1、第 1 页（共 15 页）二次根式压轴题（八下学完才能用）一选择题（共 1 小题）1 （2003杭州）对于以下四个命题： 若直角三角形的两条边长为 3 与 4，则第三边的长是 5；（ ） 2=a；若点 P（a，b）在第三象限，则点 Q（ a， b）在第一象限；两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（ ）A只有错误，其他正确 B 错误，正确C 错误，正确 D只有错误，其他正确二填空题（共 11 小题）2 （2012山西模拟）若规定符号“*”的意义是 a*b=abb2，则 2*（ ）的值是 3 （2010鄂州）如图，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，E 是 CB 的中点
2、，AE=EC，BAC=3 DBC，BD=6 +6 ，则 AB= 4 （2010拱墅区一模）已知 a，b 是正整数，且满足 也是整数：（1）写出一对符合条件的数对是 ；（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有 对5 （2010澄海区校级模拟）化简 = 6 （2009兴化市模拟）若实数 a 满足|a8|+ =a，则 a= 7 （2009琼海模拟）化简二次根式 的正确结果是 第 2 页（共 15 页）8 （2008贵港）观察下列等式： ， ，请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：= 9 （2004宁波）已知： a0，化简 = 10 （1998杭州）已知 ，则 = 11 （1998内江）已知
3、 ab=2，则 的值是 12 （1997内江）已知 1x2， ，则 的值是 三解答题（共 4 小题）13 （2012巴中）先化简，再求值：（ ） ，其中 x= 14 （2009邵阳）阅读下列材料，然后回答问题在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：= = ；（一）= （二）= = （三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：= （四）第 3 页（共 15 页）（1）请用不同的方法化简 参照（三）式得 =（ ） ；参照（四）式得 =（ ）（2）化简： 15 （2008凉山州）阅读材料，解答下列问题例：当 a0 时，如 a=
4、6 则|a|=|6|=6 ，故此时 a 的绝对值是它本身；当 a=0 时，|a|=0，故此时 a 的绝对值是零；当 a0 时，如 a=6 则|a|=|6|=（ 6） ，故此时 a 的绝对值是它的相反数综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即 ，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式 的各种展开的情况；（2）猜想 与|a|的大小关系16 （2005台州）我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“ 三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积用现代式子表示即为：（其中 a、 b、c 为三角形的三边长，s 为面积） 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积
5、的海伦公式：s= （其中 p= ）（1）若已知三角形的三边长分别为 5，7，8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积 s；（2）你能否由公式推导出公式 ？请试试第 4 页（共 15 页）二次根式压轴题（八下学完才能用）参考答案与试题解析一选择题（共 1 小题）1 （2003杭州）对于以下四个命题： 若直角三角形的两条边长为 3 与 4，则第三边的长是 5；（ ） 2=a；若点 P（a，b）在第三象限，则点 Q（ a， b）在第一象限；两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（ ）A只有错误，其他正确 B 错误，正确C 错误，正确 D只有错误，其他正确考点： 二次根式的性
6、质与化简；点的坐标；全等三角形的判定；勾股定理菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 应明确边长为 4 的边是直角边还是斜边；隐含条件 a0，根据二次根式的定义解答；根据每个象限内点的符号特点判断出 a、b 的符号，再判断出 a、b 的符号即可；用“倍长中线法 ”可证明两个三角形全等解答： 解：错误，应强调为直角三角形的两条直角边长为 3 与 4，则第三边的长是 5；正确，隐含条件 a0，根据二次根式的意义，等式成立；正确，若点 P（a ，b）在第三象限，则 a0，b0；则 a0，b0，点Q（a， b）在第一象限；正确，作辅助线，倍长中线，可证明两个三角形全等故选：A点评： 本题考查了对勾股定理的
7、理解，二次根式的化简，点的对称性质，全等三角形的判定方法二填空题（共 11 小题）2 （2012山西模拟）若规定符号“*”的意义是 a*b=abb2，则 2*（ ）的值是 4 5 考点： 二次根式的混合运算菁优网版权所有专题： 压轴题；新定义第 5 页（共 15 页）分析： 先理解“*” 的意义，然后将 2*（ ）表示出来计算即可解答： 解：由题意得：2*（ ）=2（ 1） =4 5故答案为：4 5点评： 本题考查二次根式的混合运算，难度不大，注意理解“*”的意义3 （2010鄂州）如图，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，E 是 CB 的中点，AE=EC，BAC=3 DBC，BD=6 +
8、6 ，则 AB= 12 考点： 二次根式的应用；等腰三角形的性质；垂径定理；解直角三角形菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 作辅助圆 A，由已知证明ABC 为等腰直角三角形，ACD 为等边三角形，作CFBD，将BCD 分为两个直角三角形，解直角三角形，列方程求解解答： 解：法一：以点 A 为圆心， AB 为半径画圆，作 CFBD，垂足为 F，AB=AC=AD， C、D 两点都在A 上，E 是 CB 的中点，AE=EC，由垂径定理得，AE=EC=BE，AE BC，BAC=90，BDC= BAC=45，又BAC=3DBC，DBC=30，CAD=2DBC=60，ACD 为等边三角形，设 AB=AC=
9、CD=x，在 RtABC 中，BC= x，在 RtBCF 中， FBC=30， BF= BC= x，同理，DF= x，由 DF+BF=BD，得 x+ x=6 +6解得 x=12，即 AB=12法二：作 CFBD，垂足为 F，AB=AC，E 是 CB 的中点，AE=EC第 6 页（共 15 页）AE=BE=EC，AEBC，BAE=ABE=45，ACE=EAC=45，BAC=90，又BAC=3DBC，DBC=30，ABD=ADB=15，BAD=150，CAD=60，ACD 为等边三角形，设 AB=AC=CD=x，在 RtABC 中，BC= x，在 RtBCF 中， FBC=30， BF= BC=
10、x，同理，DF= x，由 DF+BF=BD，得 x+ x=6 +6解得 x=12，即 AB=12点评： 本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定及圆的相关知识，解直角三角形，列方程求解4 （2010拱墅区一模）已知 a，b 是正整数，且满足 也是整数：（1）写出一对符合条件的数对是 （15，15） 、 （60、60） 、 （15，60） 、 （60，15） 、（240，240） 、 （135，540） 、 （540，135） ；（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有 7 对考点： 二次根式的性质与化简菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 把 2 放在根号下，得出 + ， 是整
11、数，a、b 的值进行讨论，使 和 为整数或和为整数，从而得出答案第 7 页（共 15 页）解答： 解：（1） = + ，当 a、b 的值为 15，60，135，240，540 时，当 a=15，b=15 时，即 =4；当 a=60，b=60 时，即 =2；当 a=15，b=60 时，即 =3；当 a=60，b=15 时，即 =3；当 a=240，b=240 时，即 =1；当 a=135，b=540 时，即 =1；当 a=540，b=135 时，即 =1；故答案为：（15，15） 、 （60、60） 、 （15，60） 、 （60，15） 、 （240，240） 、 （135，540） 、（54
12、0，135） ；（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有 7 对，故答案为 7点评： 本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出 a、b 可能的取值5 （2010澄海区校级模拟）化简 = 2 考点： 二次根式的性质与化简菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 先将 14x+4x2 化成（12x） 2，再根据（ ） 2 有意义，即可求得 x 的取值范围，从而化简得出结果解答： 解： （ ） 2 有意义，2x30，x1.5，2x131=2，第 8 页（共 15 页）= 2x+3=2x12x+3=2，故答案为 2点评： 本题考查了完全平方公式和二次根式的化简和求值，是基
13、础知识要熟练掌握6 （2009兴化市模拟）若实数 a 满足|a8|+ =a，则 a= 74 考点： 二次根式有意义的条件菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 由 可得 a10，再对式子进行化简，从而求出 a 的值解答： 解：根据题意得：a100，解得 a10，原等式可化为：a8+ =a，即 =8，a10=64，解得：a=74点评： 二次根式中被开方数为非负数，是解此题的突破口7 （2009琼海模拟）化简二次根式 的正确结果是 考点： 二次根式的性质与化简菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 根据二次根式的性质及定义解答解答： 解：由二次根式的性质得a 3b0aba0，b0原式 = =a 第 9 页
14、（共 15 页）点评： 解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如 （a0）的代数式叫做二次根式2、性质： =|a|8 （2008贵港）观察下列等式： ， ，请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：= 2006 考点： 分母有理化菁优网版权所有专题： 压轴题；规律型分析： 所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为：+ = ，然后利用平方差公式计算解答： 解： ， ， ，原式 =（ + ） （ ）=（ ） （ ）=20082=2006故本题答案为：2006点评： 解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的抵消规律9 （2004宁波）已知： a0，化简 = 2 考点： 二
15、次根式的性质与化简菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 根据二次根式的性质化简解答：解： 原式 = = 第 10 页（共 15 页）又 二次根式内的数为非负数a =0a=1 或 1a0a=1原式 =02=2点评： 解决本题的关键是根据二次根式内的数为非负数得到 a 的值10 （1998杭州）已知 ，则 = 13 考点： 二次根式的加减法菁优网版权所有专题： 压轴题；换元法分析： 用换元法代替两个带根号的式子，得出 m、n 的关系式，解方程组求 m、n 的值即可解答： 解：设 m= ，n= ，那么 mn=2，m 2+n2= + =34由得，m=2+n，将代入得：n 2+2n15=0，解得：n= 5
16、（舍去）或 n=3，因此可得出，m=5 ，n=3（m0，n0） 所以 =n+2m=13点评： 本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解11 （1998内江）已知 ab=2，则 的值是 考点： 二次根式的化简求值菁优网版权所有第 11 页（共 15 页）专题： 压轴题分析： 由已知条件可知，本题有两种情况需要考虑：a0，b0；a0，b0解答： 解：当 a0，b0 时，原式= ；当 a0，b0 时，原式= =2 点评： 此题的难点在于需考虑两种情况12 （1997内江）已知 1x2， ，则 的值是 2 考点： 二次根式的化简求值菁优网版权所有专题： 压轴题分析： 由于（ ） 2
17、=x12+ =x+ 3，又 ，由此可以得到（ ） 2=4，又由于 1x2，由此可以得到 的值0，最后即可得到 的值解答： 解： （ ） 2=x12+=x+ 3，又 ，（ ） 2=4，又 1 x2， 0， =2故填：2点评： 此题解题关键是把所求代数式两边平方，找到它和已知等式的联系，然后利用联系解题第 12 页（共 15 页）三解答题（共 4 小题）13 （2012巴中）先化简，再求值：（ ） ，其中 x= 考点： 二次根式的化简求值；分式的化简求值菁优网版权所有专题： 压轴题；分类讨论分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可解答：解：原式= ，当 x=
18、时，x+10，可知 =x+1，故原式= = = = ；点评： 本题考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当 x= 时得出=x+1，此题难度不大14 （2009邵阳）阅读下列材料，然后回答问题在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：= = ；（一）= （二）= = （三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：= （四）第 13 页（共 15 页）（1）请用不同的方法化简 参照（三）式得 =（ ） ；参照（四）式得 =（ ）（2）化简： 考点：分母有理化菁优网版权所有专题：压轴题；阅读型分析：（1）中，通过观察，
19、发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是 2，分母有理化后，分母都是 2，分子可以出现抵消的情况解答：解：（1）= ，= ；（2）原式=+= + += 点评：学会分母有理化的两种方法15 （2008凉山州）阅读材料，解答下列问题例：当 a0 时，如 a=6 则|a|=|6|=6 ，故此时 a 的绝对值是它本身；第 14 页（共 15 页）当 a=0 时，|a|=0，故此时 a 的绝对值是零；当 a0 时，如 a=6 则|a|=|6|=（ 6） ，故此时 a 的绝对值是它的相反数综合起来一个数的绝对值要分三种
20、情况，即 ，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式 的各种展开的情况；（2）猜想 与|a|的大小关系考点： 二次根式的性质与化简菁优网版权所有专题： 压轴题；阅读型分析： 应用二次根式的化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简解答：解：（1）由题意可得 = ；（2）由（1）可得： =|a|点评： 本题主要考查二次根式的化简方法与运用：当 a0 时， =a； 当 a0 时，=a； 当 a=0 时， =016 （2005台州）我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“ 三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积用现代式子表示即为：（其中 a、 b
21、、c 为三角形的三边长，s 为面积） 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s= （其中 p= ）（1）若已知三角形的三边长分别为 5，7，8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积 s；（2）你能否由公式推导出公式 ？请试试考点： 二次根式的应用菁优网版权所有第 15 页（共 15 页）专题： 压轴题分析： （1）代入计算即可；（2）需要在括号内都乘以 4，括号外再乘 ，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算解答：解：（1）S= ，= ；P= （5+7+8） =10，又 S= ；（2） = （ ）= ，= （c+a b） （c a+b） （a+b+c） （a+b c） ，= （2p 2a） （2p 2b）2p（2p 2c） ，=p（pa） （pb） （pc ） ， = （说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）点评： 考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力
