1、2016 年全国百所名校高考数学模拟示范卷（理科） （4）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x| 0，B=1，0，1，2，3，则 AB 等于（ ）A1， 0，1 B1，2， 3 C0，1，2 D1，2，3，42 （5 分）复数 z= （其中 i 为虚数单位）的虚部为（ ）A B C i D3 （5 分）命题“x 0R， 1”的否定为（ ）Ax 0R， 1 Bx 0R， 1Cx R， 1 Dx R， 14 （5 分）已知椭圆 + =1（b0）与椭圆 + =1 有相同的焦点，则实数 b
2、的值为（ ）A2 B3 C2 D45 （5 分）某公司为了了解某设备的使用年限与所支出的维修费用之间的关系，统计了 5 组数据如表所示：使用年限 x（年） 2 3 4 5 6维修费用 y（万元） 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0根据上表可求得回归直线方程为 = x+ ，其中 =1.23， = ，据此估计，该设备使用年限为 10年时所支出的维修费用为（ ）A11.38 万元 B12.38 万元 C13.38 万元 D14.38 万元6 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A10 B24 C44 D707 （5 分）已知 a= （xx 2）dx，则二项式（x 2 ） 6
3、展开式中含 x3 的项的系数为（ ）A160 B160 C20 D208 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A9 B C6 D129 （5 分）设函数 f（x）= sin（x+）+cos（x+ ） （0，| ）的最小正周期为 2，且其图象关于 y 轴对称，则（ ）Af（x）在（0， ）上单调递增 Bf（x）在（ ， ）上单调递减Cf（x）在（0， ）上单调递减 Df （x）在（ ， ）上单调递增10 （5 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，H 分别是棱 A1B1，D 1C1 上的动点（点 E 与 B1 不重合） ，且 EHA 1D1，过 EH 的动平面与
4、棱 BB1，CC 1 相交，交点分别为 F，G 设AB=2AA1=2a， B1E+B1F=2a在长方体 ABCDA1B1C1D1 内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFED1DCGH 内的概率的最小值为（ ）A B C D11 （5 分）已知双曲线 =1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，过 F2 的直线与该双曲线的右支交于 A、B两点，若ABF 1 的周长为 30，则点 F1 与以 AB 为直径的圆的位置关系为（ ）A在圆外 B在圆上 C在圆内 D无法确定12 （5 分）已知定义在（0，+）上的函数 f（x）满足 f（x）=f（ ） ，当 x（0，1时，f （x）= lnx，若曲线 g
5、（x）=f（x）2ax 在（0，e 2（其中 e 是自然对数的底数）内的图象与 x 轴有 3 个交点，则实数 a 的取值范围为（ ）A （ ， ） B （ ， C ， ） D ， ）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知向量 =（2，4） ， =（a，1） （a R）相互垂直，则| + |的值为 14 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，若 z= ，则 z 的最大值为 15 （5 分） （2014 秋 河南期末）正三角形 ABC 的边长为 4，将它沿高 AD 翻折，使得点 B 与点 C 的距离为 2，此时四面体 ABCD 的外接球的表面积为 16
6、 （5 分）已知ABC 的内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a+c=2b，且 AC= ，则 sinB 的值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知数列a n满足 3an+1+anan+1=3an，a 1=3（1）求证：数列 是等差数列；（2）设 bn=anan+1，求数列b n的前 n 项和 Sn18 （12 分）某市一重点中学在 2015 年高考体检中，有 5 位同学的身高依次为 150，155，x，174，182，单位：cm已知这 5 位同学的身高的中位数为 164（1）求 x 及这 5 位同学的身
7、高的平均数；（2）从以上的 5 位同学中随机地选 2 位同学，记他们的身高之差为 a（a0） ，用M表示大于或等于M 的最小整数，如：0.8=1，2=2，2.1=3 ，令 X= ，求 X 的分布列和数学期望19 （12 分）如图，四棱锥 SABCD 底面是正方形，SD平面 ABCD，SD=AD=2，点 E 是 SD 的中点，F是 BC 线段上的点，O 是 AC 与 BD 的交点（）求证：OE平面 SBC；（）若直线 SF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求二面角 COEF 的大小20 （12 分）已知抛物线 y2=2px（p0）的准线与 x 轴交于点 N，过点 N 作圆 M：（x2） 2
8、+y2=1 的两条切线，切点为 P、Q，且|PQ|= （1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点 F 作斜率为 k1 的直线与抛物线交于 A、B 两点，A、B 两点的横坐标均不为 2，连接AM，BM 并延长分别交抛物线于 C、D 两点，设直线 CD 的斜率为 k2，问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由21 （12 分）已知函数 f（x） =lnx1+ （1）求 f（x）的单调区间；（2）对任意 x（0，1）（1，e） （其中 e 为自然对数的底数） ，都有 1（a0）恒成立，求正数a 的取值范围请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修
9、4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，圆 M 与圆 N 交于 A、B 两点，以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M 和圆 N 于 C，D两点，延长 DB 交圆 M 于点 E，延长 CB 交圆 N 于点 F（1）求证：ABCDBA；（2）求证：CF=DE选修 4-4：坐标系与参数方程 23已知曲线 C1： （t 为参数） ，C 2： （s 为参数） （1）化 C1，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）曲线 C2 交曲线 C1 于 A，B 两点，求|AB|选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x）=|4x 1|+|xm|（1）若 m=2，解不等式 f（x）12；（2
10、）若 f（x）+3|xm|8 对一切实数 x 均成立，求实数 m 的取值范围2016 年全国百所名校高考数学模拟示范卷（理科） （4）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x| 0，B=1，0，1，2，3，则 AB 等于（ ）A1， 0，1 B1，2， 3 C0，1，2 D1，2，3，4【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：由 A 中不等式变形得：（ x2） （x+1）0，且 x+10，解得：1x 2，即 A=（1， 2，B
11、= 1，0，1，2，3，AB=0，1，2，故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分）复数 z= （其中 i 为虚数单位）的虚部为（ ）A B C i D【分析】利用复数的除法运算法则化简复数为 a+bi 的形式，即可得到结果【解答】解：复数 z= = = = 复数 z= （其中 i 为虚数单位）的虚部为： 故选：D【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的基本概念的应用，是基础题3 （5 分）命题“x 0R， 1”的否定为（ ）Ax 0R， 1 Bx 0R， 1Cx R， 1 Dx R， 1【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解
12、答】解：因为特称命题的否定是全称命题所以命题“x 0R， 1”的否定为 xR， 1故选：C【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题4 （5 分）已知椭圆 + =1（b0）与椭圆 + =1 有相同的焦点，则实数 b 的值为（ ）A2 B3 C2 D4【分析】利用椭圆的性质求解【解答】解：椭圆 + =1（b0）与椭圆 + =1 有相同的焦点，16b 2=95，解得 b2=12，b=2 故选：C【点评】本题考查椭圆中的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用5 （5 分）某公司为了了解某设备的使用年限与所支出的维修费用之间的关系，统计了 5 组数据如
13、表所示：使用年限 x（年） 2 3 4 5 6维修费用 y（万元） 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0根据上表可求得回归直线方程为 = x+ ，其中 =1.23， = ，据此估计，该设备使用年限为 10年时所支出的维修费用为（ ）A11.38 万元 B12.38 万元 C13.38 万元 D14.38 万元【分析】根据所给的数据，做出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，根据线性回归方程一定过样本中心点，求出 a，x=10 代入回归直线方程，得到结果【解答】解： =4， =5，这组数据的样本中心点是（4，5）代入回归直线方程得 5=1.234+a，a=0.08，y=1.23x+0.08，x=
14、10 时，y=12.38 万元故选：B【点评】本题考查线性回归方程，是一个基础题，题目中的运算量很小，若出现一定是一个送分题目，注意平均数不要出错6 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A10 B24 C44 D70【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序是累加求和的循环运算，当 i12 时，终止程序，计算输出 S 的值即可【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；i=1，S=0，S=0+21=2 ，i=1+3=4 ；i12，S=2+24=10 ，i=4 +3=7；i12，S=10+27=24 ，i=7 +3=10；i12，S=24+2100=44 ，i=10+3=13；
15、i12，终止程序，输出 S 的值为 44故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目7 （5 分）已知 a= （xx 2）dx，则二项式（x 2 ） 6 展开式中含 x3 的项的系数为（ ）A160 B160 C20 D20【分析】求定积分可得 a 的值，求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 3，求得 r 的值，即可求得展开式中的 x 的系数【解答】解：a= （xx 2） dx=（ x2 x3）| = = ，则二项式（x 2 ） 6 展开式的通项公式 C6r（2） rx123r，令 123r=3，解的 r=3，则展开式中含 x3 的项的系数
16、为 C63（ 2） 3=160，故选：B【点评】本题主要考查求定积分，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A9 B C6 D12【分析】由三视图可知几何体为圆柱的一部分，底面扇形圆心角为 60【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱的 ，圆柱的底面半径为 3，高为 6所以几何体的体积为 =9故选 A【点评】本题考查了圆柱的三视图和结构特征，体积计算，属于基础题9 （5 分）设函数 f（x）= sin（x+）+cos（x+ ） （0，| ）的最小正周期为 2，且其图象关于 y 轴对称，则（ ）Af（x）在
17、（0， ）上单调递增 Bf（x）在（ ， ）上单调递减Cf（x）在（0， ）上单调递减 Df （x）在（ ， ）上单调递增【分析】由辅助角公式将 f（ x）=2sin（x+ ） ，由最小正周期 2，=1，关于 y 为对称轴，求得 ，利用余弦函数图象即可求得答案【解答】解：f（x）= sin（x+）+cos（x+ ）=2sin （ x+ ） ，最小正周期 T= =2，=1 ，图象关于 y 轴对称，+ =k+ ，= ，f（x）=2cosx，由函数图象可知：故答案：C【点评】本题考查三角恒等变换及函数图象，根据函数图象求函数的单调性，属于基础题10 （5 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1
18、 中，E，H 分别是棱 A1B1，D 1C1 上的动点（点 E 与 B1 不重合） ，且 EHA 1D1，过 EH 的动平面与棱 BB1，CC 1 相交，交点分别为 F，G 设AB=2AA1=2a， B1E+B1F=2a在长方体 ABCDA1B1C1D1 内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFED1DCGH 内的概率的最小值为（ ）A B C D【分析】求出对应区域的体积，利用几何概型的概率公式即可得到该点取自于几何体 A1ABFED1DCGH 内的概率的最小值【解答】解：EHA 1D1，过 EH 的平面与棱 BB1，CC 1 相交，交点分别为 F，G FGEH，即几何体 B1FEC1G
19、H 是三棱柱由题意，B 1E+B1F=2a2 ，B 1EB1Fa 2，当且仅当 B1E=B1F=a 时，取等号，三角形的面积取得最大值三棱柱 B1FEC1GH 的体积最大值 V= = B1C1，长方体的体积 V=2aaB1C1=2a2B1C1，则几何体 A1ABFED1DCGH 的体积最小值 V1=2a2B1C1 a2B1C1= a2B1C1，则根据几何概型的概率公式可得在长方体 ABCDA1B1C1D1 内随机选取一点，则该点取自于几何体 A1ABFED1DCGH 内的概率的最小值 P= ，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算以及空间几何体的体积计算，根据条件求出对应的几何体的体积
20、是解决本题的关键11 （5 分）已知双曲线 =1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，过 F2 的直线与该双曲线的右支交于 A、B两点，若ABF 1 的周长为 30，则点 F1 与以 AB 为直径的圆的位置关系为（ ）A在圆外 B在圆上 C在圆内 D无法确定【分析】求得双曲线的 a，b，c，设|AF 2|=m，|BF 2|=n，运用双曲线的定义求得|AF 1|，|BF 1|，由题意可得|AB|=11，考虑双曲线的垂直于 x 轴的弦的长度，比较 AB 的中点与点 F1 的距离与 AB 的一半的大小关系，即可得到结论【解答】解：双曲线 =1 的 a=2，b=3，c= ，设|AF 2|=m，|BF 2
21、|=n，由双曲线的定义可得|AF 1|=2a+m=4+m，|BF 1|=2a+n=4+n，由题意可得ABF 1 的周长为|AF 1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=30，即有 8+2（m+n）=30 ，即为 m+n=11，即|AB |=11，又 x=c= ，解得 y=3 = ，即有过 F2 垂直于 x 轴的弦长为 9，则 F1 到 AB 的中点的距离 d2c=2 ，可得点 F1 与以 AB 为直径的圆的位置关系为在圆外故选：A【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用和点与圆的位置关系的判断，考查运算求解能力，属于中档题12 （5 分）已知定义在（0，+）上的函数 f
22、（x）满足 f（x）=f（ ） ，当 x（0，1时，f （x）= lnx，若曲线 g（x）=f（x）2ax 在（0，e 2（其中 e 是自然对数的底数）内的图象与 x 轴有 3 个交点，则实数 a 的取值范围为（ ）A （ ， ） B （ ， C ， ） D ， ）【分析】由题意先求出设 x1，+ ）上的解析式，再用分段函数表示出函数 f（x） ，根据对数函数的图象画出函数 f（x）的图象，根据图象求出函数 g（x）=f（x ）2ax 与 x 轴有 3 个交点时实数 a 的取值范围【解答】解：设 x1，+） ，则 （0，1，因为当 x（0，1时，f（x）=lnx，所以 f（x）=f（ ）= ln =lnx，则 f（x）= ，在坐标系中画出函数 f（x）的图象如图：因为曲线 g（x）=f（x）2ax 在（0，e 2（其中 e 是自然对数的底数）内的图象与 x 轴有 3 个交点，所以直线 y=ax 与函数 f（x）的图象有 3 个交点，所以 y=ax 与 y=lnx，在（1， e2上有 2 个交点，因为 f（x）=lnx，则 f（x）= ，设切点为（x 0，y 0） ，
