1、0【 最 新 】 中 考 数 学 压 轴 题 大 全（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据 x，根据 y 与 x 的关系式就输出一个数据 y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在 20100（含 20和 100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（）新数据都在 60100（含 60 和 100）之间；（）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。（1）若 y 与 x 的关系是 yxp(100x)，请说明：当 p 时，这种变换满足上12述两个要求；（2）若按关系式 y=a(xh) 2k (a0)将数据进行变换，请写出一个满
2、足上述要求的这种关系式。 （不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【解】 （1）当 P= 时，y=x ,即 y= 。210x1502y 随着 x 的增大而增大，即 P= 时，满足条件（）3 分2又当 x=20 时，y= =100。而原数据都在 20100 之间，所以新数据都在 60100 之间，即满足1052条件（） ，综上可知，当 P= 时，这种变换满足要求； 6 分（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h20；（b）若 x=20,100 时，y 的对应值 m，n 能落在 60100 之间，则这样的关系式都符合要求。如取 h=20,y= ,8
3、分20xka0，当 20x100 时，y 随着 x 的增大10 分令 x=20,y=60，得 k=60 令 x=100,y=100，得 a802k=100 开始y 与 x 的关系式结束输入 x输出 y1由解得 ， 。14 分160ak21066yx2、 （常州）已知 与 是反比例函数(1)Am， (23)B，图象上的两个点kyx（1）求 的值；（2）若点 ，则在反比例函数 图象上是否存在(10)C， kyx点 ，使得以 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，DABD， ， ，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由 ，得 ，因此 2 分(1)2(3)m:23m23k（2）如图 1，作 轴，
4、 为垂足，则 ， ， ，因此 BExCEBC30BCE由于点 与点 的横坐标相同，因此 轴，从而 CAAx120A当 为底时，由于过点 且平行于 的直线与双曲线只有一个公共点 ，故不符题意 3 分当 为底时，过点 作 的平行线，交双曲线于点 ，BCABCD过点 分别作 轴， 轴的平行线，交于点 D， xyF由于 ，设 ，则 ， ，30F 1(0)m13Am12由点 ，得点 (12)A， 1132)，因此 ，113():BCxy1O2解之得 （ 舍去） ，因此点 173m1036D，此时 ，与 的长度不等，故四边形 是梯形 5 分4ADBCABC如图 2，当 为底时，过点 作 的平行线，与双曲线
5、在第一象限内的交点为 ABCABD由于 ，因此 ，从而 作 轴， 为垂足，C30 150D Hx则 ，设 ，则 ，60DH 2()m23m2C由点 ，得点 ，(1)， 213，因此 23:解之得 （ 舍去） ，因此点 2m21(123)D，此时 ，与 的长度不相等，故四边形 是梯形 7 分4CDABABC如图 3，当过点 作 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为 时，D同理可得，点 ，四边形 是梯形 9 分(23)， D综上所述，函数 图象上存在点 ，使得以 四点为顶点的四边形为梯形，点 的坐yxABC， ， ， D图 1AxyOFDE图 2AxyODH3标为： 或 或 10 分36D， (
6、12)， (3)D，3、 （福建龙岩）如图，抛物线 经过 的三个顶点，已知 轴，点 在 轴254yaxABC BCx Ax上，点 在 轴上，且 CyABC（1）求抛物线的对称轴；（2）写出 三点的坐标并求抛物线的解析式；， ，（3）探究：若点 是抛物线对称轴上且在 轴下方的动点，是否存在 是等腰三角形若存在，求PxPAB出所有符合条件的点 坐标；不存在，请说明理由解：（1）抛物线的对称轴 2 分52ax（2） 5 分(30)A， (4)B， (0)C，把点 坐标代入 中，解得 6 分25yax16a 21546yx7 分（3）存在符合条件的点 共有 3 个以下分三类情形探P 索图 3ABCxy
7、ODAC Byx011Ax011 2P13y4设抛物线对称轴与 轴交于 ，与 交于 xNCBM过点 作 轴于 ，易得 ， ， ，BQ4Q8A5.N2BM 以 为腰且顶角为角AB的 有 1 个： AP 1PAB 8 分222840BQ在 中，1RtANP 2221 1980(5.)APNBA 9 分1592，以 为腰且顶角为角 的 有 1 个： ABBPA 2PAB在 中， 10 分2RtMP 222 259804M 11 分2589，以 为底，顶角为角 的 有 1 个，即 ABPAB 3PAB画 的垂直平分线交抛物线对称轴于 ，此时平分线必过等腰 的顶点 3 C过点 作 垂直 轴，垂足为 ，显
8、然 3PKyK3RttCQ 312BQCA于是 13 分3.5PK1OK 14 分3(2.1)，注：第（3）小题中，只写出点 的坐标，无任何说明者不得分P54、 （福州）如图 12，已知直线 与双曲线 交于 两点，且点 的横坐标为 12yx(0)kyxAB， A4（1）求 的值；k（2）若双曲线 上一点 的纵坐标为 8，求 的面积；(0)ykxCOC（3）过原点 的另一条直线 交双曲线 于Ol(0)kyx 两点PQ，（ 点在第一象限） ，若由点 为顶点组成的四边形面积PABPQ， ， ， 为 ，求点24的坐标解：(1)点 A 横坐标为 4 , 当 = 4 时， = 2 .xy 点 A 的坐标为
9、（ 4，2 ）. 点 A 是直线 与双曲线 （k0）的交点 , k = 4 2 = 8 . (2) 解法一：如图 12-1， 点 C 在双曲线 上，当 = 8 时， = 1yx 点 C 的坐标为 ( 1, 8 ) . 过点 A、 C 分别做 轴、 轴的垂线，垂足为 M、 N，得矩形xy DMON .S 矩形 ONDM= 32 ， S ONC = 4 ， S CDA = 9， S OAM = 4 . SAOC = S 矩形 ONDM - SONC - SCDA - SOAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 . 解法二：如图 12-2，过点 C、 A 分别做 轴的垂线，垂足为 E、 F
10、，x 点 C 在双曲线 上，当 = 8 时， = 1 .8yyx 点 C 的坐标为 ( 1, 8 ). 点 C、 A 都在双曲线 上 ,yx图 12xAyBxy1xy6 S COE = SAOF = 4 。 S COE + S 梯形 CEFA = SCOA + SAOF . S COA = S 梯形 CEFA . S 梯形 CEFA = （2+8）3 = 15 , 12 S COA = 15 . （3） 反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形 , OP=OQ， OA=OB . 四边形 APBQ 是平行四边形 . S POA = S 平行四边形 APBQ = 24 = 6 . 设点 P 的
11、横坐标为 （ 0 且 ）,m4得 P ( , ) .过点 P、 A 分别做 轴的垂线，垂足为 E、 F，x 点 P、 A 在双曲线上，S POE = SAOF = 4 .若 0 4，如图 12-3，m S POE + S 梯形 PEFA = S POA + SAOF , S 梯形 PEFA = SPOA = 6 . .18(2)4m解得 = 2， = - 8(舍去) . P（2，4）. 414187若 4，如图 12-4，m S AOF + S 梯形 AFEP = SAOP + SPOE , S 梯形 PEFA = SPOA = 6 . ，18(2)4m解得 = 8， = - 2 (舍去) .
12、 P（8，1）. 点 P 的坐标是 P（2，4）或 P（8，1）. 5、 （甘肃陇南）如图，抛物线 交 轴于 A、 B 两点，交 轴于点 C，点 P 是它的顶点，点 A21yxmnxy的横坐标是 3，点 B 的横坐标是 1(1)求 、 的值；mn(2）求直线 PC 的解析式；(3）请探究以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线PC 的位置关系，并说明理由(参考数： ， ， )21.431.752.4解： (1)由已知条件可知： 抛物线 经过 A(-3，0)、 B(1，0)两点2yxmn 2 分903,21.mn解得 3 分3,2n(2) ， P(-1，-2)， C 4 分1yx3(0,)2设直
13、线 PC 的解析式是 ，则 解得 ykxb,3.2kb13,2kb8 直线 PC 的解析式是 6 分132yx说明：只要求对 ，不写最后一步，不扣分kb或(3) 如图，过点 A 作 AE PC，垂足为 E设直线 PC 与 轴交于点 D，则点 D 的坐标为(3，0) 7 分x在 RtO CD 中， O C= ， ，32 8 分23()5CD O A=3， ， AD=6 9 分 COD= AED=90o， CDO 公用， COD AED 10 分 ， 即 11 分AE3526AE65AE ，65.8.: 以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线 PC 相离 12 分6、 （贵阳）如图 14，从一个
14、直径是 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 的扇形90（1）求这个扇形的面积（结果保留 ） （3 分）（2）在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由 （4 分）（3）当 的半径 为任意值时， （2）中的结论是否仍然成立？请说明理由 （5 分）O:(0)R解：（1）连接 ，由勾股定理求得：BC 1 分2AABCO EF9 2 分21360nRS（2）连接 并延长，与弧 和 交于 ，AOBCO:EF， 1 分2EF弧 的长： 2 分BC180nRl2r圆锥的底面直径为： 3 分2r， 不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥 4 分2（3）由勾股定
15、理求得： 2ABCR弧 的长： 1 分BC180nRl2r圆锥的底面直径为： 2 分2rR()EFA且20R 3 分()210即无论半径 为何值， 4 分R2EFr不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥7、 （河南）如图，对称轴为直线 x 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4） 27（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点 E（ x， y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形，求四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）当四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断 OEAF 是否
16、为菱形？是否存在点 E，使四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由8、 （湖北黄岗）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO 是菱形，且AOC=60，点 B 的坐标是，点 P 从点 C 开始以每秒 1 个单位长度的速度在线段 CB 上向点 B 移动，设 秒后，直线 PQ(0,3) (08)t交 OB 于点 D.（1）求AOB 的度数及线段 OA 的长；（2）求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式；（3）当 时，求 t 的值及此时直线 PQ 的解析式；4,3aOD（4）当 a 为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与 相似？当 a 为何值OAB
17、时，以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与 不相似？请给出你的结论，并加以证明.AB9、 （湖北荆门）如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0，0)， A(4，0)， C(0，3)，点 P 是 OA 边上的动点(与点 O、 A 不重合)现将 PAB 沿 PB 翻折，得到 PDB；再在 OC 边上选取适当的点E，将 POE 沿 PE 翻折，得到 PFE，并使直线 PD、 PF 重合(1)设 P(x，0)， E(0， y)，求 y 关于 x 的函数关系式，并求 y 的最大值；(2)如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、 B、 E 的抛物线的函数关系式；(
18、3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，使 PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，OEFx=72B(0,4)A(6,0)xyBACDPOQxy11说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标解：(1)由已知 PB 平分 APD， PE 平分 OPF，且 PD、 PF 重合，则 BPE=90 OPE APB=90又 APB ABP=90， OPE= PBARt POERt BPA2 分 即 y= (0 x4)POBAE34xy2114(4)3xx且当 x=2 时， y 有最大值 4 分3(2)由已知， PAB、 POE 均为等腰三角形，可得 P(1，0)， E(0，1)， B(4
19、，3)6 分设过此三点的抛物线为 y=ax2 bx c，则 1,0,643.abc1,2,1.abcy= 8 分213x(3)由(2)知 EPB=90，即点 Q 与点 B 重合时满足条件9 分直线 PB 为 y=x1，与 y 轴交于点(0，1)将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E(0，1)，该直线为 y=x110 分图 1FEPDyxBACO图 2OCABxy DPE F12由 得 Q(5，6) yxNHD PQE MCBAO21,3,yx5,6.xy故该抛物线上存在两点 Q(4，3)、(5，6)满足条件12 分（2009 年重庆市）26已知：如图，在平面直角坐标系 中，矩形 OABC 的
20、边 OA 在 y 轴的正半轴上，OCxOy在 x 轴的正半轴上， OA=2，OC=3过原点 O 作AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DEDC ，交OA 于点 E（1 ）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式；（2 ）将EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于点G如果 DF 与（ 1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 ，那么 EF=2GO 是否成立？若成立，请给予65证明；若不成立，请说明理由；（3 ）对于（2 ）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ 与 AB 的交
21、点 P 与点C、G 构成的PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由26解：（1）由已知，得 ， ，(30)C， (2)D，90ADEB1tantan: （1 分）(1)，设过点 的抛物线的解析式为 EC、 、 2(0)yxbca将点 的坐标代入，得 1c将 和点 的坐标分别代入，得1cD、（2 分）42930.ab，26 题图yxD BCAEO13解这个方程组，得5613ab故抛物线的解析式为 （3 分）2516yx（2 ） 成立 （4 分）EFGO点 在该抛物线上，且它的横坐标为 ，M点 的纵坐标为 （5 分）125设 的解析式为 ，D1(0)ykxb将点 的
22、坐标分别代入，得、解得126.5kb， 123b，的解析式为 （6 分）DMyx， （7 分）(03)F， 2E过点 作 于点 ，KOC则 A，90GD又 ，F 1KA （8 分）O2EG（3 ） 点 在 上， ， ，则设 PB(0)， (3)C， (12)P， ， 22(1)t22tG若 ，则 ，C()()t解得 ，此时点 与点 重合2tP， QP （9 分）()Q，若 ，则 ，GC22(1)tyxD BCAEOFKG14解得 ， ，此时 轴1t(2)P， Gx与该抛物线在第一象限内的交点 的横坐标为 1，GQ点 的纵坐标为 Q73 （10 分）1，若 ，则 ，PCG22(3)t解得 ， ，
23、此时 ， 是等腰直角三角形t， PCGPC过点 作 轴于点 ，QHx则 ，设 ，Gh(1)h，253(1)6解得 （舍去） 127， （12 分）5Q，综上所述，存在三个满足条件的点 ，Q即 或 或 (2)， 713， 25，（2009 年重庆綦江县）26 （11 分）如图，已知抛物线 经过点 ，抛物线(1)23(0)yaxa(2)A， 0的顶点为 ，过 作射线 过顶点 平行于 轴的直线交射线 于点 ， 在 轴正半轴上，DOMAD OMCBx连结 BC（1 ）求该抛物线的解析式；（2 ）若动点 从点 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 运动，设点 运动的时间为 问当P P()ts为何值时
24、，四边形 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？t（3 ）若 ，动点 和动点 分别从点 和点 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位OBQOB的速度沿 和 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为 ，C t()syxD BCAEOQPHG(P)(Q)Q(P)15连接 ，当 为何值时，四边形 的面积最小？并求出最小值及此时 的长PQtBCPQPQ*26解：（1） 抛物线 经过点 ，2(1)3(0)yaxa(20)A，1 分3093a二次函数的解析式为： 3 分238yx（2 ） 为抛物线的顶点 过 作 于 ，则 ，D(1)D， NOBDN4 分223
25、3660ANA， OM当 时，四边形 是平行四边形 POP5 分6(s)t当 时，四边形 是直角梯形 DDA过 作 于 ， 则OH2， 1H（如果没求出 可由 求 ）60RttODNA 1H6 分5(s)Pt当 时，四边形 是等腰梯形 DADP264(s)OHt综上所述：当 、5、4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形 7 分t（3 ）由（2 ）及已知， 是等边三角形0COBBOC， ， 则 262(03)BADPtQtt ， ， ，过 作 于 ，则 8 分PEQ3Et163(62)2BCPStxy MCDPQOABxy MCDPQOABNEH16= 9 分23638t当 时，
26、 的面积最小值为 10 分tBCPQS638此时3932444OEQPE， =，11 分22 93P（2009 年河北省）26 （本小题满分 12 分）如图 16，在 RtABC 中， C=90，AC = 3，AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止
27、设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t0） （1 ）当 t = 2 时，AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ；（2 ）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S 与t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3 ）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4 ）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 26解：（1）1， 85； （2 ） 作 QF AC 于 点 F， 如图 3， AQ = CP= t， 3At由 AQF ABC， 24， 得 45t 45t 1(3)2St，即 65t（3
28、 ）能当 DEQB 时，如图 4DE PQ，PQ QB ，四边形 QBED 是直角梯形此时AQP=90由APQ ABC，得 AQPCB，即 35t 解得 98t A CBPQED图 16A CBPQED图 4A C)BPQD图 3E)F17如图 5，当 PQBC 时，DEBC ，四边形 QBED 是直角梯形此时APQ =90由AQP ABC，得 AQPBC，即 35t 解得 158t（4 ） 2t或 4t【注：点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C方法一、连接 QC，作 QG BC 于 点 G， 如图 6t， 222234(5)(5)tt由 2P，得 222ttt，解得 t方法二、由
29、CQPA，得 QCA，进而可得B，得 B， 52 t 点 P 由 A 向 C 运动，DE 经过点 C， 如图 722234(6)(5)(5)ttt， 41】（2009 年河南省）23.（11 分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0） 、C（8，0） 、 D（8，8）.抛物线 y=ax2+bx 过 A、 C 两点. (1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点 P 从点 A 出发沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD向终点 D 运动速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE AB 交
30、AC 于点 E过点 E 作 EF AD 于点 F，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长?连接 EQ在点 P、 Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得 CEQ 是等腰三角形?请直接写出相应的 t 值. 解.(1)点 A 的坐标为（4，8） 1 分将 A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入 y=ax2+bx8=16a+4b得 0=64a+8b解 得 a=- 12,b=4抛物线的解析式为： y=- x2+4x 3 分A CBPQED图 5A C(E)BPQD图 6GA C(E)BPQD图 7G18（2）在 Rt APE 和 Rt ABC 中，tan PAE= PEA= BC,即
31、= 48 PE= 1AP= tPB=8- t点的坐标为（4+ 12t，8- t）.点 G 的纵坐标为：- （4+ t） 2+4(4+ 1t）=- 8t2+8. 5 分EG=- 8t2+8-(8-t)=- 1t2+t.- 0，当 t=4 时，线段 EG 最长为 2. 7 分共有三个时刻. 8 分t1= 63， t2= 4， t3= 85 11 分(2009 年山西省)26 （本题 14 分）如图，已知直线 128:3lyx与直线 2:16lyx相交于点Cl12， 、分别交 x轴于 AB、 两点矩形 DEFG的顶点 E、 分别在直线 2l、 上，顶点 FG、 都在 x轴上，且点 G与点 重合（1）
32、求 的面积；（2）求矩形 DEF的边 与 的长；（3）若矩形 从原点出发，沿 x轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设移动时间为 (012)t 秒，矩形 DEFG与 ABC 重叠部分的面积为 S，求 关t的函数关系式，并写出相应的 t的取值范围26 （1）解：由 2803x， 得 4xA 点坐标为 40， 由 16， 得 8B 点坐标为 8， 82AB （2 分）ADBEOCF xyy 1ly2l（G）（第 26 题）19由28316yx， 解得 5xy， C点的坐标为 56， （3 分） 2632ABCCS （4 分）（2）解：点 D在 1l上且 88DBDxy， 点坐标为 ， （5
33、 分）又点 E在 2l上且 21684EDEEyxx， 点坐标为 48， （6 分） OF， （7 分）（3）解法一： 当 03t 时，如图 1，矩形 FG与 ABC 重叠部分为五边形CHGR（ 时，为四边形 CH） 过 作 M于 ，则ttBM BGRMC， 即 36t， 2RGttAFH ， 1283BRGAFHSSttt 即 2413t （10 分）（2009 年山西省太原市）29 （本小题满分 12 分）问题解决如图（1） ，将正方形纸片 ABCD折叠，使点 B落在 CD边上一点 E（不与点 C，D重合） ，压平后得到折痕 MN当 12E时，求 AMN的 值ADBEORF xyy 1ly
34、2lM（图 3）GCADBEOCF xyy 1ly2lG（图 1）RM ADBEOCF xyy 1ly2lG（图 2）RM方法指导：为了求得 的值，可先求 、 的长，不妨设：N=2AB 图（1 ）AB CDEFMN20类比归纳在图（1）中，若 13CED， 则 AMBN的值等于 ；若 14CED， 则 AMBN的值等于 ；若CEDn（ 为整数） ，则 的值等于 （用含 n的式子表示）联系拓广如图（2） ，将矩形纸片 A折叠，使点 落在 边上一点 E（不与点 ， 重合） ，压平后得到折痕MN，设 11ABCEmDn， ， 则 BN的值等于 （用含 mn， 的式子表示）29 问题解决解：方法一：如图（1-1） ，连接 BME， ， 由题设，得四边形 ABNM和四边形 FE关于直线 MN对称 垂直平分 E B， 1 分四边形 CD是正方形， 902DCABCDA, 112， 设 x， 则 ， 2x在 RtN 中， 22E 22x 解得 54x，即 BN 3 分在 tABM 和在 tD 中，22，DE，2E5 分设 y， 则 y，
