1、-1-,线 性 代 数,-2-,代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。,例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。,线性关系问题简称线性问题。解线性方程组是最简单的线性问题。,-3-,线性代数作为独立的分支直到20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。,最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作九章算术方程章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上
2、相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。,随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在1819世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。,-4-,向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。,线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支。比如，“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。同时也是理
3、论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。,-5-,因此，线性代数在工程技术和国民经济的许多领域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。线性代数的计算方法是计算数学里一个很重要的内容。,-6-,1.1 若干典型问题,1.2 矩阵及其初等变换,1.3 解线性方程组的消元法,第一章,解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换,-7-,1 若干典型问题,线性方程组,它的解取决于系数,和常数项,故对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究。,引例1,-8-,引例2 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示的四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B。,四城市间
4、的航班图情况常用以下表格来表示:,1表示有航班,0表示没有航班,-9-,线性代数研究对象线性方程组,线性代数研究工具矩阵,线性代数研究方法矩阵的初等变换,-10-,1.1 若干典型问题,1.2 矩阵及其初等变换,1.3 解线性方程组的消元法,第一章,解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换,-11-,矩阵诞生于19世纪，晚于行列式约一百年。从表面上看，矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符号；但是，正是这种“结构好的语言的好处，它的简洁的记法常常是深奥理论的源泉。”(P.S.Laplace)进入20世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当成熟，作为研究课题已寿终正寝。随着电子计算机的发展，各种快速算法
5、相继涌现，矩阵数值分析快速发展，矩阵理论研究进入一个新的发展阶段。,2 矩阵及其初等变换,-12-,为表示它是一个 整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。,定义,-13-,(1) 11的矩阵就是一个数。,(2) 行数与列数都等于 n 的矩阵 A，称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵。,(3) 只有一行的矩阵,称为行矩阵或 n 维行向量。ai 称为A的第 i 个分量。,称为列矩阵或 m 维列向量。 ai 称为A的第 i 个分量。,(4) 只有一列的矩阵,-14-,(6) 矩阵,(约定未写出元素全为零),称为单位矩阵。,(7) 矩阵,称为对角矩阵。记作,-15-,定义,问： 与 相等吗？,-16-,称
6、矩阵的下面三种变换为初等行变换,(1) 交换矩阵的某两行，记为,(2) 以不等于的数乘矩阵的某一行，记为,类似定义三种初等列变换,以上六种变换统称为矩阵的初等变换,定义,-17-,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,初等列变换也有类似的结果,-18-,初等变换的作用？,定义,行阶梯形矩阵及行最简(阶梯)形矩阵(行最简,形就是所谓的最简单的“代表”) 书P5 定义4,行阶梯形矩阵,-19-,行最简阶梯形矩阵,（1）台阶左下方元素全为零；,（2）每个台阶上只有一行；,（3）每个台阶上第一个元素不为零。,行阶梯形矩阵：,行最简阶梯形,(1)(2)(3) + (4)台阶上的第一个元素为1,
7、且其所在列其它元素全为零。,-20-,-21-,-22-,(等价关系),定义,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作 。,等价满足： 自反性： (2) 对称性： (3) 传递性：,-23-,1.1 若干典型问题,1.2 矩阵及其初等变换,1.3 解线性方程组的消元法,第一章,解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换,-24-,3 解线性方程组的消元法,讨论有n个未知数m个方程的线性方程组, 是否有解？, 若有解，解是否唯一？, 如何求出所有的解？,-25-,若B=(b1, b2, bm)TO，则称(1)为非齐次线性方程组,若B=(b1, b2,， bm)TO，即：,则称(
8、2)为(1)对应的齐次线性方程组（或(1)的导出组）,-26-,系数矩阵,增广矩阵,-27-,解线性方程组,解,互换(1)与(2)的位置得,-28-,(2)-(1)2, (3)-(1)4,(3)-(2),-29-,(3) (-1/2),-30-,(2) (-1/3),(1)-(3)2，(2)+(3)2,-31-,所以，消元法,增广矩阵的初等行变换,消元过程就是增广矩阵化为行阶梯形矩阵，,回代过程就是继续化成行最简阶梯形的过程。,(1) (2),原方程组的解为：,-32-,解线性方程组,解：增广矩阵,-33-,即,则原方程组的解为,有何特点？,-34-,解：,同解方程组最后一个方程0= -2是矛盾方程，,所以方程组无解。,特点,-35-,求解齐次线性方程组,解,对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形:,-36-,写出等价方程组并移项:,有何特点？,-37-,令,写出参数形式的通解,通解,我们已经初步掌握了线性方程组的求解过程，比较上述三个例题，可得线性方程组解的简要判别，书P12-15，我们将在后面的章节中学习。,
