1、高等流体力学,7 Navier-Stokes 方程的解 (第3部分),7.6 缓慢流动,只有在一些特殊的流动条件下，才能在定解条件下求得N-S方程的精确解。除了N-S方程的精确解外，在流体力学的发展过程中，人们曾不断地寻求N-S方程的近似解。这些近似求解有：,7.6 缓慢流动,小Re数条件下的近似解： 全部略去惯性项，全部保留粘性项； 全部略去惯性项，部分略去粘性项； 部分略去惯性项，全部保留粘性项。大Re数条件下的近似解，如边界层的近似计算，将在第6章讲述。,7.6.1 Stokes流动,这是在N-S方程中全部略去惯性项(即非线性项)的流动问题。 当流体质点流动的流线(在定常流动时，与迹线重
2、合)形状是直线(或同心圆)时，N-S方程中的惯性项(指位变惯性项)全部消失。如果不可压缩流体流动的流线形状与直线相差很小(或与同心圆周相差很小)时，则位变惯性项也很小，在近似处理时可以把它全部略去。,7.6.1 Stokes流动,可以认为，由于惯性力与速度平方成比例，而粘性力与速度的一次方成比例，当流速很小时，粘性力在合外力中占主导地位，而且粘性力比惯性力大得多(即Re1)，近似处理时可将惯性力全部略去。这种Re1的流动在流体力学中通常称为缓慢流动或蠕动。,7.6.1 Stokes流动,略去惯性项的N-S方程通常称为Stokes近似方程。在直角坐标系中，有,7.6.1 Stokes流动,对N-
3、S方程式分别求x、y、z的偏导数，得三式相加，得,7.6.1 Stokes流动,由于 所以 当忽略质量力的作用或者质量力可视作常数(如重力场中，fxfy0，fz-g)时，有 因此，缓慢流动中的压强p(x,y,z)是调和函数。 在给定边界条件时，由上述方程，可以求得流动的压强场，进而由Stokes近似方程求出速度场。,7.6.1 Stokes流动,现按照Stokes近似方程探讨球的缓慢运动问题物体在流体中作等速直线运动引起的流体运动，如果相对于固定在物体上的坐标系来说，则流体运动是定常的，在求解这类流动问题时，往往采用固定在物体上的坐标系来进行研究。这样就把物体在静止流体中作等速直线运动的问题化
4、为无界流体对静止物体的定常绕流问题，而这无界流体的自由来流速度与物体的运动速度大小相同，方向相反。以下即用物体的绕流问题来研究球的缓慢运动。,7.6.1 Stokes流动,设有半径为r0的物体，在充满不可压缩粘性流体的无界空间中以缓慢的速度U0作等速运动。由于球体半径r0甚小，运动速度也甚小，而运动粘性系数较大，因此Red0=U0d0/很小。Stokes认为，在小Re数的情况下，惯性力与粘性力相比有可能完全略去；此外，他假定绕流中不发生分离现象，且忽略质量力，又考虑到运动的轴对称性，即流动与无关，如下图所示。,7.6.1 Stokes流动,7.6.1 Stokes流动,这样，球坐标下的连续方程
5、及N-S方程(Stokes近似方程)可简化成 (1)(2)(3),7.6.1 Stokes流动,方程组的边界条件为球面上(即rr0)：ur0，u0 无穷远处(即r)：即urU0cos，u-U0sin，pp0 采用分离变量法求解上述方程组。,7.6.1 Stokes流动,由于流动的轴对称性，ur(r,)，u(r,)，所以假设方程组的解具有如下形式，以便于分离变量。(4) 将此形式的解代入方程组，先求出f1(r)、f2(r)及f3(r)，再获得ur(r,)、u(r,)及p(r,)的具体表达式。,7.6.1 Stokes流动,7.6.1 Stokes流动,代入连续方程及N-S方程，得,7.6.1 S
6、tokes流动,即 (5)(6)(7) 根据待求方程组的边界条件，有 (8),7.6.1 Stokes流动,由连续方程(5)，得(9)(10)(11) 将式(9)、(10)及(11)代入式(7)，得 (12)(13),7.6.1 Stokes流动,将式(9)及(13)代入式(6)，得 即 (14)这是一个四阶Euler型常微分方程，如取其解的形式为f1(r)r k，则,7.6.1 Stokes流动,将此关系式代入四阶常微分方程式(14)，得由于对任意的r，r k1 0，所以解得,7.6.1 Stokes流动,函数f1(r)的特解可取如下形式 f1(r)r 3； f1(r)r 1； f1(r)1
7、； f1(r)r 2 函数f1(r)的通解为 (15) 由式(9)及(12)，得(16)(17) A、B、C、D为任意常数，可以由边界条件来确定。,7.6.1 Stokes流动,由f1()U0，f2()U0，得CU0； D0 由f1(r0)0，f2(r0)0，得 即,7.6.1 Stokes流动,于是 (18)(19)(20),7.6.1 Stokes流动,速度与压力分布关系式为 (21)(22)(23)这是Stokes于1851年求得的结论，通常称为Stokes解。,7.6.1 Stokes流动,现根据Stokes解计算无界不可压缩粘性流体绕过小球流动时，流体对小球的作用力。根据运动相对性原
8、理，该作用力的大小等于小球在无界粘性流体中作匀速直线运动时的阻力。,7.6.1 Stokes流动,根据广义Newton粘性应力公式(广义Newton内摩擦定律)，应力分布为 (24)(25)(26)(27),7.6.1 Stokes流动,在球面上的应力 (28)(29)下图绘出了圆球上法向应力和切向应力的分布图。由图可知，流体动压力沿流动方向按余弦曲线连续地降低，而切向应力沿圆球表面不改变符号，并按正弦曲线规律变化，在/2处达到最大值。,圆球绕流时球表面的应力分布,7.6.1 Stokes流动,这些应力对应于流体对圆球的作用，它的合力即等于圆球在流体中以等速U0运动而方向和U0相反时，圆球所承
9、受的阻力。根据式(28)、(29)即可求得在z方向球所受到的合力(即球所受到的阻力)。法向应力在z方向的合力为,7.6.1 Stokes流动,切向应力在z方向的合力为 因此，圆球在粘性流体中作等速运动时的总阻力为 (30)此即为著名的小Re数圆球绕流阻力的Stokes公式。,7.6.1 Stokes流动,有时习惯于将圆球绕流阻力写成下列形式(31) 比较式(30)及(31)，有(32) 式中：Ad物体最大迎流面积，Add02/4；Re 物体绕流Reynolds数，ReU0d0/；CD 阻力系数。,7.6.1 Stokes流动,由式(30)可知，总阻力与流体粘性系数、圆球半径以及圆球运动速度的一
10、次方成正比。由于Stokes阻力公式是在Re1的前提下导出的，所以一般利用它计算雾滴、小雨点、粉尘等微小质点在流体中的沉降速度。下图为阻力系数CD随Re数变化的各种理论及实验曲线。,阻力系数CD随Re数变化的曲线,7.6.1 Stokes流动,Stokes阻力公式与实验结果的比较：在Re1时，两者差别较大，Stokes阻力公式不再适用；Stokes解只适用于圆球附近的流动区域内，在离球较远的流动区域，Stokes解不再适用。,7.6.1 Stokes流动,Stokes阻力公式的应用 考虑一密度为0半径为a的球形小颗粒，在密度为的流体中作自由下落运动。由于球形小颗粒自由下落到某个适当时候，它受到
11、的阻力正好与浮力和重力(浮重)相平衡，并以速度U作匀速下落运动，根据力平衡关系，有,7.6.1 Stokes流动,由此得到由上式可知，小球自由下落时，所达到的平衡速度U与小球半径a的平方成正比。常采用上式计算小水滴在空气中的自由下落速度。,7.6.1 Stokes流动,引入绕流Re数有或者,7.6.1 Stokes流动,将水滴密度01000kg/m3，空气密度1.23kg/m3，空气动力粘度1.77510-5Pas代入以上两式，得如果Re1，则应有小球半径a8.9210-5m，等速自由下落速度U0.09286m。由此可见，只有小雾滴才能使用Stokes阻力公式来计算其自由下落速度。,7.6.2
12、 Stokes流动解的修正,Stokes解只适用于Re1以及离球较远的流动区域，Stokes解不再适用。这可从惯性力与粘性力的数量级比较中得知，而惯性力与粘性力的数量级又可从Stokes解的结果中估计。为简便起见，在对称轴0上估算，另外，由于粘性力项的表达式比较复杂，而采用与其同数量级的压力项来估算。,7.6.2 Stokes流动解的修正,惯性力项粘性力项压力项,7.6.2 Stokes流动解的修正,所以由此看出，只有在圆球附近(即rr0时)，A才很小趋近于零，惯性力与粘性力相比可以忽略；在离开球面较远处，A就不趋向于零，惯性力不能忽略，这与原假设矛盾；而当r很大时，A(U0r)/(2)不仅不
13、是小量，而且是一个较大的量，此时更不能忽略惯性力项。,7.6.2 Stokes流动解的修正,有鉴于此，Oseen于1910年对Stokes求解进行了改进，在N-S方程中保留了部分惯性力项。考虑球的绕流，在无穷远处来流速度为U0，并且平行于ox轴，Oseen假设流场中速度分量由常数项和扰动项组成，即 uxU0ux， uyuy， uzuz 式中的ux、uy、uz与U0相比是小量。,7.6.2 Stokes流动解的修正,这样，N-S方程中的惯性力项为(忽略二阶及以上小量),7.6.2 Stokes流动解的修正,连续性方程及N-S方程可写成,7.6.2 Stokes流动解的修正,方程组的边界条件为 球
14、面上(即rr0)：ux0，uy0，uz0 无穷远处(即r)：ux0，uy0，uz0 上述方程组称为Oseen方程组。与Stokes方程组一样，也是线性的。,7.6.2 Stokes流动解的修正,在球坐标系(r,)下，考虑流动的对称性，u0，/0，在上述边界条件下求得方程组的解为,7.6.2 Stokes流动解的修正,式中：,7.6.2 Stokes流动解的修正,作用在圆球上的总阻力为 或者写成,7.6.2 Stokes流动解的修正,这就是圆球绕流问题的Oseen近似求解。Oseen近似解由于考虑了部分惯性力项，从物理概念上要比Stokes近似解更为严密。从两个近似解的流线形状看，球前部(上游)
15、的流动两者相似，在球后部，Oseen解的流速大于Stokes解。,7.6.2 Stokes流动解的修正,7.6.2 Stokes流动解的修正,Oseen近似解虽然作了改进，但对总阻力FD的计算结果(或阻力系数CD的计算结果)与实验结果相比，它并不比Stokes解好多少。原因在于Oseen解只改善了离球较远处的惯性力取舍，而总阻力或阻力系数主要取决于靠近球面的流动区域状况。,阻力系数CD随Re数变化的曲线,7.6.2 Stokes流动解的修正,由实验数据拟合得到的阻力系数经验公式为 此式可以用于实际中的圆球绕流阻力计算。,7.6.3 滑动轴承内润滑油的流动,这是一个全部略去惯性项、部分略去粘性项的低Re数流动求近似解的问题。,
