1、2017 年湖南省娄底市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1已知集合 P=xN|1 x5，集合 Q=xR|x2x60，则 PQ 等于（ ）A1 ，2 ，3 B1，2 C1，2 D1，3）2已知 a 是实数， 是纯虚数，则 a=（ ）A B C1 D 13“x 3”是“ln（x2）0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4执行如图所示的程序框图，若输入的 a=5，则输出的结果是（ ）A B C D5已知双曲线 的渐近线与圆 相切，则该双曲线的离心率为（ ）
2、A B C D36若实数 x，y 满足不等式组 ，则 x+2y 的最小值为（ ）A2 B3 C D147一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 2 的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为 的扇形，则该几何体的表面积为（ ）A2 B+4 C D8对于函数 f（x）=asinx+bx 3+cx+1（a，b ，c R），选取 a，b，c 的一组值计算 f（1）、f（1），所得出的正确结果可能是（ ）A2 和 1 B2 和 0 C2 和 1 D2 和 29南北朝时期我国数学著作张丘建算经有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，的金四斤，持出，下四人后入得金三斤，
3、持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和（ ）A多 斤 B少 斤 C多 斤 D少 斤10已知点 P（x 0，y 0）是抛物线 y2=4x 上的一个动点，Q 是圆 C：（x +2） 2+（y 4） 2=1 上的一个动点，则 x0+|PQ|的最小值为（ ）A B C3 D411已知函数 f（x ）=sin（x+ ）（0，0）的最小正周期是 ，将函数 f（x）的图象向左平移 个单位长度后得到函数图象过点 P（ 0，1），则函数 f（x）=sin（x+）（ ）A有一个对称中心（ ，0）B有一条对称轴 x=C在区
4、间 ， 上单调递减D在区间 ， 上单调递增12已知函数 f（x ）=xlnx+x （xa） 2（a R），若存在 ，使得 f（x）xf（x ）成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C D（3，+）二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13已知点 P（3cos，sin）在直线 l：x +3y=1，则 sin2= 14在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b， c，已知 ，且 B=2C，点 D 为边 BC 上的一点，且 CD=3，则ADC 的面积为 15在三棱锥 PABC 中，PA 平面 ABC，PA=1，AB=AC= ，BAC=120，D 为棱 BC 上一个
5、动点，设直线 PD 与平面 ABC 所成的角 ，则 不大于 45的概率为 16已知向量 =（a ，1b ）， =（b ，1）（a0，b0），若 ，则 +4b 的最小值为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）季节的应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12 分）设数列a n的前 n 项和 ，数列b n满足 （1）求数列a n的通项公式；（2）求数列b n的前项和 Tn18（12 分）某学校的特长班有 50 名学生，其中有体育生 20 人，艺术生 30 名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于 50 次/分到 75 次/ 分之间，现将数据分成五组，第一组50，5
6、5），第二组55，60），第五组70，75），按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为a： 4：10 （1）求 a 的值，并求这 50 名学生心率的平均数；（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为 0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有 99.5%的把握认为心率小于 60 次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？请说明理由参考数据：P（K 2k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2
7、.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：K 2= ，其中 n=a+b+c+d心率小于 60 次/分 心率不小于 60 次/分合计体育生 20艺术生 30合计 5019（12 分）如图，已知三棱锥 PABC 中，PA AC，PC BC，E 为 PB 中点，D 为 AB 的中点，且ABE 为正三角形（1）求证：BC平面 PAC；（2）请作出点 B 在平面 DEC 上的射影 H，并说明理由若 ，求三棱锥 PABC 的体积20（12 分）已知平面内一动点 M 与两定点 B1（ 0， 1）和 B2（0，1）连线的斜率之积等于（）求动点 M 的轨迹 E 的方程：（）
8、设直线 l：y=x +m（m0）与轨迹 E 交于 A、 B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 P，当 m 变化时，求PAB 面积的最大值21（12 分）设函数 （1）求函数 （x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；（2）当 a=1 时，记 h（x）=f（x）g（x ），是否存在整数 ，使得关于 x 的不等式2 h（x）有解？若存在，请求出 的最小值；若不存在，请说明理由选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系设曲线 C： （ 为参数），宣线 l：（4cos5sin）+40=0（）写出曲线 C 的普通方程和直
9、线 l 的直角坐标方程（）求曲线 C 上的点到直线 l 的最小距离选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|x+ 1|+|x3|（1）求不等式 f（x）6 的解集；（2）若关于 x 的不等式 f（x）|2a+1|不恒成立，求实数 a 的取值范围2017 年湖南省娄底市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1已知集合 P=xN|1 x5，集合 Q=xR|x2x60，则 PQ 等于（ ）A1 ，2 ，3 B1，2 C1，2 D1，3）【考点】1E：交集及其运算【分析】求出 P，
10、解关于 Q 的不等式，求出 PQ 即可【解答】解：P=1，2 ，3，4，5，Q=x|2x 3，PQ=1，2，故选：B【点评】本题考查了集合的运算，考查解不等式问题，是一道基础题2已知 a 是实数， 是纯虚数，则 a=（ ）A B C1 D 1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】由题意设 =bi（b0），展开后利用复数相等的条件求得 a 值【解答】解：设 =bi（b0），则 ai=（2+i）bi=b+2bi， ，解得 a= 故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3“x 3”是“ln（x2）0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件
11、 D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据对数的性质求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由 ln（x2） 0 得 0x 21，得 2x 3，则 x3 是 2x3 的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质求出不等式的等价条件是解决本题的关键4执行如图所示的程序框图，若输入的 a=5，则输出的结果是（ ）A B C D【考点】EF：程序框图【分析】由题意可得：S= + ，再利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：由题意可得：S= + = = 故选：C【点评】本题考查了等
12、比数列的求和公式、算法与程序框图，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5已知双曲线 的渐近线与圆 相切，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D3【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程，由圆的方程可得其圆心坐标以及半径，由双曲线的渐近线与圆相切，则有 = ，变形可得 3a2=2c2，即 = ，由离心率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的方程为： ，其渐近线方程为y= x，即 bxay=0，圆 的圆心为（2 ，0），半径为 ，若双曲线的渐近线与圆相切，则有 = ，化简可得 3a2=2c2，即 = ，则其离心率 e= = ；故选：A【点评】本题考查
13、双曲线的几何性质，6若实数 x，y 满足不等式组 ，则 x+2y 的最小值为（ ）A2 B3 C D14【考点】7C：简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，令 z=x+2y，化为 y= ，由图可知，当直线 y= 过 A（0，1）时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 2故选：A【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 2 的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为 的扇形，则该几何体的
14、表面积为（ ）A2 B+4 C D【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是一个高和底面半径都是 2 的圆锥的 即可得出该几何体的表面积【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个高和底面半径都是 2 的圆锥的 该几何体的表面积 S= +2 = +4故选：D【点评】本题考查了圆锥的三视图、表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8对于函数 f（x）=asinx+bx 3+cx+1（a，b ，c R），选取 a，b，c 的一组值计算 f（1）、f（1），所得出的正确结果可能是（ ）A2 和 1 B2 和 0 C2 和 1 D2 和 2【考点】3L：函数奇偶性的性质【分析】求出 f（1）和 f（1），求出它们的和；由于结果为整数，判断出 f（1）+f（1）为2，比较四组答案，可得结论【解答】解：f（x）=asinx+bx 3+cx+1，f（ 1）=asin1+b+c+1，f（ 1）= asin1bc+1，由 f（1）+f（1）=2，故所得出的正确结果只可能是 2 和 0，其它各组均不满足故选 B
