1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果事件 、 互斥，那么 A
2、B()()PABP如果事件 、 相互独立，那么 圆柱的体积公式 ，其中 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高VShh棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高13一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 ，则,25,4|13ABCxR()ACBA B C D3,21,2342设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为,xy20,1,xy4zxyA2 B3 C5 D63设 ，则“ ”是“ ”的xR250x|1|xA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为SA5 B8 C2
3、4 D295已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若 与双曲线 的两条渐近线分24yxFl21(0,)xyabab别交于点 和点 ，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为|4|AOA B C D23256已知 ， ， ，则 的大小关系为5loga0.52lb0.c,abcA B C Dcacab7已知函数 是奇函数，将 的图象上所有点的横坐标()sin(),|)fxAxyfx伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 若 的最小正周期为 ，且g2，则4g38fA B C D22228已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则aR,1,()ln.xaxfx()0fxR的取值范围为
4、A B C D0,10,20,e1,e2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共 12 小题，共 110 分。二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 是虚数单位，则 的值为_i5i110 的展开式中的常数项为_832x11已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四25条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_12设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为_aR0xy2cos,1inxya13设 ，则 的最小值为_0
5、,25x()x14在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上，ABCD,23,5,30BADA ECB且 ，则 _EE三解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分 13 分）在 中，内角 所对的边分别为 已知 ， ABC , ,abc2ca3sin4siBaC（）求 的值；cos（）求 的值sin26B16（本小题满分 13 分）设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 假定甲、乙两位同学到校情况互不23影响，且任一同学每天到校情况相互独立（）用 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数
6、学期X X望；（）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到M校的天数恰好多 2”，求事件 发生的概率17（本小题满分 13 分）如图， 平面 ， ， AEBCD,FAEBC ,1,2ADBAEBC（）求证： 平面 ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值；（）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长13F18（本小题满分 13 分）设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 21(0)xyabFB5（）求椭圆的方程；（）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的PMPxNy负半轴上若 （ 为原
7、点），且 ，求直线 的斜率|ONFOPNB19（本小题满分 14 分）设 是等差数列， 是等比数列已知 nanb1234,6,24abab，（）求 和 的通项公式；（）设数列 满足 其中 nc11,2,kknncb*N（i）求数列 的通项公式；2na（ii）求 *1icN20（本小题满分 14 分）设函数 为 的导函数()ecos,()xfgfx（）求 的单调区间；（）当 时，证明 ；,42x()02fxgx（）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明n()1uf,42nnN2002siceonnxx2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一选择题：本题考查基
8、本知识和基本运算每小题 5 分，满分 40 分1D 2C 3B 4B 5D 6A 7C 8C二填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 30 分9 10 11 12 13 1483431三解答题15本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识考查运算求解能力，满分 13 分（）解：在 中，由正弦定理 ，得 ，又由 ，ABC sinibcBCsinibcB3sin4sicaC得 ，即 又因为 ，得到 ， 由余弦定理可得3sin4siba34a2a43a2222 169co3cb（）解：由（）可得 ，从而 ，215s
9、in1cos4B 15sin2icos8B，故227cosi8B15371357insincosin666826 16本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分 13 分（）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为 ，23故 ，从而 23,XB 3321()C,0,23kkPXk所以，随机变量 的分布列为0 1 2 3P127294987随机变量 的数学期望 X()3EX（）解：设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为 ，则 ，且Y23,B由题意
10、知事件 与 互斥，且事件3,12,0MYY3,1X,0与 ，事件 与 均相互独立，从而由（）知XX(),)(,)(2,)PPYPY824103)(1(20793PY17本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分 13 分依题意，可以建立以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴正方向的空间直角AABDE， ， xyz坐标系（如图），可得 ， 设(0,)(1,0)(,20)(,1)C(0,2)E，则 ()CFh2Fh（）证明：依题意， 是平面 的法向量，又 ，可得 ，(,)ABADE(,
11、)BFh0BFA又因为直线 平面 ，所以 平面 DE（）解：依题意， (1,0)(1,02)(1,2)C设 为平面 的法向量，则 即 不妨令 ，(,)xyznB,BEn0,xyz1z可得 因此有 (2,1) 4cos,9|C所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 CEBD（）解：设 为平面 的法向量，则 即(,)xyzmF0,BDFm0,2xyhz不妨令 ，可得 1y21,h由题意，有 ，解得 经检验，符合题意24|1cos, 3hmn87h所以，线段 的长为 CF8718本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解
12、决问题的能力满分 13 分（）解：设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ，c524,cba22bc5a2,b1c所以，椭圆的方程为 2154xy（）解：由题意，设 设直线 的斜率为 ，又 ，0,PpMxx， PB0k,2B则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 整理得 ，可PB2yk2,154yk245x得 ，代入 得 ，进而直线 的斜率 在2045Pxkx2810PkyOP210Ppykx中，令 ，得 由题意得 ，所以直线 的斜率为 由yy2Mk,NMN，得 ，化简得 ，从而 OMN2110k245235k所以，直线 的斜率为 或 PB35019本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及
13、其前 项和公式等基础知识考查化归与转化思想n和数列求和的基本方法以及运算求解能力满分 14 分（）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 依题意得 解得nadnbq26,14qd故 3,2dq 14(1)3,623nnn nab所以， 的通项公式为 的通项公式为 n ,nna2nnb（）（i）解： 221321941nncb所以，数列 的通项公式为 n 94nnc（ii）解： 22221111n iiniiiiiacaa143942nnn ii21135nnn*72N20本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法考查函数思想和化归与转化思想考查抽象概括
14、能力、综合分析问题和解决问题的能力满分 14 分（）解：由已知，有 因此，当 时，有()ecosin)xf x52,4xk()kZ，得 ，则 单调递减；当 时，有sincox()0ff 3,()，得 ，则 单调递增ifxfx所以， 的单调递增区间为 的单调递减区间为f 32,(),(4kkfxZ52,()4kZ（）证明：记 依题意及（），有 ，从而()()2hxfgx()ecosin)xgx当 时， ，故()2esinxg,40()()()()1()022hxfgxgxx因此， 在区间 上单调递减，进而 ,4()2hf所以，当 时， ,2x()02fxgx（）证明：依题意， ，即 记 ，则 ，1nnufcose1nx2nyx,42ny且 22ecoscosnnyxnf N由 及（），得 由（）知，当 时， ，所201nffy0ny,42x()0gx以 在 上为减函数，因此 又由（）知，gx,404ngg，故02nnnfyy022220002 sincosinceeoennn ynfggyx 所以， 200siconxx
