1、1第十二章 推理与证明12.1 合情推理与演绎推理五年高考考点一 合情推理1.设 V 是全体平面向量构成的集合，若映射 f：VR 满足：对任意向量 a= V，b= V，以及任意 R，均有 f a+（1- ）b= ),(1yx),(2yxf（a）+（1- ）f（b） ，则称映射 f 具有性质 P.现给出如下映射：f1：VR,f 1（m）= x-y，m =（x，y ） V;f2：VR,f 2（m）= x2+y，m=（x ，y） V;f3：VR,f 3（m）= x+y+1，m=（x ，y） V.其中，具有性质 P 的映射的序号为 .（写出所具有性质 P 的映射的序号 02.设函数 ，观察：)0(2)
2、(xf 43)(,11 xffxf，16587)()(423xf根据以上事实，由归纳推理可得：当 n N*且 n2 时， .)()(1xfxfnn3.观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第 n 个等式为 .4.对于 n N*，将 n 表示为 ， 01210 22 kkkkk aaa当 i=0 时，a i=1，当 1ik 时，a i 为 0 或 1.记 I(n）为上述表示中 ai 为 0 的个数（例如：1=1 ，4=12 2+021+020，故 I（1）=0，I （4）=2） ，则 I（12）= ；（2）02= .127)(nI5.
3、给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当 n4 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当 n=6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示）6.观察下列各式：5 5=3125，5 6=15625，5 7=78125，5 2011 的末四位数字为 .7.设 n2，nN， ，将nnn xaxaxx 210321（0kn）的最小值记为 Tn，则 ，|a ,31,0,3, 55432 nTT其中 Tn= .8.观察下列等式：1 3+23=32，1 3+23+33=62，1 3+23+33+43=
4、102，根据上述规律，第五个等式为 .9.观察下列等式： ,2351C3799,25131531 7719717 CC由以上等式推测到一个一般的结论：对于 nN*， = .1491475141 nnn C10.将正 分割成 n2（n2，nN *）个全等的小正三角形（图 1） ，图（2）分别给出ABC了 n=2，3 的情形） ，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于 的三边及平行于ABC3某边的任一直线上的数（当数的个数不少于 3 时）都分别依次成等差数列.若顶点A、B、C 处的三个数互不相同且和为 1，记所有顶点上的数之和为 f（n） ，则有 f(2)=2,f（3）= ，f（n ）= .考点二
5、 演绎推理11.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为 1，第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的数为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第 100 个数时，甲同学拍手的总次数为 .12.已知数列 满足： N*，则 a2009= ；a 2014= .nanaann ,0,1243413.将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15 根据以上排列规律，数阵中第 n（n3）行的从左至右的第 3 个数是 .14.某校数学课外小组
6、在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 k 棵树种植在点 处，其中 x1=1，y 1=1，当 k2 时，),(kyxP5211kTykkT(a）表示非负实数 a 的整数部分，例如 T（2.6）=2，T(0.2)=0.按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为 ；第 2008 棵树种植点的坐标应为 .415.已知 a0，函数 的图象连续不断）)(.0,ln)(2xfaxf（1）求 f（x）的单调区间；（2）当 时，证明存在 ；8 23)(,(00ff使（3）若存在均属于区间1， 3的 ，且 1，使 ，证明,ff)(a51n.3216.已知函数 .)2(l)(xaxf（1）讨论 的单调性；（
7、2）设 a ，证明，当0 ;1,1xafxfax时（3）若函数 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，线段 AB 中证明：)(fy .0)(xf17.（1）已知函数 ，其图象记为曲线 C.f3)(（i）求函数 的单调区间；x（ii）证明：若对于任意非零实数 x1，曲线 C 与其在点 处的切线交于另一点)(,11xfP，曲线 C 与其在点 P2 处的切线交于另一点 ，线段 ，)(,22xfP 33 321,P与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记为 S1,S2,则 为定值；（2）对于一般的三次函数 ，请给出类似于（1） （ii）)0()(3adcxbaxg的正确命题，并予以证明.三年模拟A 组 2
8、009-2011 年模拟探究专项基础测试一、填空题51.记等差数列 的前 n 项和为 Sn，利用倒序求和的方法，可将 Sn 表示成首项 a1、末项aan 与项数 n 的一个关系式，即公式 ；类似地，记2)(1na等比数列 的前 n 项积为 Tn 表示成首项 b1、末项 bn 与项数 nb的一个关系式，即公式 Tn= .2.如图所示毕达哥拉斯的生长程序：正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到127 个正方形.若最后得到的正方形的边长为 1，则初始正方形的边长为 .3.如图，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标
9、上数字标签：原点处标 0，点（1，0）处标 1，点（1，-1）处标 2，点（0，-1）处标 3，点（-1，-1 ）处标 4，点（-1，0）处标 5，点（-1，1）处标 6，点（0，1）处标 7，依此类推，则标签为 20092 的格点的坐标为 .二、解答题4.设 m3，对于有穷数列 （n=1 ，2，m ） ，令 bk 为 a1，a 2，a k 中的最大值，a称数列 为 的“创新数列”.数列 中不相等项的个数称为 的“创新阶数”.例如nbnbn数列 2，1，3，7，5 的创新数列为 2，2，3，7，7，创新阶数为 3.考察自然数1，2，m（m3）的所有数列，将每种排列都视为一个有穷数列 .nc（1
10、）若 m=5，写出创新数列为 3，4，4，5，5 的所有数列 ；n（2）是否存在数列 ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列 ，nc nc若不存在，请说明理由.B 组 2009-2011 年模拟探究专项提升测试一、填空题1.设数列 是首项为 0 的递增数列，n N*， ，满na,)(1sin)( 1nnn axxf足：对于任意的 总有两个不同的根，则 的通项公式为 .bxfbn)(,1 na2.通项公式为 的数列 ，若满足 8an2na nan对且 154321,6恒成立，则实数 a 的取值范围是 .二、解答题3.已知二次函数 和“伪二次函数” .cbxf2)( )0(ln)(2a
11、bcxaxg（1）证明：只要 ，无论 b 取何值，函数 的定义域内不可能总为增函数；0a（2）在同一函数图象上任意取不同两点 线段 AB 中点为 ，),(),(21yxBA),(0yxC记直线 AB 的斜率为 k，对于二次函数 ，求证：cbxaf2)( ).(0fk对于 “伪二次函数” ，是否有和同样的性质？证明你的结论.gln4.如图所示的自动通风设施，其下部 ABCD 是等腰梯形，其中高为 0.5 米，AB=1 米，CD=2a（ ）米，上部弧 CmD 是个半圆，固定点 E 为 CD 的中点. 是由电脑21 EMN控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ，MN 是可以沿设施边框上下滑
12、动且始终保持和 CD 平行的伸缩横杆.（1）设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米，试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S(平方米）表示成 x 的函数 ；)(xfS（2）当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗 EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积.12.2 分析法、综合法与反证法五年高考考点一 直接证明1.设 的调和平均数.如图，C 为线段 AB 上的点，且baba,2,0为称 AC=a,CB=b,O 为 AB 中点，以 AB 为直径作半圆.过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D，连结OD，AD ，BD .过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E.则图中线段 OD 的长度是
13、 a，b 的算术平均数，线段 的长度是 a，b 的几何平均数，线段 的长度是 a，b 的调和平均数.72.已知函数 上的任意 x1，x 2,有如下条件：2,cos)(2对 于xxf ;21;21x.|21其中能使 恒成立的条件序号是 .)(2ff3.设数列 满足na.110nna且（1）求 的通项公式；n（2）设 ，证明：nknn bSab11,记 .1nS4.已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C： 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为yx在2的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足 0.2 OPBA（1）证明：点 P 在 C 上；（2）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A
14、 、 P、 B、 Q 四点在同一圆上.5.已知数列 与 满足 N*，且nab nbaannn ,2)1(3,021a1=2，a 2=4.（1）求 a3,a4,a5 的值；（2）设 N*，证明 是等比数列；cnn,12nc（3）设 N*，证明 （n N*）.kaSk,242 kaS41676.已知数列 的前 n 项和为 Sn，且满足： N*，r R，r-a Sn(),0(111）.8（1）求数列 的通项公式；na（2）若存在 k N*，使得 成等差数列，试判断：对于任意的 m N*，且21,kkSm2， 是否成等差数列，并说明你的结论 .21,m7.（1）已知函数 ，求函数 的最大值；),0(1
15、)(xnxf )(xf（2）设 均为正数，证明：,21,kba（i ） 若 1；nba1 nbbna 2121,则（ii）若 .,2则 b 221n8.已知函数 R）.xef)(（1）求函数 的单调区间和极值；（2）已知函数 的图象关于直线 x=1 对称.证明：当 1x时， ).(xgf)(xfy（3）如果 2),(, 12121 f证 明且9.在数列 中，a 1=0，且对任意 N*， 成等差数列，其公差为 .n k1212,kkakd（1）若 kd2，证明 成等比数列（ N*） ；212,kka（2）若对任意 N*， 成等比数列，其公比为 .kq（i）设 ，证明 是等差数列；1q1kq（ii
16、）若 ，证明 2（n2）.2aka23910.已知等差数列 的公差为 d（d0） ，等比数列 的公比为 q（q1）.设nanbN*. aabTbS nnn ,)1(,2121 （1）若 ，求 S3 的值；,q（2）若 b1=1，证明： ， N*；2221)()1()( qdnnnk（3）若正整数 n 满足 2nq，设 和 是 1，2，n 的两个不同的nk,21 nll,2排列， ，证明： .lllnkk babacbac n 121 2 21c11.已知数集 （1a 1a 2a n,n2）具有性质 P：对任意的,21naAi，j（1ijn） ， 与 两数中至少有一个属于 A.jiij（1）分别
17、判断数集1，3，4与1，2，3，6 是否具有性质 P，并说明理由;（2）证明： =an;1121, aa且（3）证明：当 n=5 时， 成等比数列.5431,12.已知 .|)(22kxxf（1）若 k=2，求方程 =0 的解；)(f（2）若关于 x 的方程 =0 在（0，2）上有两个解 ，求 k 的取值范围，并证明21,x.21x410考点二 间接证明13.已知函数 ，曲线 y= 在点（1，f（1） ）处的切线方程为 x+2y-xbaxf1ln)( )(x3=0.（1）求 a，b 的值；（2）如果当 x0，且 x1 时， ，求 k 的取值范围 .xf1ln)(14.设函数 定义在（0，+）上
18、，f（1）=0，导函数)().(,xfxgf （1）求 的单调区间和最小值；)(（2）讨论 与 的大小关系；xg1（3）是否存在 ，使得| | 对任意 成立？若存在，求出 的取0)(0xg10x0x值范围；若不存在，请说明理由.15.已知数列 和 的通项公式分别是 （n N*）.将集合nab 72,63bnaN* N*）中的元素从小到大依次排列，构成数列x,|nx,|,21nc（1）写出 ；4321,（2）求证：在数列 中，但不在数列 的项恰为 a2，a 4，a 2n,；ncnb（3）求数列 的通项公式.16.证明以下命题：（1）对任一正整数 a，都存在正整数 b，c（ ） ，使得 成等差数列
19、；2,cba（2）存在无穷多个互不相似的三角形 ，其边长 为正整数且 成等差nn, 2,nc11数列.17.已知数列 满足： ， 1） ；数列 满na21naann (0,1)(2)(3 nb足： 1）.bnn(21（1）求数列 ， 的通项公式；ab（2）证明：数列 中的任意三项不可能成等差数列.n三年模拟A 组 2009-2011 年模拟探究专项基础测试解答题1.设椭圆 的左、右焦点分别为)0(1:2bayxCF1、F 2，上顶点不 A，在 x 轴负半轴上有一点 B,满足，且 ，如图所示.B2FB（1）求椭圆 C 的离心率；（2）若过 A、B、F 2 三点的圆恰好与直线 ，求椭圆 C 的方程
20、；03:yxl（3）在（2）的条件下，过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 与椭圆 C 交于 M、N 两点，在lx 轴上是否存在点 使得以 PM、PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出)0,(mPm 的取值范围；如果不存在，说明理由 .2.已知函数 .1)(nxf（1）求过原点且与曲线 y= 相切的直线方程；)(f（2）若关于 x 的不等式 ax 恒成立，求实数 a 的取值范围.x3.设数列 满足 R|n N*，| |2.naMan,1211n12（1）当 a （-，-2）时，求证：a ；M（2）当 时，求证：a M;41,0(（3）当 时，判断元素 a 与集合 M 的关系，并证明你的
21、结论.,4.已知函数 R）. baxgxbaxf ,()1)(,24)( 22（1）当 b=0 时，若 在 上单调递减，求 a 的取值范围；f,（2）求满足下列条件的所有整数对 ：存在 x0，使得 是 的最大值，a)(0fxf的最小值；)(0xg是（3）对满足（2）中的条件的整数对 ，试构造一个定义在 D R 且b, x|Z上的函数 .使 ，且当 x（-2，0）时，kx,)(xh)(2h ).(fhB 组 2009-2011 年模拟探究专项提升测试一、填空题1.如图，圆周上按顺时针方向标有 1，2，3，4，5 五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下一次只能跳
22、一个点；若停在偶数上，则跳两个点.该青蛙从 5 这点跳起，经 2008 次跳后它将停在的点是 .2.已知函数 由下表给出：)(xfx 0 1 2 3 4)(fa0 a1 a2 a3 a4其中 等于在 中 k 所出现的次数.则 a4= ，4,3210ka432,= .0二、解答题3.已知圆 ，点 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交 CQ16)3(:2yxCQA),03(13于点 M，设点 M 的轨迹为 E.（1）求轨迹 E 的方程；（2）过点 P（1，0）的直线 l 交轨迹 E 于两个不同的点 A、B， （O 是坐标原点）的面积 ，若弦 AB 的中点不 R，求直线 OR 斜率的取值范围.54,3
23、S4.已知：数列 ， 中，a 1=0，b 1=1，且当 n N*时， 成等差数列，n1,nab成等比数列.1,nba（1）求数列 ， 的通项公式；n（2）求最小自然数 k，使得当 nk 时，对任意实数 0，1，不等式 nb)32(恒成立；)3()4(na（3）设 （n N*） ，求证：n2 时，bbd112.dnn325.已知函数 的图象经过点（4，8）.mxf2)(（1）求该函数的解析式；（2）数列 中，若 a1=1，S n 为数列 的前 n 项和，且满足 2） ，证n anSfan)(明数列 成等差数列，并求数列 的通项公式.nSn（3）另有一新数列 ，若将数列 中的所有项按每一行比上一行
24、多一项的规则排成nbnb如下数表：b1b2 b3b4 b5 b614b7 b8 b9 b10记表中的第一列数 b1，b 2，b 4，b 7，构成的数列即为数列 ，上表中，若从第三行na起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第 k（k3）行所有项的和.9481b6.已知表中的对数值有且只有两个是错误的.x 1.5 3 5 6 7lgx 3a-b+c 2a-b a+c 1+a-b-c 2(a+c)x 8 9 14 27lgx 3(1-a-c) 2(2a-b) 1-a+2b 3(2a-b)（1）假设上表中 lg3=2a-b 与 lg5=a+c 都是正确的，试判断 lg6=1+a-b-c 是否正确？给出判断过程；（2）试将两个错误的对数值均指出来并加以改正.（不要求证明）
