1、幻灯片 11.2.2 组 合第 1 课时 组合与组合数公式幻灯片 2幻灯片 3一、组合的定义从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素_，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.合成一组幻灯片 4思考：组合与排列的概念有何异同点？提示：共同点：都是“从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素” ；不同点：组合“不管顺序并成一组” ，而排列是要“按照一定顺序排成一列”.幻灯片 5二、组合数的概念、公式与性质组合数定义从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_的个数,叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.表示法 _所有不同组合 mnC幻灯片 6乘积式组合数公式阶乘式性质备
2、注 n，mN*且 mn 规定：n1(2)nm1! mnAnC_!mn_1Cnmmn1_，0n幻灯片 7判断：(正确的打“” ，错误的打“”)(1)从 a1,a2,a3 三个不同元素任取两个元素的一个组合为( )(2)从 1，3，5，7 中任取两个数相除可以得 个商.( )(3) ( )(4) ( )23C.43560.2 012 13 幻灯片 8提示：(1)错误.组合数 与一个组合是两个不同的概念，根据定义，一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是所有组合的个数，它是一个数.解题时应分清求组合还是组合数.(2)错误.相除为一排列问题，应有 个商.(3)错误.(4)正确.因为答案：(1)
3、 (2) (3) (4)23C4A3510.2 01 3 23 13C 0.幻灯片 9【知识点拨】1.对组合的三点认识(1)组合的特点：组合要求 n 个元素是不同的，被取出的 m 个元素自然也是不同的，即“从 n 个不同的元素中取出 m个元素”.(2)组合的特性是：元素的无序性，即取出的 m 个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求(3)相同的组合：根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，也是相同的组合.幻灯片 102.排列问题和组合问题的区分方法排列 若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,即排列问题与选取的顺序有关组合 若交换某两个元素的位置对结果没有影响,
4、则是组合问题,即组合问题与选取的顺序无关幻灯片 113.组合数公式的两种形式的适用范围形式 主要适用范围乘积式 含具体数字的组合数的求值阶乘式 含字母的组合数的有关变形及证明幻灯片 124.组合数两个性质的应用要注意性质 的顺用、逆用、变形用顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一” ；变形式的使用，为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要注意灵活运用. mm1n1nC幻灯片 13类型一 组合问题的辨别 【典型例题】1.求从 2，3，4，5 四个数中任取 2 个数作为对数式 logab 的底数与真数，得到的对数的个数有多少，是_问题；若问把这两个数相乘得到的积有几种，则是_问题.(用“排列
5、” “组合” 填空)幻灯片 142.判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合 A=a,b,c,d,e，则集合 A 的子集中含有 3 个元素的有多少个？(2)某铁路线上有 5 个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3 人去干 5 种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把 3 本相同的书分给 5 个学生，每人最多得 1 本，有几种分配方法？幻灯片 15【解题探究】1.组合的特点是什么？2.区分某一问题是组合问题与排列问题的关键是什么？探究提示：1.组合的特点是与取出的元素的顺序无关.2.关键是根据排列、组合的概念，看取出的元素是否有顺序，有顺序的就是排列问题，
6、无顺序的就是组合问题.幻灯片 16【解析】1.从 2，3，4，5 四个数中任取 2 个数作为对数式 logab 的底数与真数，交换 a,b 的位置后所得对数值不同，应为排列问题；取两个数相乘，如 23 与 32 的积是相等的，没有顺序，故为组合问题.答案：排列 组合幻灯片 172.(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.(2)因为甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.(3)因为分工方法是从 5 种不同的工作中选出 3 种，按一定顺序分给 3 个人去干，故是排列问题.(4)因为 3 本书是相同的，无论把
7、 3 本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.幻灯片 18【拓展提升】1.判断具体问题是组合与排列问题的流程幻灯片 192.区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.3.组合问题中要计的数与组合数的关系每一个选(方)法都对应一个组合，因此，要计的数即为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.幻灯片 20【变式训练】判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.(1)规定 10 人相互通一次电话，共通多少次电话？(2)1
8、0 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？(3)10 支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(4)从 10 个人中选出 3 个代表去开会，有多少种选法？(5)从 10 个人中选出 3 个不同学科的课代表，有多少种选法？幻灯片 21【解析】(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为(3)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的，排列数为 210C45.210A9.幻灯片 2
9、2(4)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数为(5)是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为 310C2.7幻灯片 23类型二 组合数公式的应用【典型例题】 1.式子 可表示为( )2.求值：3.证明： n12n10 ！0n1n10A. B.CCD59n1.mnn1C.幻灯片 24【解题探究】1.组合数公式的乘积式中分子、分母有什么特点？2.解决题 2 应如何入手？3.题 3 证明的关键是什么？幻灯片 25探究提示：1.组合数公式的乘积式中分子为 m 个数相乘，因式分别为从 n到 n-m+1 的自然数，分母为 m 的阶乘.2.由于题 2 中的两个组合数
10、中的上标与下标均是未知数，且只含有一个变量 n，应首先根据组合数 的意义确定未知数的值(或范围)，在解与组合数有关问题时应特别注意.3.有关组合数恒等式的证明，关键是化简，应先考虑利用组合数的阶乘式形式作答. mnC幻灯片 26【解析】1.选 D.分式的分母是 100！，分子是 101 个连续自然数的乘积，最大的为 n+100，最小的为 n，故 1(2)10! 10nnn0C. ！幻灯片 272.由组合数定义知：所以 4n5，又因为 nN*，所以 n=4 或 5.当 n=4 时，当 n=5 时，3. 05n,91， 5n4CC;59n016.mnn1nm！ ！ ！ ！ ！mnC.幻灯片 28【
11、互动探究】将题 3 改为求证：【证明】因为右边左边 所以左边=右边，所以原式成立.m1nn.1Cmn!C,nnm，幻灯片 29【拓展提升】1.组合数公式乘积式的应用组合数公式 体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.但当时，计数 可先用性质 化简，减少运算量.mn1(2)nm1C! 2mnC幻灯片 302.组合数公式阶乘式的应用组合数公式 的主要作用：一是计算 m,n 较大时的组合数；二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.3.求含有字母参数的组合数问题的关注点关注组合数 中的隐含条件：mn,且 nN*，mN，求解时应检验其结果是否满足这一条件. mn!CmnC幻灯
12、片 31【变式训练】1.计算：【解析】原式 43107A.98765210.21幻灯片 322.证明：【证明】所以原式成立. m1nC.n1!m！ ！1n！ ！m1nC.幻灯片 33类型三 组合数性质的应用 【典型例题】1.计算 的值为( )2.求证： 3334562 01 52 01 4 42 01A.CB.CDnn1m2m.幻灯片 34【解题探究】1.性质 的结构有何特点？2.解答题 2 的关键是什么？探究提示：1. 的特点是等号右侧下标相同，上标差 1，合并后左侧下标比右边多 1，上标取较大的上标.2.解答题 2 的关键是将 拆成两个 与前后的组合数逆用组合数的性质. mmn1nC1n1
13、m2幻灯片 35【解析】1.选 C.3334562 01CC 4 43352 01 42 01 .幻灯片 362.由组合数的性质 可知，右边左边.所以原式成立. mm1n1nCn2(C)n1mm幻灯片 37【拓展提升】性质“ ”的意义及作用nC幻灯片 38【变式训练】1.化简：【解析】原式答案：0 98m1mC_.91910.幻灯片 392.已知 求 n 的值.【解析】根据题意，变形可得，由组合数的性质，可得即 故 8+7=n+1，解得 n=14.78n1nC，,787n1n，1，78n1C，幻灯片 40求解含有组合数的方程或不等式【典型例题】1.解方程：2.解不等式：xx5671.C04n.
14、幻灯片 41【解析】1.由组合数公式，原方程可化为化简得解得 x1=2,x2=21.因为 x5,xN*，所以原方程的解是 x=2.x5！ ！ ！(6)7x().10！ ！ ！ ！ ！6，幻灯片 422.由组合数公式，原不等式可化为化简得 n2-9n-100，解得-1n10.因为 n6，nN*，所以不等式的解集为6，7，8，9.!.46幻灯片 43【拓展提升】含有组合数的方程或不等式的求解流程幻灯片 44【易错误区】忽视组合数中参数的限制条件致误【典例】(2013济南高二检测)若 则 n 的取值集合为_.345nn12C ，幻灯片 45【解析】由可得 n2-11n-120，解得-1n12.又 n
15、N*，且 n5，所以 n5，6，7，8，9，10，11.答案：5，6，7，8，9，10，112412n1n340n3，幻灯片 46【误区警示】幻灯片 47【防范措施】1.限制条件的挖掘对题目中涉及组合数中参数，要认真分析，找出其一些限制条件，如本例中 nN*且 n5 的限制.2.公式与性质的灵活运用对组合数公式的两种形式与两个性质的灵活运用在解题中往往起到关键的作用，如本例选乘积式要比阶乘式简单.幻灯片 48【类题试解】若方程： 则 x 的取值集合为_.【解析】因为由组合数的性质得，x23x2=5x5 或(x23x2)(5x5)=16，即 x2-2x-3=0 或 x28x-9=0，所以 x=-
16、1 或 x=3 或 x=-9 或 x=1.经检验 x=3，x=-9 不合题意，舍去，故原方程的解是 x1=-1，x2=1.答案：-1，12x35x1616C.,幻灯片 491.下面几个问题是组合问题的有( )从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名，有多少种不同的选法？有 4 张电影票，要在 7 人中确定 4 人去观看，有多少种不同的选法？幻灯片 50某人射击 8 枪，命中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，不同的结果有多少种？A. B.C. D.【解析】选 C.与顺序有关，是排列问题，而均与顺序无关，
17、是组合问题，故选 C.幻灯片 512. 的值为( )A.1 006 B.1 007 C.2 012 D.2 014【解析】选 D.利用组合数的性质得1 0672C1 0617 072C2 4.幻灯片 523.若 则 n 的值是( )A.6 B.7 C.8 D.9【解析】选 B.原方程可化为：解得 n=7，经检验，n=7 是原方程的解.34nA6，n12n3124幻灯片 534.已知a,bAa,b,c,d，满足这个关系式的集合 A 有_个.【解析】由题意集合 A 中除了含有 a,b 外，可能还含有 c,d 中的 0 个，1 个或 2 个，故集合 A 共有 (个).答案：4C14幻灯片 545.若 则 x=_.【解析】因为所以 x=2x-7 或 x+2x-7=20,所以 x=7 或 x=9，经检验，x=7 或 x=9 是原方程的解.答案：7 或 9x270，C,幻灯片 556.若 求 n.【解析】由 得即 解得 n=-1(舍)或 n=4.故 n=4.23nn1A4，2C，n2!n1!431，幻灯片 56幻灯片 57
