1、第二节 极 限(limit),一.极限的概念（conception） 二.无穷小量及其性质（infinitesimal and its properties） 三.极限的四则运算（ arithmetic） 四.极限存在的准则及两个重要极限 五.无穷小的比较（Comparison of the infinitesimal）,函数与极限,2019/6/12,1,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,（1）割圆术：,播放,刘徽,我国古代数学家刘徽在九章算术注利用圆内接正多边形计算圆面积的方法 割圆术，就是极限思想在几何上的应用。,一、极限的概念（conception
2、）,1、数列的极限,函数与极限,2019/6/12,2,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正 3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416,函数与极限,2019/6/12,3,（2）截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,函数与极限,2019/6/12,4,例如,函数与极限,2019/6/12,5,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是以n为自变量的函数,函数与极限,2019/6/12,6,播放,函数与极限,2019/6/12,7,0,x,观察数列 的变化趋势：,1,问题:,当 无限增大时,
3、如何变化?,通过上面演示实验的观察:,函数与极限,2019/6/12,8,所以有：,记为：,函数与极限,2019/6/12,9,思考：,极限不存在有两种情况：(a).极限在某范围内波动，如T4(b).极限趋向于正（或负）无穷大，此时记为,函数与极限,2019/6/12,10,2、函数极限,1.自变量趋向无穷大时函数的极限,(1),连续型的变化,函数与极限,2019/6/12,11,播放,(2),函数与极限,2019/6/12,12,通过上面演示实验的观察可知:,函数与极限,2019/6/12,13,定义：当自变量x的绝对值无限增大时，如果函数 f(x)无限趋于某一个常数A，就称当 x 趋于无穷
4、大时，函数 f(x)以A为极限。,记为：,函数与极限,2019/6/12,14,x 按绝对值无限增大时,又包含了 x 的情形.,既包含了 x +,为单侧极限,函数与极限,2019/6/12,15,例：求函数 的单侧极限,解：,函数与极限,2019/6/12,16,2.自变量趋向有限值时函数的极限,考虑函数,p,函数与极限,2019/6/12,17,函数与极限,2019/6/12,18,定义：函数 在点 的附近有定义(但在这一点可没有定义)当自变量 以任意方式无限趋近定点 时，若函数 无限 趋近一个常数A，就称当 趋于 时,函数 以A为极限。,记为：,函数与极限,2019/6/12,19,函数与
5、极限,2019/6/12,20,单侧极限:,注1：左极限与右极限都称之为单侧极限,从左边趋于,从右边趋于,右极限(Right Limits),左极限(Left Limits),函数与极限,2019/6/12,21,(1) 左、右极限均存在, 且相等；,(2) 左、右极限均存在, 但不相等；,(3) 左、右极限中至少有一个不存在.,找找其它例题！,函数在点 x0 处的左、右极限可能出现 以下三种情况之一：,函数与极限,2019/6/12,22,y = f (x),x,O,y,1,1,在 x = 1 处的左、右极限.,解,函数与极限,2019/6/12,23,解：,函数与极限,2019/6/12,
6、24,左右极限存在但不相等,例,证,函数与极限,2019/6/12,25,思考题,函数与极限,2019/6/12,26,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,一般地：初等函数在定义域内所有点处的极限就为函数在这一点的函数值,函数与极限,2019/6/12,27,二、无穷小量及其运算性质,简言之, 在某极限过程中, 若 f(x) 以 0为极限,即则称f(x)为该极限过程中的一个无穷小量.,注意: (1)无穷大或无穷小是变量,不是很大或很小的数，但0是无穷小量。(2)无穷大或无穷小量是针对自身变化过程而言的,如,1、无穷小量,函数与极限,2019/6/12,28,函数与极限,2019/6/
7、12,29,函数与极限,2019/6/12,30,1、同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量.,2、同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量.,无穷小量的运算法则,函数与极限,2019/6/12,31,3、常数与无穷小量之积仍为无穷小量.,5、在某极限过程中, 以极限不 为零的函数除无穷小量所得到商 仍为一个无穷小量.,4、在某一极限过程中, 无穷小量 与有界量之积仍是一个无穷小量.,函数与极限,2019/6/12,32,证,证明,函数与极限,2019/6/12,33,解,函数与极限,2019/6/12,34,二、 无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大。,特殊情形：正无
8、穷大，负无穷大。,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大。,函数与极限,2019/6/12,35,函数与极限,2019/6/12,36,无穷大量是否一定是无界量 ?,在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量 ?,但该数列是无界的.,函数与极限,2019/6/12,37,无穷大量与无穷小量的关系,( 无穷大量的倒数为无穷小量, x 0 ),( 无穷小量的倒数为无穷大量, x 0 ),则,函数与极限,2019/6/12,38,不是无穷大量,是无穷大量,两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?,考察,函数与极限,2019/6/12,39,有
9、界量与无穷大量的乘积,是否一定为无穷大量？,不着急, 看个例题:,函数与极限,2019/6/12,40,有界量与无穷大量的乘积,是否一定为无穷大量？,不着急, 看个例题:,不一定再是无穷大量.,函数与极限,2019/6/12,41,结论:,在某个极限过程中,函数与极限,2019/6/12,42,三、无穷小的比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同。,不可比.,观察各极限,函数与极限,2019/6/12,43,Def:,函数与极限,2019/6/12,44,例,所以： 是 的高 阶无穷小,函数与极限,2019/6/12,45,例题见课本16页.,函数与极限,2019/6/12,4
10、6,小结,无穷小的比较:,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。,高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。,函数与极限,2019/6/12,47,(一) 极限运算法则,Theorem,证,由无穷小运算法则,得,四、极限的运算法则,函数与极限,2019/6/12,48,函数与极限,2019/6/12,49,推论1,常数因子可以提到极限记号外面,推论2,有界，,函数与极限,2019/6/12,50,和的极限等于极限的和.,乘积的极限等于极限的乘积.,商的极限等于极限的商(分母不为零).,?,函数与极限,2019/6/12,51,(二) 求极限方法举
11、例,例1,解,函数与极限,2019/6/12,52,小结:,函数与极限,2019/6/12,53,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,函数与极限,2019/6/12,54,解,例3,(消去零因子法),函数与极限,2019/6/12,55,例4,解,函数与极限,2019/6/12,56,小结:,函数与极限,2019/6/12,57,例5,解,先变形再求极限.,函数与极限,2019/6/12,58,例6,解,函数与极限,2019/6/12,59,例7,解,左右极限存在且相等,函数与极限,2019/6/12,60,小结,1.极限的四则运算法则及其推论;,2.极限求法;,a.多项式与
12、分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷大之比求极限法; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,函数与极限,2019/6/12,61,思考题,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？,函数与极限,2019/6/12,62,思考题解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,函数与极限,2019/6/12,63,一、填空题:,练 习 题,函数与极限,2019/6/12,64,二、求下列各极限:,函数与极限,2019/6/12,65,函数与极限,2019/6/12,66,五、
13、极限存在准则,1.两边夹法则,函数与极限,2019/6/12,67,例1,解,由夹逼定理得,函数与极限,2019/6/12,68,2.单调有界准则,几何解释:,函数与极限,2019/6/12,69,统称为单调数列,数列,函数与极限,2019/6/12,70,数列的有界性,回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形,我学过吗 ？,函数与极限,2019/6/12,71,(二) 两个重要极限,(1),函数与极限,2019/6/12,72,函数与极限,2019/6/12,73,例 2,函数与极限,2019/6/12,74,例3,解,函数与极限,2019/6/12,75,(2),函数与极限,2019/6/1
14、2,76,函数与极限,2019/6/12,77,函数与极限,2019/6/12,78,函数与极限,2019/6/12,79,例4,解,例5,解,函数与极限,2019/6/12,80,例6,函数与极限,2019/6/12,81,（三）小结,1.两个准则,2.两个重要极限,夹逼准则; 单调有界准则 .,：,：,函数与极限,2019/6/12,82,求,解,函数与极限,2019/6/12,83,求,解,函数与极限,2019/6/12,84,求,解,函数与极限,2019/6/12,85,求,解,函数与极限,2019/6/12,86,解,变量代换,四则运算,等价无穷小,函数与极限,2019/6/12,87,解,连续两次使用等价无穷小替代.,等价无穷小替代,函数与极限,2019/6/12,88,一、填空题:,练 习 题,函数与极限,2019/6/12,89,二、求下列各极限:,函数与极限,2019/6/12,90,
