的因数有： （3）24 的倍数有： （4）17 的倍数有： （5）下面的数，因数个数最多的是（ ） 。A、18 B、 36 C、402（6）判断并改正：14 比 12 大，所以 14 的因数比 12 的因数多 （ ） 1 是 1，2，3，4，5 的因数 （ ） 一个数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 （ ） 一个数的最小倍数是它本身 （ ）12 是 4 的倍数，8 是 4 的倍数，12 与 8 的和也是 4 的倍数。 （ ）凡是 8的倍数也一定是 2的倍数。 （ ）（7）幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了 32颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少？（8）小红到超市买日记
6、本，日记本的单价已看不清楚，他买了 3本同样的日记本，售货员阿姨说应付 35元，小红认为不对。你能解释这是为什么吗？ 【知识点 4】有前提条件的情况下确定倍数与因数例如：25 以内 5 的倍数有（ 5、10、15、20、25 ） 。特别注意前提条件是 25 以内！例如：5、1、20、35、40、10、140、2以上各数中，是 20 的因数的数有（ ） ；是 20 的倍数的数有（ ） ；既是 20 的倍数又是 20 的因数的数有（ ） 。首先我们应该明确 20 的因数有哪些，然后在上面的数中一次找出，特别注意没有在以上数字中出现的因数是不能填入括号的！练习：（1）100 以内 19 的倍数有：
7、（2）在 4，6，8，10，12，16，18，20，22，24，28，32，36 中4 的倍数： 36 的因数：（3）一个数既是 6 的倍数，又是 60 的因数，这个数可能是 （4）用 1、5、6、8、9 组成的数中，是 3 的倍数的数有 是 2 的倍数的数有 。【知识点 5】关于倍数因数的一些概念性问题一个数的因数个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是他本身。一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。1是任一自然数（0 除外）的因数。也是任一自然数（0 除外）的最小因数。一个数的因数最少有 1个，这个数是 1。除 1以外的任何整数至少有两个因数（0 除外） 。一个数
8、的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数练习：（1）一个数的倍数个数是（ ） ，最小的倍数是（ ） ， （ ）最大的倍数。（2）一个数的因数的个数是（ ） ，最小的因数是（ ） ，最大的因数是（ ） 。（3）在研究因数和倍数时，我们所说的数一般指的是（ ） 。（4）判断并改正：一个数的因数都比他的倍数小。 （ ）1是所有的自然数的因数。 （ ）一个数的因数一定小于他本身。 （ ）一个数的倍数一定比他的因数大。 （ ）任何一个数的倍数个数一定比因数个数多。 （ ）二、2、3、5 的倍数的特征【知识点 1】2、3、5 的倍数特征个位上是 0，
9、2，4，6，8 的数都是 2的倍数。例如：202、480、304，都能被 2整除。个位上是 0或 5的数，是 5的倍数。例如：5、30、405 都能被 5整除。一个数各个数位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。例如：12、108、204 都能被 3整除。3个位上是 0的数既是 2的倍数又是 5的倍数。例如：80、20、70、130 等。个位上是 0且各位数字的和是 3的倍数，那么这个数既是 2的倍数又是 3和 5的倍数。例如：120、90、180、270 等。自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数。也就是说是 2 的倍数的数也叫做偶数（0 也是偶数） ，不是 2 的倍数的数也
10、叫做奇数。 （因此在自然数中，除了奇数就是偶数）偶数偶数=偶数 偶数偶数=偶数 偶数偶数=偶数偶数奇数=奇数 偶数奇数=奇数 偶数奇数=偶数奇数奇数=偶数 奇数偶数=奇数 奇数奇数=奇数奇数奇数=偶数 无论多少个偶数相加都是偶数偶数个奇数相加是偶数 奇数个奇数相加是奇数练习：（1）在 27、68、44、72、587、602、431、800 中，把奇数和偶数分别填在相应的圈内。奇数 偶数（2）按要求填数。3的倍数： 2 ，3 ， 1 ， 7 4 ， 8 6 ， 4 6。2和 3的倍数： 4 ， 1 ，6 ， 4 ，9 ， 5 ， 6 。2、3 和 5的倍数： 0， 2 。（3）写出 5个 3的倍
11、数的偶数： 写出 3个 5的倍数的奇数： （4）猜猜我是谁。我比 10小，是 3的倍数，我可能是（ ） 。我在 10和 20之间，又是 3和 5的倍数，我是（ ） 。我是一个两位数且是奇数，十位数字和个位数字的和是 18，我是（ ） 。（5）一个六位数 548能同时被 3、4、5 整除，这样的六位数中最小的一个是（ ） 。一个四位数 698 ，如果在个位上填上数字（ ） 。那么这个数既是 2 的倍数，又是 5 的倍数。117 既是 3 的倍数，又是 5 的倍数；249 既是 2 的倍数，又是 3 的倍数。（6）把下面的数按要求填到合适的位置。435、27、65、105、216、720、18、3
12、5、402的倍数（ ） ；3 的倍数（ ） ；3的倍数（ ） ；2、5 的倍数（ ） ；2、3 的倍数（ ） ；2、3、5 的倍数（ ） 。（7）同时是 2和 3的倍数中，最小的是（ ） ，两位数中最大的是（ ） 。（8）能同时被、和整除的最小三位数是_ _，最大两位数是 _ _，最小两位数是_ _，最大三位数是_ _。 （9）三个连续偶数的和是 72，这三个偶数分别是（ ） 、 （ ）和（ ） 。（10）226 至少增加（ ）就是 3的倍数，至少减少（ ）就是 5的倍数。（11）用 5、6、8 排成一个三位数且是 2的倍数，再排成一个三位数，使他有因数 5，各有几种排法？这些数中有 3的倍数
13、吗？（12）在（ ）里填上一个数，使 87（ ）是 3的倍数，共有（ ）种填法。A、1 B、2 C、3 D、4最小的四位奇数比最大的三位偶数大（ ） 。A、113 B、13 C、3A B是一个三位数，已知 A+B=14，且 A B是 3的倍数， 中可能填的数有（ ）个。A、1 B、2 C、3 D、4 （13）判断并改正：两个奇数的和，可能是偶数。 （ ）最小的奇数是 1，最小的偶数是 2.（ ）一个自然数不是奇数就是偶数。 （ ）4个位上是 3、6、9 的数都是 3的倍数。 （ ）是 3的倍数的数一定是 9的倍数，是 9的倍数的数一定是 3的倍数。 （ ）偶数的因数一定比奇数的因数多。（ ）【
14、知识点 2】一些特殊数的倍数的特征 一个数各位数上的和能被 9整除，这个数就是 9的倍数。 但是，能被 3整除的数不一定能被 9整除；能被 9整除的数一定能被 3整除。 一个数的末两位数能被 4整除，这个数就是 4的倍数。例如：16、404、1256 都是 4的倍数。一个数的末两位数能被 25整除，这个数就是 25的倍数。例如：50、325、500、1675 都是 25的倍数。 一个数的末三位数能被 8（或 125）整除，这个数就是 8（或 125）的倍数。例如：1168、4600、5000、12344 都是 8的倍数，1125、13375、5000 都是 125的倍数。 如果 a和 b都是
15、c的倍数，那么 ab 和 ab 一定也是 c的倍数如果 a是 c的倍数，那么 a乘以一个数（0 除外）后的积也是 c的倍数练习：（1）五位数153能同时被 5 和 9 整除，这样的六位数有（ ） 、 （ ） 。（2）六位数1576 能同时被 55整除，这样的六位数有（ ） 、 （ ） 。（3）一个比 20小的偶数，他有因数 3，又是 4的倍数，这个数是（ ） 。【知识点 3】最大公因数与最小公倍数（课本 P7988）由于一个数的因数个数是有限的而且最大的因数是这个数本身，最小的因数都是 1.因此，几个数公共的因数也只考虑其最大的公共因数，而不考虑最小的公共因数。例如：12、16、18 的最大公
16、因数12的因数有：1、2、3、4、6、1216的因数有：1、2、4、8、1618的因数有：1、2、3、6、9、18因此 12、16、18 的最大的公共因数即最大公因数是：2练习：（1）12 的约数有（ ） ；18 的约数有（ ） ；其中（ ）是 12和 18 的公约数；它们的最大公约数是（ ） 。（2）求下面数的最大公约数24 和 36 54 和 72 7 和 63 12、18、36（3）长 180 厘米,宽 45 厘米,高 18 厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料) 多少块？（4）动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得 12 粒；如只分给第二群，则每只猴子
17、可得15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒.那么平均给三群猴子,每只可得多少粒.同样由于一个数的倍数个数是无限的，但其最小的倍数是他本身，因此在求几个数的公倍数时只能考虑其最小的公共倍数。例如：2、4、5 的最小公倍数2 的倍数有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、4 的倍数有：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、5 的倍数有：5、10、15、20、25、30、35、40、公共的倍数有：20、40 所以 2、4、5 的最小公倍数是：20练习：（1）写出 100以内的 4的倍数有（ ）
18、；100 以内的 6的倍数有（ ） ；它们的公倍数有（ ） ；它们的最小公倍数是（ ） 。（2）210 与 330 的最小公倍数是最大公约数的_倍.（3）是 2、3、5 的倍数的最小三位数是（ ） 。一个数是 5 的倍数，又有因数 3，也是 7 的倍数，这个数最小是（ ） 。公共得因数有：1、25（4）求下面数的最小公倍数12 和 18 13 和 11 13.和 65 6、7、21（5）一串珠子，5 粒 5粒数，6 粒 6粒数，7 粒 7粒数，8 粒 8粒数都正好数完，这串珠子至少有多少粒？（6）在 11999 中的自然数中，是 3的倍数，又是 5的倍数的数一共有多少个？（7）能被 3、7、8
19、、11 四个数同时整除的最大六位数是多少？（8）一堆棋子，6 个 6个地数余 4个，9 个 9个地数余 4个，10 个 10个地数余 8个，这堆棋子至少有多少个？（10）判断并改正：有因数 2，同时又是 5的倍数的数一定是 10的倍数。 （ ）3、质数和合数【知识点 1】质数和合数的相关定义一个数，如果只有 1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1不是质数也不是合数，自然数除了 1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数（两个因数） 、合数（大于两个因数）和 1（1 个因数） 。 100百以内的质
20、数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。共 25个。除 1以外所有的质数都是奇数。 除 1以外任意两个质数的和都是偶数最小的质数是 2，最小的合数是 4质数质数=合数 合数合数=合数 质数合数=合数练习：（1）像 2、3、5、7 这样的数都是（ ） ，像 10、6、30、15 这样的数都是（ ） 。（2）20 以内的质数有（ ） ，合数有（ ） 。（3）自然数（ ）除外，按因数的个数可以分为（ ） 、 （ ）和（ ） 。（4）在 16、23、169、31、27、54、102、111、97、
21、121 这些数中， （ ）是质数， （ ）是合数。（5）用 A 表示一个大于 1 的自然数， A2必定是（ ） 。A+A 必定是（ ） 。（6）一个四位数，个位上的数是最小的质数，十位上是最小的自然数，百位上是最大的一位数，最高位上是最小的合数，这个数是（ ）。（7）两个连续的质数是（ ）和（ ）；两个连续的合数是（ ）和（ ）（8）两个质数的和是 12，积是 35，这两个质数是（ ）A. 3和 8 B. 2和 9 C. 5和 7（9）判断并改正：一个自然数不是质数就是合数。 （ ）所有偶数都是合数。 （ ）一个合数的因数的个数比一个质数的因数的个数多。 （ ）所有质数都是奇数。 （ ）两个不
22、同质数的和一定是偶数。 （ ）三个连续自然数中，至少有一个合数。 （ ）大于 2 的两个质数的积是合数。 （ ）7 的倍数都是合数。 （ ）20 以内最大的质数乘以 10 以内最大的奇数，积是 171。 （ ）2 是偶数也是合数。 （ ）1 是最小的自然数，也是最小的质数。 （ ）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是 7。 （ ）（10）下面是一道有余数的整数除法算式：A B=C R1 既不是质数也不是合数。 （ ） 个位上是 3 的数一定是 3 的倍数。 （ ）所有的偶数都是合数。 （ ） 所有的质数都是奇数。 （ ）两个数相乘的积一定是合数。 （ ） （11）写出一些三位数，这些数都
23、同时是 2、3、5 的倍数。 （每种写两个数） （6%）6有两个数字是质数：有两个数字是合数：有两个数字是奇数：【知识点 2】分解质因数（相加和相乘）把一个合数分成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如 15=35，3 和 5 叫做 15的质因数。 分解质因数，应该从最小的质数开始试积，直到每个因数都是质数时为止。例如：24=212 24=3826 因此 24=2223 24 23 2242=（2）+（40）=（3）+（39）=（5）+（37） 练习：（1）把 48、51、28 用几个质数相乘的形式分
24、别表示出来。（2）下列的数可以用那两个质数的和表示，并总结规律。9=（ ）+（ ） 42=（ ）+（ ）38=（ ）+ （ ） 80=（ ）+（ ）50=（ ）+ （ ） 62=（ ）+（ ）（3）用质数填空，质数不能重复18=（ ） +（ ）=（ ）+（ ）=（ ）（ ）（ ） 12=（ ）（ ）（ ） 30=（ ）（ ）（ ） 8（ ）（ ）（ ）（4）100 以内的哪些数是三个不同质数的积？【知识点 3】确定数字这类题关键在于准确掌握有关倍数、因数、奇数、偶数、质数、合数以及一些特殊的数。例如：两个质数的和是 25，这两个质数的差是多少？首先将 25分解成两个质数的和的形式：25=2+2
25、3=3+22=5+20=7+18=11+14=13+12=17+8=19+6 通过分解只有 2和 23一种情况，因此这两个质数的差是 23-2=21练习：（1）一个四位数，个位上的数是最小的奇数，十位上的数是最小的偶数，百位上的数是最小的合数，千位上的数既是质数又是偶数，这个四位数是多少？（2）猜电话号码 0592 A B C D E F G提示：A5 的最小倍数 B最小的自然数 C5 的最大因数 D它既是 4的倍数，又是 4的因数 E它的所有因数是 1，2，3，6 F它的所有因数是 1， 3 G它只有一个因数这个号码就是 （3）12399910001001 的和是奇数还是偶数？请写出理由。
26、（3%）（4）有两个质数，和是 18，积是 65，这两个质数是（ ）和（ ） 。（5）在 100150 中，找出两个整数，使它们相乘的积等于 91和 187的乘积，这两个数分别是（ ）和（ ） 。（6）连续五个奇数的积的末位数是（ ） 。（7）两数相加的和是最大的两位数，两数相减的差是大于 90的最小质数，那么这两个数的积是（ ） 。（8）三个连续自然数的乘积是 720，这三个数是（ ） 、 （ ）和（ ） 。7（9）把六个数：85、51、33、91、65、77 分成两组，每组三个数，每组中三个数的乘积相等。写出其中一个组的三个数（ ）（10）一个数的最大因数和最小倍数相加等于 62，这个数是
27、（ ）（11）一个数是 18的倍数，它又是 18的因数，猜一猜，这个数是（ ） 。（12）一个数是 48的因数，这个数可能是（ ） 一个数既是 48的因数，又是 8的倍数，这个可能是（ ） 一个数既是 48的因数，又是 8的倍数，同时还是 3的倍数，这个数是（ ）*短除法：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如：把 18 分解质因数为18=233 2 18 2 18 24 3 9 3 9 123 3 418=233 18和 24的最大公因数是 23=6， 18 和 24的最小公倍数是 2334=72因数和倍数的实际应用：1、 有一块长方形钢板，长 48厘米，宽 42厘米，
28、如果把它分割成面积相等的最大正方形钢板，不浪费边角料，也不计损耗，能分多少块？2、 有 3种颜色的花，红花 42朵，白花 98朵，黄花 70朵，把它们平均分开配起来扎成花束，每个花束中各种花一样多，使花尽可能多一些，可以分成多少个花束？每个花束各几朵什么样的花？3、 小张、小李、小阮是好朋友，他们每隔不同的天数去公园锻炼一次身体。小张 3天去一次，小李 4天去一次，小阮 5天去一次。有一天，他们三人恰好在公园碰见了，问至少再过多少天他们才能再次相会？4、 汽车站是 1路、8 路和 21路公交车的起点站，1 路汽车每 3分钟发一次车，8 路汽车每 5分钟发一次车，21 路汽车每 8分钟发一次车，问早上三路车同时在 6点整发出一次车后，最早在几点几分才能再次发车？5、 一个班人数在 30和 50之间，如果分成 3人一组、4 人一组、6 人一组或 8人一组，都恰好分完，求这个班有多少人？6、 有一筐鸡蛋，当 2个 2个取，3 个 3个取，4 个 4个取，5 个 5个取时，最后都剩下 1个，问筐中最少有多少个鸡8蛋？
