1、1、解析法(代数法)：,用复数表示振动，有时在处理复杂振动过程中很方便；当然最终只取实部(可观察物理量只可能是实量)。,实数表示：,(振动表达式),复数表示 ：,因 ，,故 。,或直接写作 。,1.1.3 旋转矢量法(简谐振动的表示方法),2、旋转矢量法(几何法)：,复数表示中（参图），,复矢量端点转动在实轴上投影的运动方程即为,旋转矢量与简谐振动的对应关系,旋转半径 振幅 A,转动角频率角频率,A与+x夹角相位,t=0时夹角 初相位,在描述振动的物理量中，要数相位较抽象，但相位的概念又是很重要的。利用了旋转矢量图就很直观： 相位就被简单表示成旋转矢量对 x 轴正向的夹角。 旋转矢量的这个角度
2、不同，就代表相位不同，因此，在图上要比较两个简谐振动的相位差就很方便。,两者相位差(同一时刻情形即为初相差)可有四种情况：,例如，对于沿 x 轴振动的两个同频率的简谐振动：,用旋转矢量表示相位关系,同相,反相,用旋转矢量法表示振动速度和加速度,矢量A 的端点作匀速圆周运动，角速度为 ，则,线速度v在x轴上投影 质点的振动速度,向心加速度在x轴上投影 对应质点的振动加速度,3、图示法：,如何由振动曲线确定简谐振动表达式？,（振动曲线）,振幅 A；,周期 T,角频率,初相：,由 t = 0（或其它时刻）的位移x0 和初速度 v0 方向定角度 。,任意点曲线斜率代表该时刻的振动速度,（旋转矢量旋转一
3、周所需的时间）,旋转矢量法与振动曲线的对应：,确定以下几种情况的初相位,解：,例题 ：,正向运动,正向运动,作参考圆,解：,例题 ：,两振子 ， 都指向平衡位置运动。请判定它们的相位差。,判定两振动之间的相位差，是一个在实际工作中经常遇到的问题。,用旋转矢量法,由图可见,(课堂练习),谐振子从 A/ 2 的位置过渡到 A 的位置，最短历时是多少?,解：,例题：,我们知道，简谐振动是变加速运动，要确定谐振子在两个不同状态间过渡所用的时间，是比较复杂的。,设：,过渡时间 ，要解超越方程，这是比较复杂的。但借助旋转适量法却简单易行。因为旋转矢量的端点是作匀速圆周运动，这样问题就变得十分容易了。,(课
4、外阅读),首先考查从 A/ 2 到 A 的 最小相位差：,从旋转矢量图上可以得出,由匀速运动的等时性,所以，渡越时间为,简谐振动的振动曲线，写出其振动表达式,例题7：,A = 5 (m);,T = 2 (s),通式,A = 5 (m);,(rad/s),t = 0 时：,初速度方向指向平衡位置，,(m),1、单摆,摆球对C 点的力矩（注意正向定义）,本质上是转动，因此作力矩分析,由角动量定理,1.1.4 单摆(微振动的简谐近似),则,若很小（摆球作小角度摆动）,注意到,单摆的 固有频率,结论：当且仅当单摆作小角度摆动时,其振动可近似为简谐振动。,该方程的解需用一个椭圆积分(不能用初等函数表达)
5、.,当,解方程,当 中，取到高阶近似时， 单摆的运动是非线性的非简谐振动。,2、复摆(物理摆)*,结论：复摆的小角度摆动是简谐振动。,当 时,力矩分析,运用定轴转动定律,令,复摆是在重力场中，绕不过质心的水平固定轴摆动的刚体。,设在任一时刻t，振子位移为x，速度为v，则其弹性势能Ep动能Ek分别为：,以弹簧振子为例分析能量谐振系统的变化：,谐振系统的动能、势能交替变化，相互转换，而总能量不变。,谐振系统的总能量与振幅平方成正比。,其它谐振系统如何?,1.1.5 简谐振动的能量,(振幅决定了谐振动能量),注意: 势能Ep和动能Ek的周期!,简谐振动还有一个特点：一个周期内的平均动能等于一个周期内的平均势能,解：,例题 ：,质量为0.01kg的小球与轻弹簧组成谐振系统按 的规律运动。求 A、T、 及 vm、am 。 Fm 、E、 、 、何处 ？ t = 5s 和t = 1s 两时刻的相位差。,(练习33 填空题1),即：,
