1、第六章 根轨迹法,经典控制理论有三种基本分析方法： 时域分析法 频域分析法 根轨迹分析法,反馈控制系统的基本性能，主要由系统的极点（即特征方程的根）的分布所决定，因此分析系统必须求解特征方程的根。但求解高阶系统特征方程异常困难，这就限制了时域分析法在二阶以上系统中的应用。1948年，伊文思根据反馈系统开、闭环传递函数之间的内在联系，提出了直接由开环传递函数确定闭环特征根（即闭环极点）的新方法，并且建立了一套法则，这就是在工程上获得广泛应用的根轨迹法。,6-1 根轨迹与根轨迹方程,一、根轨迹所谓根轨迹，是指当系统某个参数（如开环增益K）由零到无穷大变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹。,二、根
2、轨迹方程及幅角、幅值条件,满足上式的s值，都是特征方程的根，都必定是根轨迹上的点，故称上式为根轨迹方程。,下面利用幅角、幅值条件画根轨迹,利用幅值条件可算出各根轨迹上的 值。,6-2 绘制根轨迹的基本法则,一、根轨迹的分支数 根轨迹在S平面上的分支数=闭环特征方程的阶数n这是因为n阶特征方程对应n个特征根，当开环增益K由 变化时，这n个特征根随K变化必然会出现n条根轨迹。,二、根轨迹的对称性因为开环极点、零点或闭环极点都是实数或共轭复数，它们在S平面上的分布对称于实轴，所以根轨迹也对称于实轴。,S,三、根轨迹的起点与终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点数m小于开环极点数n ,
3、则有(n-m)条根轨迹终止于无穷远处。,证明：,四、实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段的右侧，开环零点、极点数目之和应为奇数。这个结论可由幅角条件证明。,五、根轨迹的渐进线,极点之和减去 零点之和。,例1、某单位反馈系统的开环传递函数为,S,-2 -1 0,六、根轨迹的起始角与终止角起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平线正方向的夹角。终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平线正方向的夹角。,S,S,S,起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平线正方向的夹角。,所有零点到 的向量夹角,其它极点到 的向量夹角,其它零点到 的向量夹角,所有极点到 的向量夹角,起始于 的
4、根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角,终止于 的根轨迹在终点处的切线与水平正方向的夹角,七、分离点的坐标几条根轨迹在S平面上相遇后又分开的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。,例1、某单位反馈系统的开环传递函数为,S,-2 -1 0,例2,S,-3 -2 -1 0,(2) 实轴上的根轨迹,S,-3 -2 -1 0,会合点,八、实轴上的分离点的分离角恒为实轴上的会合点的会合角恒为,S,-3 -2 -1 0,九、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有一部分极点位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根 ，系统处于临界稳定状态，因此，将 代入特征方程中得,例3、某单位反馈系统的开环传递函数
5、为,S,-2 -1 0,S,-2 -1 0,S,-2 -1 0,6-3 根轨迹绘图举例,S,-3 -2 -1 0,性能分析,2、实轴上的根轨迹；,S,-3 -2 -1 0,S,-3 -2 -1 0,6-4 系统闭环零点、极点的 分布与性能指标,本节主要讨论两个问题： 怎样根据闭环零点、极点的分布来估算系统的性能指标； 怎样根据性能指标确定闭环零点、极点的分布。,闭环零点=前向通道 中的零点闭环极点即根轨迹上的点,S,-2 0,一、系统瞬态响应表达式,二、闭环零点、极点分布与阶跃响应的定性关系一个控制系统总是希望它的输出量尽可能的复现给定输入量，要求动态过程的快速性、平稳性要好一些。要保证这些要
6、求，闭环的零点、极点应如何分布呢？,1、为保证系统稳定，闭环极点必须在左半S平面。 2、为保证快速性好，应使阶跃响应中每一分量 衰减得快，即 应远离虚轴。,S,0,1,2,3,4,1,2,3,4,比较系统,振荡频率 高低,阻尼比 大小,衰减速度 快慢,1、2、3、4为4对二阶系统的极点,实部决定衰减快慢， 虚部决定阻尼振荡频率,3、为保证平稳性好，复极点最好设在与负实轴成 线上，这时，可获得最佳阻尼比 。 4、远离虚轴的闭环极点（或零点）对瞬态响应影响很小。一般情况下，若某一极点比其它极点远离虚轴46倍时，则它对瞬态响应的影响可以略去不计。,闭环极点间距要大,闭环极点与闭环零点间距要小,偶极子
7、的概念对系统综合设计很有用，可有意识地在系统中加入适当零点，以抵消不利极点，使系统动态过程得以改善。,三、利用主导极点估算性能指标远离虚轴的零点、极点、偶极子，对瞬态响应的影响小，可略去；靠近虚轴，又不构成偶极子的零点、极点起主导作用，决定瞬态响应的性能，称主导极点，主导零点。计算性能指标时，可以只考虑主导极点，将高阶系统近似为一阶、二阶系统，直接利用第三章瞬态响应公式计算。,S,-4 0,例10画根轨迹并分析 对系统动态过程的影响,S,-4 -2 0,该两点距-4均为2.82, 根轨迹为以-4为圆心，2.82为半径的圆。,不讲,S,-2 -1 0,由于-1，-2与-0.01，-0.1相距甚远
8、，故在画原点附近根轨迹时，可忽略-1，-2的影响；,而画远处根轨迹时，可认为,S,原点处根轨迹,S,画远处根轨迹时，可认为,-0.433,S,-2 -1 -0.1 0,虽然动态特性变化不大,但稳定的K值范围大大增加了.,小结：根轨迹法的基本思路是在已知开环零、极点分布的基础上，依据根轨迹法则，确定闭环零、极点的分布。再利用主导极点与偶极子的概念，对系统的阶跃响应进行定性分析和定量估算。,利用根轨迹法，能较方便地确定高阶系统中某个参数变化时闭环极点分布的规律，形象地看出参数对系统动态性能的影响，特别是可以看到K变化的影响，同时也能看出加入超前校正、滞后校正对根轨迹的影响，以便可以籍此大致确定校正参数。,应该指出，我们只讲了一些简单系统根轨迹的画法，对于高阶复杂系统，借助 Matlab可非常容易画出其根轨迹，使根轨迹法获得了广泛的应用。,
