1、范例12.4 无限长通电螺线管磁场变化时的感生电场和电动势,(1)在半径为R的无限长螺线管内部的磁场B随时间作线性变化，dB/dt是大于零的常量，求管内外的感生电场E和环中的感生电动势。感生电场随两者之间距离的变化规律是什么？(2)如果用一根长为2L(L R)的导体棒跨接在管的两端，求两端的感生电动势。电动势随棒长变化的规律是什么？最大电动势是多少？,解析(1)法拉第电磁感应定律的积分形式为,如图所示，由于磁场的对称性，变化磁场所激发的感生电场的电场线在管内外都是与螺线管同轴的同心圆。,取一逆时针的电场线作为闭合回路，回路方向与电场强度的方向相同，因此,可得,根据右手螺旋法则，回路所包围面积的
2、方向垂直屏幕向外，dB/dt垂直屏幕向里，两者方向相反。,范例12.4 无限长通电螺线管磁场变化时的感生电场和电动势,当r R时，由于,可得感生电场,回路中的电动势为,可见：管内的感生电场强度与距离成正比，回路中电动势与包围的面积成正比。,当r R时，只有螺线管内有磁场，因此,可得感生电场,回路中的电动势为,可见：管外的感生电场强度与两者之间的距离成反比，回路中电动势为常量。,当rR时,管内外感生电场和电动势都连续。,螺线管内的感生电场强度随距离直线增加，螺线管外的感生电场强度随距离反比例地减小。,螺线管内环路中的感生电动势随距离的平方规律增加，螺线管外环路中的感生电动势是常量。,范例12.4
3、 无限长通电螺线管磁场变化时的感生电场和电动势,(2)如果用一根长为2L(L R)的导体棒跨接在管的两端，求两端的感生电动势。电动势随棒长变化的规律是什么？最大电动势是多少？,解析(2)如图所示，通过感生电场可求导体棒AC两端的感生电动势。,设AP长为s，在棒离圆心r处取一线元ds，感应电动势为,设棒到圆心O的距离为a，则a = rcos，于是得,AC两端的感生电动势为,范例12.4 无限长通电螺线管磁场变化时的感生电场和电动势,直接根据电场感应定律也可求AC两端的感生电动势。,在三角形OAC中，OA和OC与场强方向垂直，感应电动势为零。所以棒两端的感应电动势为,根据环路定理可得,AC两端的感生电动势与棒的位置有关，也就是与长度L有关，对L求导得,令dAC/dL = 0，得,这时，棒与半径的夹角是45，OAC的面积最大，感生电动势也最大，最大值为,导体棒跨接在线圈两端的感生电动势随棒的长度先增加后减小。,当棒太长或太短时，棒与两个半径围成的三角形面积小，所以电动势小；当三角形变成直角三角形时，面积最大，因而电动势最大。,
