1、2016 年吉林省白山市高考数学四模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （5 分）若集合 A=xN|1x5，B=y|y=4 x，xA，则（ ）AAB=1，2，3 BA=B CAB=1，2，3 DBA2 （5 分）复数 z 满足 =2i，则 z 平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分） “2x2” 是“lgx1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）已知函数 f（x）=sin（x+ ） （0）的最小正周期为
2、 ，则该函数的图象（ ）A关于直线 x= 对称 B关于点（ ，0）对称C关于直线 x= 对称 D关于点（ ，0）对称5 （5 分）若双曲线 C：mx 2+y2=1 的离心率为 2k（k0） ，其中 k 为双曲线 C 的一条渐近线的斜率，则 m的值为（ ）A B C 3 D6 （5 分）一直三棱柱的每条棱长都是 3，且每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ）A21 B24 C28 D367 （5 分）若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 Nn（mod m） ，例如 104（mod 6） 下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理） ，执行该程序框图，则
3、输出的 n 等于（ ）A17 B16 C15 D138 （5 分）已知数列a n中，a 1=2， =3，若 an100，则 n 的最大值为（ ）A4 B5 C6 D79 （5 分） （x+ 4y） 7 的展开式中不含 x 的项的系数之和为（ ）AC 73C434347 B C72C4243+47 C 47 D4 710 （5 分）设 a0，且 x，y 满足约束条件 ，若 z=x+y 的最大值为 7，则 的最大值为（ ）A B C D11 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A +8 B24+8 C16+8 D8+1612 （5 分）设函数 y=ax2 与函数 y=| |
4、的图象恰有 3 个不同的交点，则实数 a 的取值范围为（ ）A （ e， ） B （ e，0） （0， e） C （0， e） D （ ，1） e二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡中的横线上）13 （5 分）在边长为 4 的正ABC 中，D 为 BC 的中点，则 = 14 （5 分）若抛物线 C：y 2=4x 上一点 A 到抛物线的焦点的距离为 3，O 为坐标原点，则直线 OA 的斜率为 15 （5 分）偶函数 f（x）的周期为 3，当 x0，1时，f（x）=3 x，则 的值为 16 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 4=7 且 4S
5、n=n（a n+an+1） ，则 Sn8an 的最小值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）在ABC 中，A，B ，C 的对边分别是 a，b，c，3sin 2C+8sin2A=11sinAsinC，且 c2a（1）求证：ABC 为等腰三角形（2）若ABC 的面积为 8 且 sinB= ，求 BC 边上的中线长18 （12 分）在如图所示的四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为正方形，PACD，BC平面 PAB，且E，M，N 分别为 PD，CD ，AD 的中点， =3 （1）证明：PB平面 FMN；（2）若 PA=AB，求
6、二面角 EACB 的余弦值19 （12 分）某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为 100 位顾客准备泡茶工具所需的时间（t） ，结果如下：类别 铁观音 龙井 金骏眉 大红袍顾客数（人） 20 30 40 10时间 t（分钟/人） 2 3 4 6注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率（1）求服务员恰好在第 6 分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；（2）用 X 表示至第 4 分钟末已准备好了工具的顾客人数，求 X 的分布列及数学期望20 （12 分）如图，椭圆 =1（ab0）的左、右顶点分别为 A，B，焦距为 2 ，直
7、线 x=a 与y=b 交于点 D，且 |BD|=3 ，过点 B 作直线 l 交直线 x=a 于点 M，交椭圆于另一点 P（1）求椭圆的方程；（2）证明： 为定值21 （12 分）已知函数 f（x） =lnxa（x 1） ，g（x）=e x（1）当 a=2 时，求函数 f（x ）的最值；（2）当 a0 时，过原点分别作曲线 y=f（x）与 y=g（x）的切线 l1，l 2，已知两切线的斜率互为倒数，证明： a 选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，A，B，C，D 四点在同一圆上，BC 与 AD 的延长线交于点 E，点 F 在 BA 的延长线上（1）若 = ， =1，求 的值；（2）若
8、 EF2=FAFB，证明：EF CD选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 23在极坐标系中，圆 C 的方程为 =2acos（a0） ，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）求圆 C 的直角坐标方程（化为标准方程）和直线 l 的极坐标方程；（2）若直线 l 与圆 C 只有一个公共点，且 a1，求 a 的值选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x）=|3x 1|+ax+3，aR（1）若 a=1，解不等式 f（x ）4；（2）若函数 f（x）有最小值，求 a 的取值范围2016 年吉林省白山市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解
9、析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （5 分） （2016 白山四模）若集合 A=xN|1x5， B=y|y=4x，xA，则（ ）AAB=1，2，3 BA=B CAB=1，2，3 DBA【分析】列举出 A 中的元素确定出 A，把 A 中的元素代入 y=4x 确定出 B，找出两集合的交集、并集，即可作出判断【解答】解：A=xN| 1x5=0，1，2，3，4，B=y|y=4x，x A=4，3，2，1，0，A=B，AB=A B=0，1，2，3，4，故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的
10、关键2 （5 分） （2016 白山四模）复数 z 满足 =2i，则 z 平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】由 =2i，得 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，求出 z 在复平面内对应的点的坐标，则答案可求【解答】解： =2i， = ，z 在复平面内对应的点为：（ ， ） ，位于第一象限故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分） （2016 白山四模） “2x2”是“lgx 1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等
11、价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可【解答】解：由“2 x2” 得 x1，由“lgx 1”得 x ，则“2 x 2”是“lgx1” 充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键4 （5 分） （2007 福建）已知函数 f（x）=sin（x+ ） （0）的最小正周期为 ，则该函数的图象（ ）A关于直线 x= 对称 B关于点（ ，0）对称C关于直线 x= 对称 D关于点（ ，0）对称【分析】由题意可得：T= =，可求得 =2，于是 f（ x）=sin （2x+ ） ，对 A、B、C、D 逐个代入验证即可【解
12、答】解：T= =，=2 ，于是 f（x）=sin（2x+ ） ，f（x）在对称轴上取到最值，f（ ）=sin1，故 A 不对；f（ ）=sin01，故 C 不对；又f（x）=sin（2x+ ）的对称中心的横坐标由 2x+ =k 得：x= ，当 k=1 时，x= ，（ ，0）为其一个对称中心故选 B【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，着重考查正弦函数的对称性，作为选择题，排除法是常用方法，属于中档题5 （5 分） （2016 白山四模）若双曲线 C：mx 2+y2=1 的离心率为 2k（k0） ，其中 k 为双曲线 C 的一条渐近线的斜率，则 m 的值为（ ）A B C 3 D【分析】双曲
13、线 C：mx 2+y2=1 可化为 y2 =1，利用双曲线 C：mx 2+y2=1 的离心率为 2k（k0） ，其中k 为双曲线 C 的一条渐近线的斜率，建立方程，即可求出 m 的值【解答】解：双曲线 C：mx 2+y2=1 可化为 y2 =1，a=1，b= ，c= ，双曲线 C：mx 2+y2=1 的离心率为 2k（k0） ，其中 k 为双曲线 C 的一条渐近线的斜率， =2 ，m=3故选：C【点评】本题给出一个含有字母参数的双曲线的标准方程，在已知其离心率的情况下求参数的值，着重考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题6 （5 分） （2016 白山四模）一直三棱柱的每条棱长都是 3，且每个
14、顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ）A21 B24 C28 D36【分析】正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，所以，r= = ，球的表面积为：4r 2=4（ ） 2=21故选：A【点评】本题是基础题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，明确球心、球的半径与正三棱柱的关系是本题解决的关键7 （5 分） （2016 白山四模）若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 Nn（mod m） ，例如104（mod
15、6） 下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理） ，执行该程序框图，则输出的 n 等于（ ）A17 B16 C15 D13【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被 3 除余 2，被 5 除余 2，即被 15 除余 2，最小两位数，故输出的 n 为 17，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答8 （5 分） （2016 白山四模）已知数
16、列a n中，a 1=2， =3，若 an100，则 n 的最大值为（ ）A4 B5 C6 D7【分析】 =3，可得数列a n1是公比为 3，首项为 1 的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解： =3，数列a n1是公比为 3，首项为 1 的等比数列，a n=3n1+1，a 5=82，a 6=244，a n100，则 n 的最大值为 5故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式、递推关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9 （5 分） （2016 白山四模） （x+ 4y） 7 的展开式中不含 x 的项的系数之和为（ ）AC 73C434347 B C72C4243+47
17、C 47 D4 7【分析】根据二项式（x+ 4y） 7 的展开式的第 r+1 项为 Tr+1= （4y） r，可得不含 x的项的系数之和【解答】解：二项式（x+ 4y） 7 的展开式的第 r+1 项为 Tr+1= （4y） r，对于 ，它的通项公式为 Tk+1= ，0k7r，k、r 均为自然数，令 7r =0，求得 k=0、r=7，或 k=3、r=3，则不含 x 的项的系数之和为4 7+ （4） 3=C73C424347 ，故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题10 （5 分） （2016 白山四模）设 a0，且 x，y 满足约束条件
18、，若 z=x+y 的最大值为 7，则 的最大值为（ ）A B C D【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，利用 z=x+y 的最大值为 7，推出直线 x+y=7 与 x+4y16=0 的交点 A 必在可行域的边缘顶点，得到 a，利用所求的表达式的几何意义，可得 的最大值【解答】解：作出不等式组约束条件 表示的平面区域，直线 x+y=7 与 x+4y16=0 的交点A 必在可行域的边缘顶点 解得 ，即 A（4，3）在 3axy9=0 上，可得 12a39=0，解得 a=1的几何意义是可行域的点与（3，0）连线的斜率，由可行域可知（ 3，0）与 B 连线的斜率最大，由 可得 B（ 1， ） ，
19、的最大值为： = 故选：D【点评】本题给出二元一次不等式组，求在已知目标函数的最大值为 1 的情况下求 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题考查分析问题解决问题的能力11 （5 分） （2016 白山四模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A +8 B24+8 C16+8 D8+16【分析】由已知中的三视图，可知该几何体为组合体：上面是一个长方体和一个四棱锥，下面是圆柱的一半，求其体积等于半圆柱加长方体加四棱锥体积【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体为组合体：上面是一个长方体和一个四棱锥，下面是圆柱的一半， （如图所示）求其
20、体积等于半圆柱加长方体加四棱锥体积即 V=V 长 +V 锥+ V 圆=故选 A【点评】本题考查了对三视图投影的认识和理解和基本几何体的体积的求法，解决本题的关键是得到该几何体的形状属于中档题12 （5 分） （2016 白山四模）设函数 y=ax2 与函数 y=| |的图象恰有 3 个不同的交点，则实数 a 的取值范围为（ ）A （ e， ） B （ e，0） （0， e） C （0， e） D （ ，1） e【分析】令 ax2=| |得 a2x3=|lnx+1|，作出 y=a2x3 和 y=|lnx+1|的函数图象，利用导数知识求出两函数图象相切时对应的 a0，则 0aa 0【解答】解：令 ax2=| |得 a2x3=|lnx+1|，显然 a0，x0作出 y=a2x3 和 y=|lnx+1|的函数图象，如图所示：
