1、 第 1 页 共 10 页二次根式全章复习【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式 形如 的式子叫做二次根式，如 等式子，都叫做二次根式.a0130.2， ， ，要点诠释：二次根式 有意义的条件是 ，即只有被开方数 时，式子 才是二次根式， 才有意义.0aaaa2.二次根式的性质（1） ； （2） ； （3） .要点诠释：（1） 一个非负数 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （ ），如a a2()0（ ）.（2） 中 的取值范围可以是任意实数，即不论 取何值，2221();();()3x0x2a a一定有意义.（3）化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简
2、.（4） 与 的异同；a 22()不同点： 中 可以取任何实数，而 中的 必须取非负数； = ， = （ ）. ；相同点：2a2() 2a2()0被开方数都是非负数，当 取非负数时， = .a23. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式； 2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如 等都是最简二次根式.2,3,abxb要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数 2.4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式 .要点诠释：判断是否是同类二次根式
3、，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如 与 ，28由于 = ， 与 显然是同类二次根式.828知识点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则 逆用法则二次根式的乘法 (0,)abab积的算术平方根化简公式： (0,)aba二次根式的除法 (,)b商的算术平方根化简公式： (,)要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数 a、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 .abcd (4)992.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根
4、式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如 .35(135)2【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； 举一反三：第 2 页 共 10 页【变式】已知 ，求 的值.2.把 根号外的因式移到根号内，得( ).A B C D 举一反三：【变式】 .25(03)x形+13. 实数 在数轴上对应的点如图：,abc化简 .2 2()1()acbac举一反三：【变式】 ABC 的三边长为 a、b 、c，则 = . 22()()b类型二、二次根式的运算4计算： (
5、1) ； (2) . 举一反三：【变式】计算5.已知 a、b、c 为ABC 的三边长，化简6 若 ，化简 .0x_xyx举一反三：【变式】当 .2211123aaa时 ， 求 的 值第 3 页 共 10 页平行四边形全章复习【要点梳理】要点一、平行四边形1定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2性质：（1）对边平行且相等； （2 ）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分； （4）中心对称图形.3面积： 高底平 行 四 边 形 S4判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （4）两组对角分
6、别相等的四边形是平行四边形； （5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形 （6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、矩形1定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2 ）四个角都是直角；（ 3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3面积： 宽 长矩 形 S判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩
7、形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半要点三、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2 ）四条边相等；（ 3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3面积： 2对 角 线对 角 线高 底菱 形 S4判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2性质：（1）对边平行
8、；（2 ）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4 ）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3面积： 边长边长 对角线 对角线=S形124判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2 ）一组邻边相等的矩形是正方形；（ 3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、如图，点 D 是ABC 的边 AB 的延长线上一点，点 F 是边 BC 上的一个动点（不
9、与点 B 重合）以 BD、BF 为邻边作平行四边形 BDEF，又 AP BE（点 P、E 在直线 AB 的同侧），如果 BD AB，那么PBC 的面积与ABC 面积之比为（ ） 14A B C D43554第 4 页 共 10 页举一反三：【变式】已知ABC 中，AB3，AC4 ，BC5，分别以 AB、AC、BC 为一边在 BC边同侧作正ABD、正ACE 和正BCF，求以 A、E、F、D 四点为顶点围成的四边形的面积类型二、矩形2、如图，O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，E、F 、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD上的点，且 AEBFCG DH（1）求证：四边形 EFGH 是矩形；（2
10、 ）若E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点，且 DGAC，OF2 ，求矩形cmABCD 的面积举一反三：【变式】如图，O 为ABC 内一点，把 AB、OB 、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连接形成四边形 DEFG（1）四边形 DEFG 是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形 DEFG 是矩形，点 0 所在位置应满足什么条件？说明理由3、在 RtABC 中，ACB=90，BC=4过点 A 作 AEAB 且 AB=AE，过点 E 分别作 EFAC，EDBC，分别交 AC 和 BC 的延长线与点 F，D若 FC=5，求四边形 ABDE 的周长类型三、菱形4、如图，平行四
11、边形 ABCD 中，ABAC，AB1，BC 对角线 AC，BD 相交于点5O，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC，AD 于点 E，F.（1）证明：当旋转角为 90时，四边形 ABEF 是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段 AF 与 EC 总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数举一反三：【变式】已知:如图所示，BD 是ABC 的角平分线，EF 是 BD 的垂直平分线，且交 AB 于E，交 BC 于点 F.求证:四边形 BFDE 是菱形.5、在 口 ABCD 中，对角线
12、 AC、BD 相交于点 O，BD=2AB，点 E、F 分别是 OA、BC 的中点连接 BE、EF（1）求证：EF=BF；（2 ）在上述条件下，若 AC=BD，G 是 BD 上一点，且 BG：GD=3：1，连接 EG、FG ，试判断四边形 EBFG 的形状，并证明你的结论第 5 页 共 10 页类型四、正方形6、正方形 ABCD 的边长为 3，E 、F 分别是 AB、BC 边上的点，且EDF45将DAE 绕点 D 逆时针旋转 90，得到DCM（1）求证：EFFM；（2）当 AE1 时，求 EF 的长举一反三：【变式】如图（1），正方形 ABCD 和正方形 CEFG 有一公共顶点 C，且 B、C
13、、E 在一直线上，连接 BG、DE（1）请你猜测 BG、DE 的位置关系和数量关系？并说明理由（2）若正方形 CEFG 绕 C 点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG 和 DE 是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由勾股定理全章复习【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边 ab、 的平方和等于斜边 c的平方. （即： 22abc）2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为 的线段
14、.要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 abc、 、 ，满足 22abc，那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为 c；（2）验证 2c与 2ab是否具有相等关系，若 2，则ABC 是以C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数满足不定方程 22xyz的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉
15、斯数） ，显然，以 xyz、 、 为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：3、4 、5 ； 5、12、13；8、15、17；7 、24、25 ；9、40、41.如果( abc、 、 )是勾股数，当 t 为正整数时，以 atbct、 、 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.第 6 页 共 10 页观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差 1.3.假设三个数分别为 abc、 、 ，且 bc，那么存在 2abc成立.（例如 中存在 272425、 294041 等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直
16、角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，直角梯形 ABCD 中，AD BC，B 90，AD 35，AB 105，BC85，E 是 AB 上一点，且 AE 45，求点 E 到 CD 的距离 EF举一反三：【变式】如图所示，在ABC 中，D 是 BC 边上的点，已知AB13，AD 12 ，AC 15，BD5，求 DC 的长类型二、勾股定理与其他知识结合应用2、如图所示，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A、B 到河岸的距离分别为 AC400 米，BD200
17、米，CD 800 米，牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？举一反三：【变式】如图所示，正方形 ABCD 的 AB 边上有一点 E，AE3，EB 1，在 AC 上有一点 P，使 EPBP 最短求 EPBP 的最小值3、如图所示，等腰直角 ABC 中，ACB90，E 、F 为 AB 上两点(E 左 F 右)，且ECF45，求证：22AEBF.第 7 页 共 10 页4、已知：如图， ABC 中，CAB120，AB4，AC2，ADBC，D 是垂足，求 AD 的长类型三、本章中的数学思想方法1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常
18、常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决5、如图所示， ABC 是等腰直角三角形，ABAC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE12，CF5 求线段 EF 的长.举一反三：【变式】已知凸四边形 ABCD 中，ABC30，ADC 60 ，ADDC，求证：2.方程的思想方法6、如图所示，已知 ABC 中，C 90，A60 ， ，求 、 、 的值.一次函数全章复习【要点梳理】要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其xyxy对应，那么我们就说 是自变量，
19、是 的函数.xy是 的函数，如果当 时 ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.yxaba函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为 ，其中 、 是常数， 0.特别地，当 0 时，一次函数 即ykxkkbykxb（ 0），是正比例函数 .ykx要点三、一次函数的图象及性质1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函第 8 页 共 10 页数的图象.要点诠释：直线 可以看作由直线 平移| |个单位长度而得到（当 0 时，向上平移；当 0 时，向下平ykxbykxbbb移）. 说明通
20、过平移，函数 与函数 的图象之间可以相互转化.b2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：理解 、 对一次函数 的图象和性质的影响：kbykxb（1） 决定直线 从左向右的趋势（及倾斜角 的大小倾斜程度） ， 决定它与 轴交点的位置，by、 一起决定直线 经过的象限 （2）两条直线 ： 和 ： 的位置关系可由其系1l1ykx2l2ykx数确定： 与 相交； ，且 与 平行； ，且 与 重合；121l211b211l（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线 、直线 不是一次函数的图象.xab要点四、用函数的观点看方程
21、、方程组、不等式 函 数 问 题方程（组） 、不等式问题从“数”的角度看 从“形”的角度看求关于 、 的一元一次xy方程 ab0（ 0）的解x为何值时，函数 yaxb的值为 0？确定直线 yaxb与 轴（即直线 0）交点的横坐标 求关于 、 的二元一次方程组12形yxab的解为何值时，函数 1yaxb与函数2的值相等？确定直线 1yx与直线2ab的交点的坐标第 9 页 共 10 页求关于 x的一元一次不等式 ab0（ 0）的解集x为何值时，函数 yaxb的值大于 0？确定直线 yaxb在 轴（即直线 0）上方部分的所有点的横坐标的范围【典型例题】类型一、函数的概念1、下列说法正确的是： （ ）
22、.变量 满足 ，则 是 的函数；. 变量 满足 ，则 是 的函数；,xy23yx,xyx|y.变量 满足 ，则 是 的函数； . 变量 满足 ，则 是 的函数.x 21x类型二、一次函数的解析式2、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于 5000 册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：印数 （册）x5000 8000 10000 15000 成本 （元）y28500 36000 41000 53500 （1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本 y（元）是印数 x（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出 的取值范围） ；（2）如果出版
23、社投入成本 48000 元，那么能印该读物多少册？举一反三：【变式】已知直线 经过点 ，且与坐标轴所围成的三角形的面积为 ，求该直线的函数解析式类型三、一次函数的图象和性质3、若直线 （ 0）不经过第一象限，则 、 的取值范围是（ ）ykxbkbA. 0, 0 B. 0, 0 C. 0, 0 D. 0, 0kbkb举一反三：【变式】一次函数 与 在同一坐标系内的图象可以为（ ）2yxkxyA B C D类型四、一次函数与方程（组） 、不等式4、如图，直线 ykxb经过 A（2，1 ）和 B（3，0）两点，则不等式组102xk的解集为 举一反三：【变式】如图所示，直线 经过点 A(1，2)和点
24、B(2，0)，直线 过点ykxb 2yx第 10 页 共 10 页A，则不等式 2 0 的解集为( )xkbA 2 B2 1 C2 0 D1 0x xx类型五、一次函数的应用5、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药 2 后血液中的含药量h最高，达每升 6 ，接着逐步衰减，10 后血液中的含药量为每升 3 ，每升血液中的含药量 随时间 的mghmgymgxh变化情况如图所示当成人按规定剂量服药后：(1)分别求出 2 和 2 时， 与 之间的函数关系式；xyx(2)如果每升血液中的含药量为 4 或 4 以上时，治疗疾病是有效的，那mg么这个有效时间是多长?类型六、一次函数综合6、如图所示，直线 与 轴交于点 A，与 轴交于点 B，直线 与直线 关于1lxy2l1l轴对称，且与 轴交于点 C已知直线 的解析式为 y 1l4yx(1)求直线 的解析式；2l(2)D 为 OC 的中点，P 是线段 BC 上一动点，求使 OPPD 值最小的点 P的坐标举一反三：【变式】如图所示，已知直线 交 轴于点 A，交 轴于点 B，过8yxyxB 作 BDAB 交 轴于 Dy(1)求直线 BD 的解析式；(2)若点 C 是 轴负半轴上一点，过 C 作 AC 的垂线与 BD 交于点 E请判断线段 AC 与 CE 的大小关系？并证明你的结论
