1、第二节 三维晶格的振动,本节主要内容:,3.2.1 色散关系,3.2.2 波矢q的取值和范围,模型,运动方程,试探解,色散关系,波矢q范围,B-K条件,波矢q取值,一维问题的处理步骤:,晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数， 格波的支数=原胞内原子的自由度数。,一维单原子链，设晶体有N个原胞。,原胞内原子的自由度数=1,1支格波,晶体的自由度数=N,频率数为N,一维双原子链，设晶体有N个原胞。,原胞内原子的自由度数=2,2支格波,晶体的自由度数=2N,频率数为2N,3.2.1 色散关系,1.模型,设三维无限大的晶体,每个原胞中有n个原子，各原子的质量分别为
2、原胞中这n个原子平衡时的相对位矢分别为 。,表示平衡时顶点位矢为 的原胞内第s个原子的位矢；,3.2 三维晶格的振动,表示顶点位矢为 的原胞内第s个原子离开平衡位置在方向的位移。,在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。, (=3,s=n)共有3n个方程,(=1,2,3；s=1,2,3,n),可得到3n 个线性齐次方程。,(2)运动方程和解,试探解：,这3支格波称为声学支格波。,其余的(3n-3)支格波的频率比声学波的最高频率还要高称之为光学支格波。,3.2.2 波矢q的取值和范围,设晶体有N个原胞,原胞的基矢为：,沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞,As有非零解,必须其系数行列式为零,
3、3n个的实根,在3n个实根中，其中有3个当波矢q 0时,根据玻恩-卡门周期性条件：,(1、2、3为整数),波矢 具有倒格矢的量纲，得出:,每个波矢代表点占有的体积为：,正格子原胞体积,波矢密度：,波矢空间中单位体积的波矢数目。,将 的取值限制在一个倒格子原胞范围内，此区间称为简约布里渊区。,每个波矢代表点占有的体积为：,晶格振动频率数目:,晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn， 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。,设晶体有N个原胞,每个原胞有n个原子,m支声学波，m(n-1)支光学波，这里m是晶体的维数，n是原胞中原子的数目。,波矢可取的数目：,例2：金刚石结构有几支格波?几支声学波?几支光学波?设晶体有N个原胞，晶格振动模式数为多少?,答:,有6支格波，3支声学波，3支光学波。,振动模式数为6N。,晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn， 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。,
