1、1,1. 求球面,在点(1 , 2 , 3) 处的切,平面及法线方程.,解:,所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,2,解. 方程组两边对 x 求导, 得,曲线在点 M(1,2, 1) 处有:,切向量,得,在点M ( 1,2, 1),处的切线方程与法平面方程.,代入点M ( 1,2, 1),2. 求曲线,3,切线方程,即,法平面方程,即,点 M (1,2, 1) 处的切向量,4,3.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,到平面,5,令,解此方程组得
2、唯一驻点,由实际意义最小值存在 ,故,6,4. 计算,其中为球面,解:,化为参数方程,则,7,5. 计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,解: 由对称性可知,8,6. 上5中L 改为,计算,解: 令, 则,圆L的形心在原点, 故, 如何,9,7. 计算,其中 D 是由直线,所围成。,解：画域,10,8. 计算,解: 易知,因此取D 为X 型域 :,不能先 x 后y积分, 须交换积分次序,11,9. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,12,10.,计算,其中,解: 对于含有绝对值的函数 , 通常分区域积分,原式 =,利用极坐标,13,11. 设,上连续，试证明
3、,证明,14,12. 计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解: 令,设 L 所围区域为D,由格林公式知,15,在D 内作圆周,取逆时,针方向, 对区域,应用格,记 L 和 l 所围的区域为,林公式 , 得,16,13. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2 1-12可知, 存在函数 u (x , y) 使,。,。,17,14. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.（补充）,证: 令,则,由定理 21.12可知存在原函数,18,或,19,15. 设,提示:,20,解：因为,即在不含原点的单连通域内，积分与路径无关
4、。,取新路径,16.,21,其参数方程为,22,17.,求,其中，V由,解：,采用广义球坐标变换,与,围成。,23,18.,求,其中，V是椭球体,解 广义球坐标变换,所以,=,24,计算三重积分,其中是由,xoy平面上曲线,所围成的闭区域 .,提示: 利用柱坐标,原式,绕 x 轴旋转而成的曲面与平面,19.,25,20. 求由曲面,和,所围成的体积 V 和表面积 S .,解: (1) 易求出,利用二重积分,得,26,(2),27,21.,解: 在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,28,22.,证明,证:左端,= 右端,29,23.,求圆锥,在圆柱体,内那部分的面积。,解：根据面积
5、公式,其中，D：,所求曲面方程为,所以，,30,24. 计算双曲抛物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xoy 面上投影为,则,出的面积 A .（补充）,31,25. 求位于两圆,和,的重心.（补充）,解: 利用对称性可知,而,之间均匀薄片,32,26. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接,上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,矩形薄片的另一边长度应为多少?,提示: 建立坐标系如图.,由对称性知,由此解得,问接上去的均匀,即有,使整个薄片的重心恰好落在圆心上 ,33,27.,设函数 f (x) 连续且恒大于零,其中,(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +) 内的单调性;,(2) 证明 t 0 时,(03考研),34,解: (1) 因为,两边对 t 求导, 得,35,(2) 问题转化为证,即证,故有,因此 t 0 时,因,36,的外法向量,计算,解:,28. 设,
