1、Chp.3 时间响应分析,基本要求,基本要求 了解系统时间响应概念、组成及典型输入信号； 掌握系统特征根与系统稳定性及动态性能的关系； 掌握一阶/二阶系统定义和特征参数，求解一阶/二阶系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应； 掌握二阶系统振荡与阻尼比的关系及系统特征参数的计算和分析； 了解主导极点定义及系统降阶近似方法； 掌握系统稳定性概念及与特征根之间的关系，掌握劳斯稳定判据的应用； 掌握系统误差概念、稳态误差的求法、掌握输入、结构和参数及干扰对系统误差的影响； 了解单位脉冲响应函数与系统传递函数之间的关系。,重点与难点,重点 系统稳定性与特征根实部的关系； 一阶/二阶系统的单位脉冲/阶跃响应；
2、二阶系统性能指标计算及分析； 系统稳定性判别与稳态误差计算。难点 高阶系统近似和系统性能分析； 系统输入、结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。,建立数学模型后进一步分析、计算和研究控制系统所具有的各种性能。 时域分析法利用L变换对系统数学模型求解，可以导出各种时域性能指标。 1 时间响应及组成：1、 响应：古典控制理论中响应即输出，一般都能测量观察到；现代控制理论中，状态变量不一定都能观察到。能直接观察到的响应叫输出。2、时间响应：系统在输入信号作用下，其输出随时间变化的规律。若系统稳定，时间响应由瞬态响应和稳态响应组成。,概念,3、 瞬态响应：系统在达到稳态响应前的时间响应。4、 稳态响应：
3、当t时的时间响应。实际给出一个稳态误差，|x(t)-x()|x()5、过渡过程： 在xi(t)作用下，系统从初态到达新状态之间出现一个过渡过程。原因：系统中总有一些储能元件，使输出量不能立即跟随其输入量的变化。 过渡过程中系统动态性能充分体现： 快速性：响应是否快速； 平稳性：是否有振荡，振荡程度是否剧烈； 稳定性：系统最后是否稳定下来。,概念,6、 时间响应的数学概念：从数学观点上理解时间响应。线性定常系统非齐次常系数线性微分方程.全解=通解+特解通解：对应齐次方程，由系统初始条件引起特解：由输入信号引起，包括瞬态和稳态响应。例：质量-弹簧单自由度系统,概念,动力学方程：my(t)+ky(t
4、)=Fcost全解：y(t)=y1(t)+y2(t) (通解+特解）=Asinnt+Bcosnt+Ycost 求出A、B、Y，得：,概念,系统动态性能通过时间响应表现。时间响应不仅取决于系统本身特性，还与输入信号的形式有关。系统输入信号大多具有随机性质。但从考察系统性能出发，总可以选取一些具有特殊性质的典型输入信号来替代。选取原则：应能使系统充分显露出各种动态性能；能反映系统工作的大部分实际情况； 能反映在最不利输入下系统的工作能力； 应是简单函数，便于用数学公式表达、分析和处理。,2 典型输入信号,脉冲信号,理想单位脉冲函数(t) L(t)=1 模拟：碰撞、敲打、冲击等,单位阶跃信号1(t)
5、：R=1时,L1(t)=1/s模拟：指令、电压、负荷等的突然转换。,阶跃信号,恒速信号（斜坡函数）,单位恒速信号v(t)：R=1时，Lv(t)=1/s2 模拟：速度信号,恒加速信号 单位恒加速信号a(t)：R=1时，La(t)=1/s3 模拟：系统输入一个随时间而逐渐增加的信号。,正弦信号,xi(t)=Asint模拟：系统受周期信号作用。本章讨论(t)和u(t)的时间响应。,定义：可用一阶微分方程描述的系统。传递函数：特征参数：T,3 一阶系统,一、单位脉冲响应输入：xi (t)= (t) Xi(s)=1响应：W(s)=X0(s)=G(s)单位脉冲响应：讨论：只有瞬态项，稳态响应为0；单调下降
6、指数曲线；过渡过程时间ts：对=2% ts=4T惯性环节：一阶系统惯性较大；脉冲信号要求：脉冲宽度0.1时间常数T。,二、单位阶跃响应输入：xi (t)= 1(t) Xi(s)=1/s响应：X0(s)= G(s)Xi (s)=单位阶跃响应：讨论：瞬态项： 稳态项：1；单调上升指数曲线；过渡过程时间ts：对=2% ts=4T, 两种方法求T：xo(t)=0.632时，t=T t时，x0(t)=1,输入与输出一致； ，求出xou(t)，再方便求出w(t) 。,单位阶跃响应,4 二阶系统,定义：可用二阶微分方程描述的系统。传递函数：特征参数：系统固有频率n，系统阻尼比。 特征方程：s2+2ns+n2
7、=0 特征根：,一、单位脉冲响应,输入：xi (t)=(t) Lxi (t)=1响应：单位脉冲响应：,单位脉冲响应,欠阻尼系统01：特征根为共轭复数阻尼频率, 无阻尼系统=0：特征根：共轭纯虚数s1,2=jn临界阻尼系统=1：特征根：两个相等负实数s1,2=-n,单位脉冲响应,过阻尼系统1：特征根：两个不等负实数根为两个一阶系统单位阶跃响应函数的叠加。,单位脉冲响应,单位脉冲响应,讨论：a) =0，等幅持续振荡状态；（实际系统不可能无阻尼）1，无振荡，且w(t)永远为正值；01，减幅振荡状态，幅值衰减快慢取决于衰减系数nb) 最大振峰：当01时,二、单位阶跃响应输入：xi (t)= u(t)
8、Lu(t)=1/s响应：单位阶跃响应： 欠阻尼系统01： 瞬态项：减幅振荡， 稳态项：x()=1,无阻尼系统=0：x0(t)=1-cosnt 持续等幅振荡 临界阻尼系统=1：无振荡，指数规律单调增加，x0()=1 过阻尼系统1：无振荡 当1.5时，,单位阶跃响应,单位阶跃响应,单位脉冲响应与单位阶跃响应,1、指标形式：二阶系统的单位阶跃响应（时域，单位阶跃输入，二阶系统）原因：容易获得；最不利输入；二阶系统能较全面反映系统动态特性。2、指标定义及计算：在欠阻尼01下给出，选=0.40.8,三、性能指标计算（瞬态指标）,1）上升时间tr：一定，若n，则trn一定，若，则tr 2）峰值时间tp:t
9、p是有阻尼振荡周期2/d的一半； tp随n和变化情况与tr相同。,性能指标计算,性能指标计算,3）最大超调量MP：MP直接反映系统过渡过程的平稳性；MP只与有关，与n无关；=0.40.8时，MP=25%0.5%，=0.7时，MP=1.5%,4）调整时间ts（过渡过程时间）：定义：x0(t)-x0()x0() (tts) 讨论：最佳阻尼比（使tS和MP均小）当=0.02，=0.76时，ts最小当=0.05，=0.68时，ts最小， 取设计平均值 =0.707过大（0.8），不但不减小，反而趋于增大。原因：阻尼过大，造成迟缓。,性能指标计算,5）振荡次数N：定义：在0tts，系统以阻尼频率d为振荡
10、频率所经历的振荡次数。振荡周期：2/d 调速时间tsN反映系统响应平稳性。N随增大而减小，直接反映系统阻尼特性。,性能指标计算,性能指标计算,6）结论：a)系统时间响应性能：由特征量、n决定。提高n：tr, tp, ts, 提高系统响应速度增大： MP, N 获得较好的平稳性b)同时提高n和增大矛盾：即响应速度和振荡性能之间存在矛盾。c)合理设计系统，满足三方面性能指标。稳定性（首要），快速性（灵敏性），准确性（精度）设计中，先从稳定性出发，给出MP以确定，然后根据其它指标，确定n。,分析方法：抓主要矛盾，忽略次要因素，将问题简化。实际系统大多为复杂的高阶系统。建立闭环主导极点概念，将高阶系统
11、简化为一、二阶系统的组合。二阶系统最能反映系统过渡特性。用二阶系统分析结论，对高阶系统近似分析。,5 高阶系统,一、高阶系统的时间响应,高阶系统的时间响应,系统在单位阶跃作用下有两种情况：1、G(s)的极点是不相同的实数，全在复平面左半部；（实数极点可组成一阶项） 在阶跃信号下，L-1变换：式中，第二项包含多项式分量，随t，各项均趣于0pi值不同，衰减速度不一致。关注：衰减较慢的分量（pi较小）主要影响过渡过程。忽略：衰减较快的分量，从而将高阶低阶。,2、极点位于复平面左半部，为实数极点和共额复数极点（可组成二阶项）在阶跃信号下，,高阶系统的时间响应,结论：高阶系统的单位阶跃响应，不管极点是负
12、实数或共额复数，都可看成一阶和二阶单位阶跃响应的叠加。在各低阶响应中，各极点对系统的动态性能影响不同。,高阶系统的时间响应,条件：距虚轴最近的一对共额极点s1、s2的附近没有零点;其它极点距虚轴的距离都在这对极点距虚轴距离的五倍以上；则这对距虚轴最近的极点称为主导极点。 讨论：主导极点的调整时间是其它极点的5倍。 Ts15ts3 主导极点衰减最慢。忽略非主导极点的影响，将高阶系统近似为二阶振荡系统。,二、主导极点,示例：振摆1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。,6 稳定性概念,讨论：线性
13、系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。与输入量种类、性质无关。系统不稳定必伴有反馈作用。若x0(t)收敛，系统稳定；若x0(t)发散，则系统不稳定。将X0(s)反馈到输入端，若反馈削弱E(s) 稳定若反馈加强E(s) 不稳定稳定性是自由振荡下的定义。即xi(t)=0时，仅存在xi(0-)或xi(0+)在xi(t)作用下的强迫运动而系统是否稳定不属于讨论范围。,稳定性概念,对 anpn+an-1pn-1+a1p+a0x0(t)=bmpm+bm-1pm-1+b1p+b0xi(t)令 B(s)= ansn+an-1sn-1+a1s+a0 A(s)= bmsm+bm-1sm-1+b
14、1s+b0初始条件：B0(s) A0(s)则B(s)X0(s)- B0(s)= A(s)Xi(s)- B0(s)Xi(s)=0,由初始条件引起的输出：,2、系统稳定的条件,系统稳定的条件,L-1变换根据稳定性定义，若系统稳定须满足 ， 即pi为负值。系统稳定的充要条件：系统特征方程全部根的实部必须为负。或：系统传递函数的极点全部位于s复平面的左半部。, 特征根中有一个或以上的根的实部为正 系统不稳定； 临界稳定：特征根中有部分为零或纯虚数，其它根为负数。临界稳定系统属于不稳定。 若 ，则系统不稳定。 零点对稳定性无影响。零点仅反映外界输入对系统的作用，而稳定性是系统本身的固有特性。 稳定性判定
15、方法：a) 直接求解出特征方程的根（高阶困难）b) 确定特征根在s平面上的分布：时域：Routh判据，胡尔维茨判据频域：Nyquist判据，Bode判据,系统稳定的讨论,7 劳斯（Routh）判据,Routh判据在特征方程系数和根之间建立一定关系，以判别特征根分布是否具有负实部。一、必要条件：特征方程：B(s)= ansn+an-1sn-1+a1s+a0=0必要条件：B(s)=0的各项系数ai符号均相同，且不等于0;或 an0 an-10 a10 a00,二、充要条件：（Routh稳定性判据）：1、Rough表：将特征方程系数排成两列：偶： an an-2 an-4 an-6 奇： an-1
16、an-3 an-5 an-7 Rough数列表：sn an an-2 an-4 an-6 a0sn-1 an-1 an-3 an-5 an-7 a1 0sn-2 A1 A2 A3 0sn-3 B1 B2 B3 0 s0 0 0 0,劳斯（Routh）判据,示例,2、判据：Routh列表中第一列各项符号均为正且不等于0若有负号存在，则发生负号变化的次数，就是不稳定根的个数。,例1，已知系统特征方程 B(s)=s4+8s3+17s2+16s+5=0 判定其稳定性。解： a4=1 a3=8 a2=17 a1=16 a0=5 (过程)ai0 （i=1，2，3，4，5）Rough列表中第一列(1，8，1
17、5，13.3,5)均大于0，故系统稳定。 例2，已知系统特征方程 B(s)=s3-4s2+s+6=0 试判定其稳定性。解：有一个负系数，不满足稳定的必要条件，有几个不稳定的根？(过程)有二个负实根，实际上s3-4s2+s+6=（s-2）(s+1)(s-3) 例3，已知系统 试判定其稳定性。解：B(s)=s5+2s4+14s3+88s2+200s+800=0 (过程)符号改变二次，存在两个不稳定的根。,劳斯（Routh）判据举例,劳斯（Routh）判据举例,例4，设有系统方框图如下，已知=0.2，n=86.6，试确定k取何值时，系统方能稳定。(过程),三、特殊情况：1、Routh表任一行第一项为
18、0，其余各项不为0或部分不为0。造成该行的下一行各项变为无穷大，无法进行Rough计算。 措施：以任一小正数代替0的那一项，继续计算。例：B(s)=s3-3s+2=0（求解）若用代替后，系统Rough列表第一列均为正，临界稳定（共轭虚根）用因式（s+a）乘特征方程两边，得新的特征方程，进行Rough计算后判断（a为任意正数）。例：B(s)=s3-3s+2=0（求解，取a=3）,Routh判据特殊情况,2、Rough列表任一行全为0。原因：系统特征方程的根出现下列一种或多种情况时会发生。 具有相异符号的实数根（如s=2）； 虚根时（如s=j5）； 共轭复数根时（如 ）解决：利用全为0这一行的上一行的各项系数组成一个多项式方程（辅助方程）；对辅助方程取导数得一新方程；以新方程的系数取代全为0的那一行，继续进行Rough计算。例：B(s)=s4+s3-3s2-s+2=0（求解）例：B(s)=s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0（求解）,Routh判据特殊情况,Thank You !,
