1、2017 年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟冲刺试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1已知复数 z=3+4i，i 为虚数单位， 是 z 的共轭复数，则 =（ ）A B C D2设集合 A=x|x2x20，集合 B=x|1x1，则 AB=（ ）A 1，1 B （1，1 C （ 1，2） D1，2）3如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=1，AD=2，点 E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 边上的中点，则 =（ ）A B C D4已知锐角 ， 满足 sin= ，则 + 的值为（ ）A B C
2、D 或5已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1，F 2，两条渐近线分别为 l1，l 2，过 F1 作 F1Al 1 于点 A，过 F2 作 F2Bl 2 于点 B，O 为原点，若ABO 是边长为 的等边三角形，则双曲线的方程为（ ）A B C D6从某企业生产的某种产品中随机抽取 10 件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如下：质量指标值分组 10，30） 30，50） 50，70频率 0.1 0.6 0.3则可估计 这批产品的质量指标的方差为（ ）A140 B142 C143 D134.87已知函数 的两条相邻对称轴间的距离为 ，把 f（x）的图象向右平移 个单位得到函数 g（x
3、 ）的图象，且g（ x）为偶函数，则 f（x ）的单调递增区间为（ ）A BC D8 九章算术有如下问题：有上禾三秉（古代容量单位） ，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗问上、中、下禾一秉各几何？依上文：设上、中、下禾一秉分别为 x 斗、y 斗、z 斗，设计如图所示的程序框图，则输出的 x，y ，z 的值分别为（ ）A B C D9如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形，点 A1在底面 ABC 上的投影 D 恰好为 BC 的中点，AA 1 与平面 ABC 所成角为 45，则
4、该三棱柱的体积为（ ）A1 B C3 D10已知函数 y=f（x）与 y=g（x ）的图象如图所示，则函数 y=f（x）g（x）的图象可能是（ ）A B C D11如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为（ ）A B C D12已知函数 f（x ）=e xlnx（x0） ，若对使得方程 f（x ）=k 有解，则实数 a 的取值范围是（ ）A （0 ，e e Be e，+） Ce ，+） D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13已知实数 x，y 满足 ，则 z=2x2y1 最大值为 14 （2 ） （ 12x） 4 的展开
5、式中 x2 的系数为 15在ABC 中 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，若 b=4，A=60，且ABC外接圆的面积为 4，则ABC 的面积为 16已知抛物线的顶点为原点，焦点为 F（1，0） ，过焦点的直线与抛物线交于A，B 两点，过 AB 的中点 M 作准线的垂线与抛物线交于点 P，若|AB|=6，则点P 的坐标为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17已知数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 an= +2n2，nN *，且 S2=6（1）求数列a n的通项公式；（2）证明： + + + 18某服装超市举办了一次有奖促销活动，
6、顾客消费每超过 600 元（含 600 元） ，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种方案一：从装有 10 个形状、大小完全相同的小球（其中红球 3 个，黑球 7 个）的抽奖盒中，一次性抽出 3 个小球，其中奖规则为：若摸到 3 个红球，享受免单优惠；若摸到 2 个红球则打 6 折，若摸到 1 个红球，则打 7 折；若没有摸到红球，则不打折；方案二：从装有 10 个形状、大小完全相同的小球（其中红球 3 个，黑球 7 个）的抽奖盒中，有放回的摸取，连续 3 次，每摸到 1 个红球，立减 200 元（1）若两个顾客均分别消费了 600 元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单
7、优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满 1000 元，则该顾客选择哪种抽奖方案更合适？19已知在梯形 ABCD 中，ADC= ，ABCD， PC平面ABCD，CP=AB=2DC=2DA ，点 E 在 BP 上，且 EB=2PE（1）求证：DP平面 ACE；（2）求二面角 EACP 的余弦值20在平面直角坐标系 xoy 中，点 ，圆 F2：x 2+y22 x13=0，以动点 P 为圆心的圆经过点 F1，且圆 P 与圆 F2 内切（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线 l 过点（1，0） ，且与曲线 E 交于 A，B 两点，则在 x 轴上是否存在一点 D（t，0） （t0） ，使得 x 轴平分ADB
8、？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由21已知函数 f（x ）=x 33x2m，g（x）=3e x6（1 m）x 3（m R，e 为自然对数底数） （1）试讨论函数 f（x）的零点的个数；（2）证明：当 m0，且 x0 时，总有 g（x ）f（x） 选修 4-4：参数方程与极坐标系22在平面直角坐标系 xoy 中，圆的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 （1）将圆的参数方程化为普通方程，在化为极坐标方程；（2）若点 P 在直线 l 上，当点 P 到圆的距离最小时，求点 P 的极坐标选修 4-5：不等式选讲23已
9、知函数 f（x ）=|x1|2x|（1）解不等式 f（x）3；（2）求函数 y=f（x）的图象与 x 轴围成的三角形的面积2017 年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟冲刺试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1已知复数 z=3+4i，i 为虚数单位， 是 z 的共轭复数，则 =（ ）A B C D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】由 z 求出 ，代入 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z=3 +4i， = 故选：C2设集合 A=x|x2x20，集合 B=x
10、|1x1，则 AB=（ ）A 1，1 B （1，1 C （ 1，2） D1，2）【考点】1E：交集及其运算【分析】求出集合的等价条件，结合交集的定义进行计算即可【解答】解：A=x|x 2x20=x |1x2 ，则 AB=x |1x1，故选：B3如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=1，AD=2，点 E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 边上的中点，则 =（ ）A B C D【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】将所求利用平行四边形的相邻两边对应向量表示，然后进行向量的运算【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，AB=1，AD=2 ，点 E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA
11、 边上的中点，则 ， ，所以 =2 = = = ；故选：A4已知锐角 ， 满足 sin= ，则 + 的值为（ ）A B C D 或【考点】GQ：两角和与差的正弦函数【分析】由同角三角函数的基本关系可得 cos 和 sin，而 cos（+）=coscossinsin，代值计算可得 +【解答】解：sin= ，cos= ，又 ， 为锐角，cos= ，sin= ，cos（+）=coscos sinsin= = ，+=故选 B5已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1，F 2，两条渐近线分别为 l1，l 2，过 F1 作 F1Al 1 于点 A，过 F2 作 F2Bl 2 于点 B，O 为原点，若AB
12、O 是边长为 的等边三角形，则双曲线的方程为（ ）A B C D【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】由 F1Al 1，则丨 F1A 丨=b，则丨 OA 丨=a，ABO 是边长为 的等边三角形，a= ，求得 A 点坐标，代入渐近线方程，即可求得 b 的值，求得双曲线方程【解答】解：过 A 作 ADF 1F2，双曲线的渐近线方程 y= x，由 F1Al 1，则丨 F1A 丨=b，则丨 OA 丨=a ，由 ABO 是边长为 的等边三角形，丨 OA 丨=a= ，丨 AD 丨= = ，D（ ， ） ，由 D 在渐近线 y= x，解得：b=3 ，双曲线的标准方程： ，故选：C6从某企业生产的某种产品中随
13、机抽取 10 件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如下：质量指标值分组 10，30） 30，50） 50，70频率 0.1 0.6 0.3则可估计 这批产品的质量指标的方差为（ ）A140 B142 C143 D134.8【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差【分析】根据定义，计算质量指标的样本平均数 和方差 S2【解答】解：根据题意，计算质量指标的样本平均数为：=200.1+400.6+600.3=44；所以质量指标的样本方差为S2=（4420） 20.1+（4440） 20.6+（4460） 20.3=134.8故选：D7已知函数 的两条相邻对称轴间的距离为 ，把 f（x）的图象
14、向右平移 个单位得到函数 g（x ）的图象，且g（ x）为偶函数，则 f（x ）的单调递增区间为（ ）A BC D【考点】HJ：函数 y=Asin（x +）的图象变换；H5：正弦函数的单调性【分析】根据条件求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可【解答】解：函数 f（x ）的两条相邻对称轴间的距离为 ， = ，即周期 T= ，则 =2，此时 f（ x）=2sin（2x+） ，把 f（x）的图象向右平移 个单位得到函数 g（x）的图象，则 g（ x）=2sin 2（x ）+=2sin（2x + ） ，g （x）为偶函数， = +k，则 = +k，k Z，| ，当 k=1 时，= = ，则 f（x）=2sin（2x ） ，由 2k 2x 2k+ ，k Z，得 2k 2x2k + ，即 k xk + ，kZ，即函数的单调递增区间为k ，k+ ，k Z，故选：C8 九章算术有如下问题：有上禾三秉（古代容量单位） ，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗问上、中、下禾一秉各几何？依上文：设上、中、下禾一秉分别为 x 斗、y 斗、z 斗，设计如图所示的程序框图，则输出的 x，y ，z 的值分别为（ ）
