1、超静定结构超 静 定 结 构静 定 结 构 是 没 有 多 余 约 束 的 结 构 ， 结 构 体 系 中 任 何 一 个 约 束 去 掉 后 ， 结 构 都 失 去 稳 定 性 ， 成 为 机 构 ， 因 而 也 就 不 能 够 继 续 承 担荷 载 。 因 此 ， 静 定 结 构 是 相 对 危 险 的 ， 任 意 约 束 失 效 后 都 会 导 致 整 体 结 构 的 失 效 。 为 了 保 证 结 构 的 安 全 性 ， 需 要 对 于 静 定 结 构 增 加约 束 ， 成 为 有 多 余 约 束 的 结 构 超 静 定 结 构 。超 静 定 结 构 有 多 余 约 束 ， 当 其 中
2、 某 个 约 束 失 效 后 ， 所 承 担 的 作 用 由 其 他 约 束 承 担 ， 整 体 结 构 仍 处 于 稳 定 状 态 ， 可 以 继 续 承 担 荷载 ， 但 是 ， 超 静 定 结 构 在 失 去 部 分 或 全 部 多 余 约 束 后 ， 内 力 会 出 现 重 新 分 布 的 现 象 ， 是 否 破 坏 要 重 新 计 算 。超 静 定 结 构 的 思 路对 于 超 静 定 结 构 ， 静 定 结 构 的 解 题 思 路 是 难 以 解 决 的 ： 静 定 结 构 中 无 论 是 外 力 还 是 内 力 ， 均 依 靠 力 系 平 衡 方 程 或 方 程 组 实 现 ，但
3、 超 静 定 结 构 的 多 余 约 束 导 致 有 效 方 程 数 少 于 未 知 数 的 数 量 。因 此 ， 超 静 定 问 题 宜 从 以 下 方 面 思 考 ：首 先 ， 如 果 结 构 整 体 是 平 衡 的 ， 结 构 内 部 任 意 组 成 部 分 、 点 、 段 落 也 一 定 是 平 衡 的 ；其 次 ， 对 于 任 意 多 余 约 束 是 可 以 去 掉 的 ， 并 以 相 应 的 约 束 力 来 替 代 的 ， 替 代 之 后 的 结 构 各 个 部 分 依 然 平 衡 切 除 替 代 点 外 没 有 任何 变 化 ；第 三 ， 结 构 中 任 意 相 临 的 、 距
4、离 为 0 的 两 点 间 的 相 对 位 移 与 转 角 均 为 0；第 四 ， 弹 性 结 构 体 系 中 ， 各 个 构 件 受 力 后 产 生 的 变 形 是 协 调 的 。基 于 上 面 的 基 本 思 路 ， 对 于 超 静 定 结 构 常 用 的 方 法 是 力 法 与 位 移 法 。力 法力 法 是 计 算 超 静 定 结 构 的 基 本 方 法 ， 是 利 用 结 构 的 变 形 协 调 来 实 现 的 。力 法 的 基 本 思 路 是 ：弹 性 结 构 体 系 中 ， 各 个 构 件 受 力 后 产 生 的 变 形 是 协 调 的 ；除 去 多 余 约 束 后 ， 以 约
5、束 力 替 代 原 约 束 ， 并 与 结 构 等 效 ；除 去 约 束 后 的 结 构 在 其 上 的 外 力 系 P的 作 用 下 ， 会 产 生 各 种 变 形 ， 其 中 在 除 去 约 束 后 的 原 约 束 点 的 位 移 是 ： p 结 构 原 有 的 约 束 力 也 会 导 致 结 构 在 约 束 点 的 相 关 变 形 ： x， x： 除 去 的 多 余 的 约 束 ， ：当 多 余 约 束 为 1 时 的 各 个 约 束 点 变 形 。但 是 在 原 结 构 中 ， 被 除 去 的 多 余 约 束 点 由 于 约 束 的 作 用 ， 其 相 应 的 位 移 为 0， 因 此
6、 有 ：x + p =0如 果 设 多 余 约 束 为 n 个 ， 则 力 法 线 性 方 程 组 为 ：x1 11 + x2 12 + x3 13 + + xn 1n + 1p = 0x2 21 + x2 22 + x3 23 + + xn 2n + 2p = 0x3 31 + x2 32 + x3 33 + + xn 3n + 3p = 0 xn n1 + x2 n2 + x3 n3 + + xn nn + np = 0其 中 ： xi： 第 i 个 多 余 约 束 所 形 成 约 束 反 力 ， 是未 知 数 ； ij： 如 果 第 j 个 多 余 约 束 位 置 上 ， 作 用 有 与
7、 该 多余 约 束 性 质 相 同 的 单 位 力 ， 所 形 成 的 位 于 第 i 个 约 束 反 力 位 置 上 的 变 形 量 ；xi ij ： 第 j 个 多 余 约 束 所 形 成 约 束 力 ， 导 致 的 位 于 第 i 个 约 束 反 力 位 置 上 的 变 形 量 ； ip ： 除 去 多 余 约 束 后 ， 结 构 外 荷 载 系 产 生 的 ， 位 于 第 i 个 约 束 反 力 位 置 上 的 变 形 量 ；根 据 虚 功 原 理 ， 可 以 求 得 ij， 且 根 据 互 等 定 理 ， ij = ji ； 同 样 ， 根 据 虚 功 原 理 也 可 以 求 得 i
8、p， 因 此 方 程 组 是 可 解 的 ；求 解 出 x1， x2， x3 xn 后 ， 可 将 其 视 为 与 外 荷 载 系 共 同 作 用 于 除 去 多 余 约 束 的 静 定 结 构 的 荷 载 ， 随 即 可 以 求 解 并 绘 制 相应 的 静 定 结 构 的 内 力 图 ， 进 而 求 出 最 大 内 力 截 面 与 最 大 应 力 的 位 置 与 量 值 ， 进 行 相 关 校 核 。 例 题位 移 法位 移 法 也 是 计 算 超 静 定 结 构 的 基 本 方 法 ， 是 利 用 结 构 的 受 力 协 调 来 实 现 的 。结 构 、 荷 载 与 边 界 约 束 如
9、图 ， 对 于 该 超 静 定 结 构 ， 分 析 如 下 ：结 构 在 荷 载 作 用 下 会 发 生 相 应 的 变 形 ， 对 于 A 节 点 来 讲 ， 可 以 认 为 外 作 用 与 变 形 是 两 次 分 别 发 生 的 ， 然 后 叠 加 至 一 个 结 构 上 ：首 先 A 点 是 固 定 的 ， 在 外 部 作 用 下 ， 发 生 杆 件 变 形 ， 并 在 A 点 形 成 了 不 协 调 的 内 力 ， 依 靠 附 加 的 外 部 作 用 时 A 点 维 持 原有 的 形 态 ； 其 次 A 点 在 发 生 转 角 变 形 ， 直 到 消 除 由 于 外 部 作 用 所 形
10、 成 的 内 力 的 不 协 调 ， 外 部 作 用 消 失 。对 于 A 点 来 讲 ， 两 次 过 程 都 会 产 生 相 应 的 内 力 ， 叠 加 至 一 个 结 构 上 后 ， 与 结 构 最 初 受 力 并 产 生 变 形 的 状 态 相 一 致 ， 产 生 的 内力 在 该 点 是 平 衡 的 。假 设 A 点 的 转 角 为 Z， 则 有 ： Z r+Rp=0， 其 中 ： Rp在 A 点 被 固 定 的 第 一 个 过 程 中 ， 荷 载 于 A 点 产 生 的 周 边 反 力 。Z 在 第 二 个 过 程 中 ， 能 够 消 除 A 点 不 协 调 作 用 的 变 形 ；r
11、 A 点 产 生 单 位 转 角 时 所 形 成 的 反 力 ；当 结 构 中 存 在 多 个 外 荷 载 作 用 与 多 处 变 形 时 ， 方 程 以 方 程 组 来 表 示 ：设 附 加 约 束 为 n 个 ，Z1r11 + Z2r12 + Z3r13 + + Znr1n +R1p = 0Z2r21 + Z2r22 + Z3r23 + + Znr2n +R2p = 0 Znrn1 + Z2rn2 + Z3rn3 + + Znrnn +Rnp = 0Zi： 第 i 个 附 加 约 束 的 位 移 ， 是 未 知 数 ；rij： 第 j 个 附 加 约 束 ， 产 生 单 位 位 移 ， 所
12、 形 成 的 位 于 第 i 个 附 加 约 束 位 置 上 的 内 力 ， 是 可 以 求 得 的 ；Zirij： 第 j 个 附 加 约 束 ， 产 生 实 际 位 移 ， 所 形 成 的 位 于 第 i 个 附 加 约 束 位 置 上 的 内 力 ；Rip ： 结 构 外 荷 载 系 产 生 的 ， 位 于 第 i 个 附 加 约 束 位 置 上 内 力 。根 据 基 本 常 数 ， 可 以 求 得 rij， 且 根 据 位 移 互 等 定 理 ， rij = rji ；根 据 基 本 常 数 也 可 以 求 得 Rip， 因 此 方 程 组 是 可 解 的 ；AA A求 解 出 Z1， Z2， Z3 Zn 后 ， 对 于 结 构 中 的 不 同 杆 件 进 行 变 形 与 荷 载 产 生 的 内 力 叠 加 ， 求 解 并 绘 制 相 应 的 内 力 图 ，进 而 求 出 最 大 内 力 截 面 与 最 大 应 力 的 位 置 与 量 值 ， 进 行 相 关 校 核 。 例 题
