1、齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学 2018 年高考冲刺模拟试卷（一）数学（理科）试题命题：湖北随州一中(刘丽) 审题：山东临沂一中 山东临朐一中 山东沂水一中一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(原创，容易)已知全集 1=|0,A=2,45xUNCuA则 （ ）A.3 B.0，3，5 C.3，5 D.0，3答案D2.(原创，容易)已知 i 为虚数单位，现有下面四个命题p1：复数 z1=a+bi 与 z2=a+bi， （a，b R）在复平面内对应的点关于实轴对称；p2：若复数 z 满足(1- i)z=
2、1+i，则 z 为纯虚数；p3：若复数 z1，z 2 满意 z1z2 ，则 z2= 1；p4：若复数 z 满足 z2+1=0，则 zi.其中的真命题为（ ）A.p1，p 4 B.p2，p 4 C.p1，p 3 D.p2，p 3答案B3.(原创，容易)已知 2:,:,10aqxRaxpq是 假 命 题 ,则 是 的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A4.(原创，容易)在某次学科知识竞赛中（总分 100 分） ，若参赛学生成绩 服从 N（80， 2）( 0)，若在(70，90) 内的概率为 0.8，则落在90，100 内的概率为（ ）A.0.0
3、5 B.0.1 C.0.15 D.0.2答案B解析由题意可得 1(07)(90)(0.8)12Pp.考点正态分布.5.(原创，容易)某几何体的三视图是网络纸上图中粗线画出的部分，已知小正方形的边长为 1，则该几何体中棱长的最大值为（ ）A. 5 B. 10 C. 13 D.4答案C6.(原创，容易)要使右边的程序框图输出的 S=2cos 392cos2cos,则判断框内（空白框内）可填入（ ）A. 9n B. 10n C. 9n D. 10n答案B7.(原创，中档)已知等差数列 na的第 6 项是二项式 62()xy展开式的常数项，则 210a=（ ）A.160 B.160 C.320 D.3
4、20答案D8.(原创，中档)将函数 sin()3yx的图象按以下次序变换： 纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，向右平移 3个单位，得到函数 f的图象，则函数 ()fxy在区间 0,2上的对称中心为（ ）A. (,0)2, B. (,0)C. D. ,(20)答案D9.(原创，中档)已知点 P 是双曲线 C：214yx的一条渐近线上一点，F 1、F 2 是双曲线的下焦点和上焦点，且以 F1F2 为直径的圆经过点 P，则点 P 到 y 轴的距离为（ ）A. 4 B. C.1 D.2答案D10.(原创，中档)已知 O 是平面上的一定点，A、B 、C 是平面上不共线的三点，若动点 P 满足(),(
5、0,)|sin|siOP则点 P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心答案C11.(原创，难) 设直线 43yx与椭圆2:156xyE交于 A、B 两点，过 A、B 两点的圆与 E 交于另两点 C、D，则直线 CD 的斜率为（ ）A. 14 B.2 C. 14 D.4答案D解析本题来源于教材选修 4-4 中第 38 页例 4，如图所示，AB、CD 是中心为 点O 的椭圆的两条相交弦，交点为 P，两弦 AB、CD 与椭圆长轴的夹角分别为1，2，且1=2，则 |A|BCD.考点直线与圆、椭圆的综合12.(改编，难) 若函数2()lnlxfxa有三个不同的零点，则实数
6、 a 的取值范围是( )A. 1(,)e B. 1,e C. 1(,)e D. 1,e答案A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.(原创，容易)设命题 2:,4,npNp则 为 .答案 2,nN.解析特称命题的否定是全称命题.考点全（特）称命题的否定.14.(原创，容易)直线 sin30()xyR的倾斜角的取值范围是 .答案 3,4解析若 sin0，则直线的倾斜角为 90；若 sin0，则直线的斜率 k1(,1,)i设直线的倾斜角为 ，则 ta(,1,)，故 ,)4234，综上可得直线的倾斜角的取值范围是 34.考点直线的倾斜角与斜率的关系.15.(原创，中档)设
7、实数 ,xy满足250,xyy则的最小值是 .答案 18解析不等式组对应的可行域如图，令 1,(3,1)yux则 在 点 处取得最小值，min14,3u在点（1，2）处取得最大值， ma2故 u的取值范围是 3,.86u则 ()考点求线性约束条件下目标函数的最值.16.(改编，难) 已知 G 为ABC 的重心，点 M，N 分别在边 AB，AC 上，满足 ,AGxMyN其中31.,4xyAMB若则ABC 和AMN 的面积之比为 .答案 209解析连接 AG 并延长交 BC 于 D，此时 D 为 BC 的中点，故 12(),23ADBCAGD1(3AB),C设 3,4NAMB因 为所以 4GxMy
8、Nxy.所以 4,1,153xxyy又 因 为 解 得 ，则 |52039|SCAA.考点平面向量的综合应用三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本题满分 12 分)(原创，容易) 在等差数列 510,.naa中（）求数列 n的通项公式；（）若数列 10()2nab满 足 ，求数列 nb的前 n 项和 Sn.解：（）设数列 n的公差为 d，则 1(),nd由 510,a得 方 程 组1140,892ada，解 得 ，4 分所以 8()0.nn 6 分（) 由(I)得， 210(,44nnbb所 以 8 分12,4nnS 31 ，得 121
9、1()3434nnnS，所以 9nn12 分考点等差数列基本量运算、数列求和.18.(本题满分 12 分)（原创，中档）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AD平面PCD，PDCD，底面 ABCD 是梯形，ABDC，AB=AD=PD=1 ，CD=2AB， Q为棱 PC 上一点.()若点 Q是 PC 的中点，证明：B 平面 PAD；() ,PC试确定 的值使得二面角 -BD-P 为 60.解析：()证明：取 PD 的中点 M，连接 AM，M Q，QPC点 是 的 中 点 ，M CD， 1.2D1 分又 ABCD ， ,ABQ则 AB，QMAB，则四边形 ABQM 是平行四边形. BAM. 3 分又
10、 平面 PAD，BQ 平面 PAD， 平面 PAD.4 分（）解：由题意可得 DA，DC，DP 两两垂直，以 D 为原点， DA，DC，DP 所在直线为 ,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0) ，B(1，1，0). 5 分令 00(,),(,),(0,2).QxyzPxyzPC则 01(C(,21). 7 分又易证 BC平面 PBD， (,0) .PBD是 平 面 的 一 个 法 向 量n设平面 QBD 的法向量为 (,)xyzm,0,0, 22(1),.1xyDBzzQ则 有 即 解 得m令 1,(,.y则 9 分60BP二 面 角
11、为， 2| 1|cos, ,2()mn解得 36.11 分Q 在棱 PC 上， 01,36.12 分考点线面平行证明及二面角计算19.（本题满分 12 分）（原创 ，中档） 中华人民共和国民法总则 （以下简称民法总则 ）自 2017 年 10 月 1 日起施行。作为民法典的开篇之作， 民法总则与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取 50 人，他们的年龄都在区间25，85 上，年龄的频率分布及了解 民法总则的人数如下表：年龄 25，35) 35，45) 45，55) 55，65) 65，75) 75，85)频数 5 5 10 15 5 10了解民法总则1 2
12、 8 12 4 5（）填写下面 22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对了解民法总则政策有差异；（）若对年龄在45，55） ， 65，75）的被调研人中各随机选取 2 人进行深入调研，记选中的 4 人中不了解民法总则的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 .解：（）22 列联表：2 分2250(3179)6.7.35,48K 4 分没有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对了解民法总则政策有差异.5 分（）X 的所有可能取值为 0，1，2，3，284105(),CPx21284405(),1284053(2),CPx12405(3),10 分则 X 的分布
13、列为X 0 1 2 3P 84255所以 X 的数学期望是 04764.22EX12 分考点统计案例，超几何分布的分布列与期望.20.（本题满分 12 分）（改编，难）已知椭圆2:1(0)xyCab的一个焦点与抛物线 23:1Exy的焦点相同，A 为椭圆 C 的右顶点，以 A 为圆心的圆与直线 x相交于 P， Q两点，且 0,.POQ（）求椭圆 C 的标准方程和圆 A 的方程；（）不过原点的直线 l与椭圆 C 交于 M、N 两点，已知 OM，直线 l，ON 的斜率 12,k成等比数列，记以 OM、ON 为直径的圆的面积分别为 S1、S 2，试探究 12S的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，
14、说明理由.解：() 如图，设 T 为 PQ 的中点，连接 AT，则 ATPQ，10,|,2APQAPQ即3,|,O又 所 以|1,2Tba2 分由已知得 3c,所以 24,1椭圆 C 的方程为 2xy 4 分22|,ATOA22|4|5,|10,5TAP28().xy圆 的 方 程 为 6 分() 设直线 l的方程为 12(0),(),(),kmMxyN由 222,(4)84()14ykxx得，212128(),.4kmxk由题设知，2212121()(),yxmkmx8 分22218()0,0,4kkmx210,4mk10 分则 12S2211()44xx2 211133()()=66xxx
15、22368()kmk254()4m故 12S为定值，该定值为 54.12 分考点椭圆的标准方程、抛物线的性质、直线与圆的位置关系，圆的几何性质、圆的方程、直线与椭圆的位置关系.21.（本题满分 12 分）（改编，难）已知函数 2()ln,()().afxgxR（）若直线 0,xtyf AB与 曲 线 和 分 别 交 于 两 点 ,且曲线 ()yfx在 A 处的切线与 ()yg在 B 处的切线相互平行，求 a 的取值范围；（）设 ()hxfgx在其定义域内有两个不同的极值点 12,x且 12.0,x已 知 若不等式12e恒成立，求 的取值范围.解：（）依题意，函数 ()fx的定义域为（0， ）
16、， ()ln,().fxgxa因为曲线()yfx在 A 处的切线与 yg在 B 处的切线相互平行，所以 0,)ft在 有解，即方程ln0,)ta在有解.2 分方程 (t在 有解转化为函数 lnyxyax与 函 数 的图像在 (,)上有交点，如图，令过原点且与函数 lnyx的图像相切的直线的斜率为 k，只 须0.ak令切点为 000 ln1(,ln)|,xxAxkk则 又 ，所以 0ln1,x解 得01,e于 是，所 以.a5 分（） 2()()ln(0),()ln.ahxfgxxhxa所 以因为 12,为 在其定义域内有两个不同的极值点，所以 120x是 方 程 的两个根，即1212lln,l
17、, .xxaxa作 差 得6 分因为 120,所 以1212lnlexx121212()axxax12112122ln()lxxx1212()ln.x8 分令 12tx，则 (0,)t，由题意知，不等式 ()ln(0,)ttt在 上恒成立.令221(1)()()ln,) .t tt tt则如果 21,(0,tt对 一 切 所以 ()0,在 上单调递增，又 (1)0,所 以()0t()在上恒成立，符合题意.10 分如果 22,t当 时， 2();(,1)tt当 时 2(,(),tt所 以 在 上单调递增，在(,1)上单调递减，又 10,所 以 在 上不能恒小于 0，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式 2ex恒成立，只须 2.,1又 所 以 .12 分考点导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题.选做题（请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）22.（本小题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】（原创，容易）在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为1,2(),3,xtty为 参 数以 O 为极点， x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 cos,射 线
