1、2016 年湖南省五市十校教改共同体高考数学四模试卷（文科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知全集 U=R，集合 M=x|lg（1x）0，则 UM=（ ）Ax|x1 Bx|x0 CC x|x0 Dx|x02 （5 分）若复数 （aR）是纯虚数，则复数 3a+4i 在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）双曲线 =1（ab0）的离心率的取值范围是（ ）A （1，+） B （1， ） C （ ，+） D （0，1）4 （5 分）如图所示的程序运行后输出的结果
2、是（ ）A5 B3 C0 D15 （5 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，则“a=b” 是“acosB=bcosA” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6 （5 分）正三棱柱 ABCABC的底面边长为 1，高为 4，在侧棱 BB有不同的两动点 M，N，则 AM 与NC（ ）A有可能平行 B有可能垂直 C一定平行 D不一定异面7 （5 分）已知向量 =（1 x，x） ， =（1，y） （x0，y0）且 ，则 x+y 的最小值是（ ）A B C2 D48 （5 分）设曲线 y=f（x）与曲线 y=x2+1（x0）关于
3、y=x 对称，则 f（x）的定义域为（ ）A （0，+） B （1，+ ） C （ ，0） D （，1）9 （5 分）某几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（ ）A B C D10 （5 分）已知函数 f（x） = x3+ax2+b2x+1，若 a 是从 1，2，3 三个数中任取一个数，b 是从 0，1，2 三个数中任取的一个数，则该函数存在递减区域的概率为（ ）A B C D11 （5 分）将函数 f（x）=sin（2x+） （| ）的图象向右平移 个单位后的图象关于 y 轴对称，则函数 f（x）在0， 上的最小值为（ ）A0 B1 C D12 （5 分）已知直线 l：3x4y+m=0 上
4、存在不同的两点 M 与 N，它们都满足与两点 A（ 1，0） ，B（1，0）连线的斜率 kMA 与 kMB 之积为1，则实数 m 的取值范围是（ ）A （3， 3） B （ 4，4） C （ 5，5） D5，5二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）已知 f（x）= ，则 f（f（ ） ）的值为 14 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，若 z=3x+y 的最大值为 16，则 a= 15 （5 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，且 = ，则角 A 等于 16 （5 分）已知抛物线 M：x 2=4y，圆 C：x 2+（y3） 2=4，
5、在抛物线 M 上任取一点 P，向圆 C 作两条切线PA 和 PB，切点分别为 A，B，则 的取值范围是 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）在各项均为正数的等差数列a n中，a 1=1，a 4+2 是 a41 和 a9+3 的等比中项，数列b n满足bn=n2 （0）（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列b n的前 n 项和 Sn18 （12 分）湖南省安全会议提到，原则上不再建设新的花炮厂，对已建成的花炮厂进行质量评估，质量评估单位等级分为优秀、合格和不合格三类省质量技术监督局对浏阳所有花炮厂进行了质量评估，在所有进
6、行评估的花炮厂中，质量优秀，合格与不合格的厂家数量如表优秀 合格 不合格年产值 2 亿以上 80 45 20年产值小于或等于 2 亿 10 15 30（1）在所有参与调查的厂家中，用分层抽样的方法抽取 n 个厂家，已知评估“不合格” 的厂家中抽取 25 家，求求 n 的值（2）在评估不合格的厂家中，用分层抽样的方法抽取 5 家组成一个总体，从这 5 家中任意选取 2 家，至少有 1 家年产量在 2 亿以上的概率；（3）在接受调查的厂家中，有 8 家给这项活动打出的分数如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把这 8 个厂家打出的分数看作一个总体，从中任取 1 个数，
7、求该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率19 （12 分）如图所示的四面体 ABCD 中，ABAD，CDDB，BD=DC=5，AB=4（1）当 AC 的长为多少时，面 ABD面 BCD；（2）当点 D 到面 ABC 的距离为 3 时，求该四面体 ABCD 的体积20 （12 分）已知椭圆 C： + =1 的右焦点为 F，上顶点为 B，圆 O 以椭圆 C 的中心为圆心，半径等于线段 BF 的长（1）求圆 O 的标准方程；（2）过 F 的直线 L 与圆 O 交于 A，B 两点，问圆 O 上是否存在点 P 满足条件 = + ；若存在，请求出直线 L 的方程，若不存在，请说明理由21 （12
8、 分）已知函数 f（x） =（1）求 f（x）在1，a（a1）上的最小值；（2）若关于 x 的不等式 f2（ x）+mf（x）0 只有两上整数解，求实数 m 的取值范围请在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.选修 4-1：几何证明选讲（共1 小题，满分 10 分）22 （10 分）如图所示，PA 为圆 O 的切线，A 为切点，PO 交圆 O 于 B，C 两点，PA=20，PB=10，BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E（）求证 ABPC=PAAC（）求 ADAE 的值选修 4-1：坐标系与参数方程 （共 1 小题，满分 0 分）23在
9、直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 （ 为参数） ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是 2sin（+ ）=3 ，射线 OM：= 与圆 C 的交点为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长选修 4-5：不等式选讲（共 1 小题，满分 0 分）24已知函数 f（x）=|x+2|2|x1|（1）解不等式 f（x）2；（2）对任意 xa，+ ） ，都有 f（x）x a 成立，求实数 a 的取值范围2016 年湖南省五市十校教改共同体高考数学四模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小
10、题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2016 湖南四模）已知全集 U=R，集合 M=x|lg（1 x）0，则 UM=（ ）Ax|x1 Bx|x0 CC x|x0 Dx|x0【分析】求出 M 中不等式的解集确定出 M，根据全集 U=R 求出 M 的补集即可【解答】解：由 M 中不等式变形得：1x1，解得：x0，即 M=x|x0 ，全集 U=R， UM=x|x0，故选：C【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2 （5 分） （2016 湖南四模）若复数 （aR）是纯虚数，则复数 3a+4i 在复平面内对应的点在
11、（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值，则答案可求【解答】解： = 是纯虚数， ，得 a=1复数 3a+4i 在复平面内对应的点的坐标为（3，4） ，在第一象限故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3 （5 分） （2016 湖南四模）双曲线 =1（a b0）的离心率的取值范围是（ ）A （1，+） B （1， ） C （ ，+） D （0，1）【分析】根据双曲线离心率的定义结合不等式的性质进行求解即可【解答】解：ab0，c 2=a2+b2a 2+a2=2a2
12、，即 c a，即 e ，双曲线的离心率 e1，1e ，即离心率的取值范围是（1， ） ，故选：B【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据不等式的性质进行转化求解是解决本题的关键4 （5 分） （2016 湖南四模）如图所示的程序运行后输出的结果是（ ）A5 B3 C0 D1【分析】根据题意，模拟程序语言的运行过程，即可得出输出的结果【解答】解：模拟程序语言的运行过程，如下；x=3，y=7，x0 不成立，x=72=5，y=7+1=8 ，xy=58=3故选：B【点评】本题考查了程序语言的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，从而得出正确的答案，属于基础题5 （5 分） （2016 湖南四模
13、）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则“a=b” 是“acosB=bcosA”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】acosB=bcosA sinAcosB=sinBcosAtanA=tanBA=B，即可判断出结论【解答】解：acosB=bcosA sinAcosB=sinBcosA，A，B（0，） ，则A，B ，tanA=tanBA=Ba=b，故选：C【点评】本题考查了正弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形内角和定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力6 （5 分） （2016 湖南四模）正三棱柱 AB
14、CABC的底面边长为 1，高为 4，在侧棱 BB有不同的两动点M，N，则 AM 与 NC（ ）A有可能平行 B有可能垂直 C一定平行 D不一定异面【分析】由题意，设 AB的中点为 D，则 CD平面 ABBA确定 AMAM，过 D 作 DNAM ，即可得出结论【解答】解：由题意，设 AB的中点为 D，则 CD平面 ABBA设 BM=x，则 BM=4x，假设 AMAM，则 1+x2+1+（4x） 2=16，x 24x+1=0，0x4，x=2 ，过 D 作 DNAM，AM DN，AM 与 NC有可能垂直，故选：B【点评】本题考查线面、线线位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题7 （5 分）
15、 （2016 湖南四模）已知向量 =（1x，x） ， =（1， y） （x0，y0）且 ，则 x+y 的最小值是（ ）A B C2 D4【分析】根据平面向量的坐标运算，得出 xy=x+y；再利用基本不等式 x+y2 ，即可求出 x+y 的最小值【解答】解：向量 =（1 x，x） ， =（1，y） ，且 ，y （1 x）x=0，xy=x+y；又 x0，y0，x+y2 ，xy2 ，xy4，当且仅当 x=y=2 时，取“=” 即 x+y 的最小值是 2 =4故选：D【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与基本不等式的应用问题，是基础题目8 （5 分） （2016 湖南四模）设曲线 y=f（x）与曲线
16、y=x2+1（x0）关于 y=x 对称，则 f（x）的定义域为（ ）A （0，+） B （1，+ ） C （ ，0） D （，1）【分析】根据函数关于 y=x 对称，得到两个函数互为反函数，根据互为反函数的定义域和值域的关系，转化求函数 y=x2+1（x0）的值域即可【解答】解：曲线 y=f（x）与曲线 y=x2+1（x0）关于 y=x 对称，函数 f（x）与 y=x2+1（x0）互为反函数，要求 f（x）的定义域，即求函数 y=x2+1（x0）的值域，x0，y=x 2+11，即 y=x2+1（x0）的值域为（1，+） ，则函数 f（x）的定义域为（1 ，+） ，故选：B【点评】本题主要考查反
17、函数的性质，根据条件判断两个函数互为反函数，利用反函数的定义域和值域的关系是解决本题的关键9 （5 分） （2016 湖南四模）某几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（ ）A B C D【分析】由三视图知该几何体是一个球的八分之一，由三视图求出球的半径，由球的表面积和圆的面积公式求出几何体的表面积【解答】解：根据三视图可知几何体是一个球的八分之一，且球的半径是 1，几何体的表面积 S= = ，故选：C【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力10 （5 分） （2016 湖南四模）已知函数 f（x）= x3+ax2+b2x+1，若 a 是从
18、1，2，3 三个数中任取一个数，b 是从 0，1，2 三个数中任取的一个数，则该函数存在递减区域的概率为（ ）A B C D【分析】由题意 f（x）=x 2+2ax+b20 有解，从而 ab，先求出基本事件总数 n=33=9，再利用列举法求出 ab 包含的基本事件个数，由此能求出该函数存在递减区域的概率【解答】解：f（x）= x3+ax2+b2x+1，f（x）=x 2+2ax+b2，该函数存在递减区域，f（x）=x 2+2ax+b20 有解，=4a 24b20，ab，a 是从 1，2，3 三个数中任取一个数，b 是从 0，1，2 三个数中任取的一个数，基本事件总数 n=33=9，ab，a=1
19、时，b=0，a=2 时，b=0 或 b=1，a=3 时，b=0 或 b=1 或 b=2，该函数存在递减区域的概率 p= = 故选：D【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导致数性质及列举法的合理运用11 （5 分） （2016 湖南四模）将函数 f（x）=sin（2x+） （| | ）的图象向右平移 个单位后的图象关于 y 轴对称，则函数 f（x）在 0， 上的最小值为（ ）A0 B1 C D【分析】由函数图象变换以及诱导公式和偶函数可得 值，可得函数解析式，由三角函数区间的最值可得【解答】解：将函数 f（x）=sin（2x+）的图象向右平移 个单位后得到 y=sin2（
20、x ）+ ）=sin（2x+ ）的图象，图象关于 y 轴对称，由诱导公式和偶函数可得 =k+ ，解得 =k+ ，kZ，由| 可得当 k=1 时 = ，故 f（x）=sin （2x ） ，由 x0， 可得 2x ， ，当 2x = 即 x=0 时，函数 f（x）在0， 上取最小值 sin（ ）= ，故选：D【点评】本题考查正弦函数图象，涉及函数图象变换和函数的奇偶性以及最值，属中档题12 （5 分） （2016 湖南四模）已知直线 l：3x4y+m=0 上存在不同的两点 M 与 N，它们都满足与两点A（1， 0） ，B（1，0）连线的斜率 kMA 与 kMB 之积为1，则实数 m 的取值范围是（
21、 ）A （3， 3） B （ 4，4） C （ 5，5） D5，5【分析】由题意可知，点 M、N、A 、B 在以 AB 为直径的圆上，求出以 AB 为直径的圆的方程，可知直线l 与圆相交，利用点到直线的距离公式求出 m 的范围得答案【解答】解：由题意可知，点 M、N、A 、B 在以 AB 为直径的圆上，则该圆的方程为 x2+y2=1M、N 是不同的两点，直线 l 与圆相交，且直线 l 与圆相切为临界条件，此时原点到直线 l 的距离等于圆的半径，即 1= ，m= 5m 的取值范围为（5，5） 故选：C【点评】不同考查直线的斜率，考查了直线与圆的位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题二、
22、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分） （2016 湖南四模）已知 f（x）= ，则 f（f（ ） ）的值为 3e 【分析】由 3，可得 =log3（15 6）=2 进而得出【解答】解： 3， =log3（15 6）=2f（f（ ） ）=f（2）=3e 21=3e故答案为：3e【点评】本题考查了对数与指数的运算性质、分段函数的解析式，考查了计算能力，属于中档题14 （5 分） （2016 湖南四模）已知实数 x，y 满足 ，若 z=3x+y 的最大值为 16，则 a= 0 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据 z 的几何意义，利用数形结合即可得到 a 的值【解答】解：不等式组 对应的平面区域如图：由 z=3x+y 得 y=3x+z，平移直线 y=3x+z，则由图象可知当直线 y=3x+z 经过点 C 时直线 y=3x+z 的截距最大，此时 z 最大，为 3x+y=16，由 ，解得 ，即 C（4，4） ，此时点 C 在 x+ay=4，即 4+4a=4，解得 a=0，故答案为：0
