1、2016 年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）一、填空题1函数 的定义域是_2已知线性方程组的增广矩阵为 ，若该线性方程组的解为 ，则实数a=_3计算 =_4若向量 ， 满足 且 与 的夹角为 ，则 =_5若复数 z1=3+4i，z 2=12i，其中 i 是虚数单位，则复数 的虚部为_6在 的展开式中，常数项是_ （用数字作答）7已知ABC 的内角 A、B、C 所对应边的长度分别为 a、b、c，若 ，则角 C 的大小是_8已知等比数列a n的各项均为正数，且满足：a 1a7=4，则数列 log2an的前 7 项之和为_9在极坐标系中曲线 C：=2cos 上的点到（1，）距离的最大值为_10袋
2、中有 5 只大小相同的乒乓球，编号为 1 至 5，从袋中随机抽取 3 只，若以 表示取到球中的最大号码，则 的数学期望是_11已知双曲线 的右焦点为 F，过点 F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 P，M 在直线 PF 上，且满足 ，则 =_12现有 5 位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有_ （用数字作答）13若关于 x 的方程（4x+ ）|5x |=m 在（0，+）内恰有三个相异实根，则实数 m 的取值范围为_14课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法祖暅原理也可用来求旋转体的体积现介绍祖暅原
3、理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图 1） ，即可求得球的体积公式请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为 ，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图 2） ，其体积等于_二、选择题15下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+）上递增的是（ ）Ay=2 |x|By=lnx C D16已知直线 l 的倾斜角为 ，斜率为 k，则“ ”是“ ”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件17
4、设 x，y，z 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）A BC D|xy|xz|+|y z|18已知命题：“若 a，b 为异面直线，平面 过直线 a 且与直线 b 平行，则直线 b 与平面 的距离等于异面直线 a，b 之间的距离”为真命题根据上述命题，若 a，b 为异面直线，且它们之间的距离为 d，则空间中与 a，b 均异面且距离也均为 d 的直线 c 的条数为（ ）A0 条 B1 条C多于 1 条，但为有限条 D无数多条三、解答题19如图，底面是直角三角形的直三棱柱 ABCA1B1C1 中， ，D 是棱AA1 上的动点（1）证明：DC 1BC；（2）求三棱锥 CBDC1 的体积20
5、某菜农有两段总长度为 20 米的篱笆 PA 及 PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON 围成一个如图所示的四边形菜园 OAPB（假设 OM、ON 这两面墙都足够长） 已知|PA|=|PB |=10（米） ， ，OAP=OBP设OAP= ，四边形OAPB 的面积为 S（1）将 S 表示为 的函数，并写出自变量 的取值范围；（2）求出 S 的最大值，并指出此时所对应 的值21已知函数 ，其中 aR（1）根据 a 的不同取值，讨论 f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知 a0，函数 f（x）的反函数为 f1（x） ，若函数 y=f（x）+f 1（x）在区间1，2上的最小值为 1+log23，
6、求函数 f（x）在区间1，2上的最大值22已知椭圆 C： 的焦距为 ，且右焦点 F 与短轴的两个端点组成一个正三角形若直线 l 与椭圆 C 交于 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，且在椭圆 C 上存在点M，使得： （其中 O 为坐标原点） ，则称直线 l 具有性质 H（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 l 垂直于 x 轴，且具有性质 H，求直线 l 的方程；（3）求证：在椭圆 C 上不存在三个不同的点 P、Q、R，使得直线 PQ、QR、RP 都具有性质 H23已知数列a n和b n满足： ，且对一切nN*，均有 （1）求证：数列 为等差数列，并求数列a n的通项公式；（2）若
7、 =2，求数列b n的前 n 项和 Sn；（3）设 ，记数列c n的前 n 项和为 Tn，问：是否存在正整数 ，对一切 nN*，均有 T4T n 恒成立若存在，求出所有正整数 的值；若不存在，请说明理由2016 年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1函数 的定义域是 x|x2 且 x1 【考点】函数的定义域及其求法【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示【解答】解：由题意，要使函数有意义，则 ，解得，x1 且 x2；故函数的定义域为：x|x2 且 x1，故答案为：x|x2 且 x1 2已知线性方程组的增广矩阵
8、为 ，若该线性方程组的解为 ，则实数a= 2 【考点】线性方程组解的存在性，唯一性【分析】由已知得 ，把 x=1，y=2，能求出 a 的值【解答】解：线性方程组的增广矩阵为 ，该线性方程组的解为 ， ，把 x=1， y=2，代入得a +6=4，解得 a=2故答案为：23计算 = 【考点】数列的极限【分析】将 1+2+3+n= 的形式，在利用洛必达法则，求极限值【解答】解：原式= = = =故答案为：4若向量 ， 满足 且 与 的夹角为 ，则 = 【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据 可得答案【解答】解： 且 与 的夹角为 =7则 =故答案为：5若复数 z1=3+4i，z 2=12i，其中
9、i 是虚数单位，则复数 的虚部为 3 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z 1=3+4i，z 2=12i， ， ， = = ，复数 的虚部为3 故答案为：36在 的展开式中，常数项是 15 （用数字作答）【考点】二项式系数的性质【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项【解答】解：在 的展开式的通项公式为 Tr+1= （1） r ，令 r6=0，求得 r=4，故 的展开式中的常数项是 5故答案为：157已知ABC 的内角 A、B、C 所对应边的长度分别为 a、b、c，若 ，
10、则角 C 的大小是 【考点】二阶行列式的定义【分析】由二阶行列式性质得 a2+b2c2=ab，由此利用余弦定理求出 cosC= ，从而能求出角 C 的大小【解答】解：ABC 的内角 A、B 、C 所对应边的长度分别为 a、b、c，a 2c2=b2+ab，即 a2+b2c2=ab，cosC= = = ，C 是ABC 的内角，C= 故答案为： 8已知等比数列a n的各项均为正数，且满足：a 1a7=4，则数列 log2an的前 7 项之和为 7 【考点】等比数列的性质【分析】由等比数列的性质可得：a 1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出【解答】解：由等比数列的性质可得
11、：a 1a7=a2a6=a3a5=4=4，数列log 2an的前 7 项和=log 2a1+log2a2+log2a7=log2（a 1a2a7）=log 227=7，故答案为：79在极坐标系中曲线 C：=2cos 上的点到（1，）距离的最大值为 3 【考点】参数方程化成普通方程【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到点（1，）的距离，进而得出最大值【解答】解：曲线 C：=2cos 即 2=2cos，化为直角坐标方程： x2+y2=2x，配方为：（x1 ） 2+y2=1，可得圆心 C（1，0） ，半径 r=1点 P（1，）化为直角坐标 P（1，0） |CP| =2，曲线 C： =2co
12、s 上的点到（ 1，）距离的最大值=2 +1=3故答案为：310袋中有 5 只大小相同的乒乓球，编号为 1 至 5，从袋中随机抽取 3 只，若以 表示取到球中的最大号码，则 的数学期望是 【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由已知得 的可能取值为 3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出 E（） 【解答】解：由已知得 的可能取值为 3，4，5，P（=3）= = ，P（=4）= = ，P（=5）= = ，E（）= = 故答案为： 11已知双曲线 的右焦点为 F，过点 F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 P，M 在直线 PF 上，且满足 ，则 = 【考点】双曲线的简单性质【
13、分析】求得双曲线的 a，b，c，可得 F（ ，0） ，渐近线方程为 y=2x，设过点 F 且平行于双曲线的一条渐近线为 y=2（x ） ，代入双曲线的方程可得 P 的坐标，由两直线垂直的条件可得直线 OM 的方程，联立直线y=2（x ） ，求得 M 的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求值【解答】解：双曲线 的 a=1，b=2，c= = ，可得 F（ ，0） ，渐近线方程为 y=2x，设过点 F 且平行于双曲线的一条渐近线为 y=2（x ） ，代入双曲线的方程，可得 x= ，可得 P（ ， ） ，由直线 OM：y= x 和直线 y=2（x ） ，可得 M（ ， ） ，即有 = = 故答
14、案为： 12现有 5 位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有 54 （用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据题意，采用分类原理，对甲，乙老师分当甲，乙带不同班和当甲，乙带相同班时分别求解，最后求和即可【解答】解：当甲，乙带不同班时： =36 种；当甲，乙带相同班时，=18 种；故共有 54 中，故答案为：5413若关于 x 的方程（4x+ ）|5x |=m 在（0，+）内恰有三个相异实根，则实数 m 的取值范围为 （6， ） 【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式
15、确定各自方程的根的个数，从而解得【解答】解：当 x 时，5x 0，方程（4x+ ）|5x |=m，（4x+ ）（ 5x ）=m，即x+ =m；m 当 0x 时，5x 0，方程（4x+ ）|5x |=m，（4x+ ）+（5x ）=m ，即 9x+ =m；9x+ 6；当 m6 时，方程 9x+ =m 无解；当 m=6 时，方程 9x+ =m 有且只有一个解；当 6m10 时，方程 9x+ =m 在（0，1）上有两个解；当 m=10 时，方程 9x+ =m 的解为 1， ；综上所述，实数 m 的取值范围为（ 6， ） 故答案为：（6， ） 14课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法祖暅原理也可用来求旋转体的体积现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图 1） ，即可求得球的体积公式请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为 ，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图 2） ，其体积等于
