1、垂直于弦的直径,知识简单回顾：,1 半圆是弧，但弧并不都半圆。,2 等弧只有在同圆或等圆中出现，不仅长度相等。是能够完全重合的两条弧。,3 直径是弦，但弦并不一定是直径，直径是最长的弦,用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个O，沿圆周将圆剪下，在圆内任取一点P（不与点O重合）。请思考：过点P有多少条弦？有最长的弦吗？有最短的弦吗？,.,第二步，假设过点P有最短的弦，请思考：最长的弦（直径）CD和最短的弦有什么特殊的位置关系？为什么？,构造等腰
2、三角形，利用等腰三角形的性质和勾股定理解释,.,第三步，现在我们知道直径CD和弦AB是垂直的.请思考：如果把圆沿直径CD所在的直线对折，弦AB的两个端点会怎样？线段AP和线段BP有怎么样的数量关系？这说明什么问题？同时弧AD和弧BD，弧AC和弧BC有怎样的数量关系？为什么呢？,A,B,C,D,O,P,AP = BP，,求证：,在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为P。,已知：,连接OA,OB,则OA=OB.,OA=OB，OP，,AP=BP.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,证:,垂径定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
3、,CDAB, CD是直径，, AE=BE,垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,下列图形是否具备垂径定理的条件？,垂径定理的几个基本图形：,CD过圆心,CDAB于E,AE=BE,问题一：如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。,变式1、如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。,变式2、如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、半弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三
4、角形的问题。,问题二：你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?,解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r.,经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高., AB=37.4m，CD=7.2m, AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2,解得r=27.9（m）,即主桥拱半径约为27.9m.,C,D,A,B,E,F,G,问题三：求作弧AB的四等分点。,m,n,问题四： 你能破镜 重圆吗？,n,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。,作图依据：,注意：不能做两条平行弦的垂直平分线,问题五：半径为的圆中，有两条平行弦AB 和CD，并且AB =,CD=，求AB和CD间的距离,.,做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况。,一条排水管的截面如图所示已知排水管的半径 OB=10 ，水面宽 AB=16 。求水深,D,C,10,8,8,解:作 OC AB 于 C,由垂径定理得:,AC=1/2 AB=0.5 16=8,由勾股定理得:,CD=OD-OC=4,E,练一练,再见,
