1、504,Exercise for practice,Sec. 7-3: 10, 16, 19, 20, 24, 44, 56, 62, 70, 74, 83 Sec. 7-4: 8, 13, 25, 28, 30, 43, 52, 53, 54, 59, 61 Sec. 7-5: 5, 11, 12, 15 Sec. 7-6: 8, 11, 12, 14, 15 Review 7: 12, 24, 25, 29, 36, 37, 40, 41, 42,505,Chapter 8 Systems of Linear First-Order Differential Equations,另一種解聯
2、立微分方程式的方法,(1) Section 4.8:,(2) Chapter 7:,(3) Chapter 8:,Using matrix operations,506,比較 (1) 這 3 種方法都只適用於 linear & constant coefficients 的情形註:其實 Laplace transform 可用來解 nonlinear & non-constantcoefficient DEs, 但過程頗為複雜,(2) Laplace transform 的方法優於Section 4-8 的方法的地方,在於可以輕易的解決 initial condition 的問題,注意:但是,
3、若 boundary conditions 不是在 t = 0 的地方,用 Laplace transform 需要花一番功夫。,507,(3) 無論是 Section 4-8 的方法,還是 Laplace transform, 運算量皆不少,Chapter 8 的方法可以減少 1st order 聯立微分方程式的運算量,但 2nd order 以上反而比 Laplace transform 麻煩,508,Section 8.1 Preliminary Theory,方法的限制:,(a) linear, (b) 1st order DEs (c) full rank (n 個 dependen
4、t variable 需要 n 個式子),名詞:,linear system (pp. 509) homogeneous, nonhomogeneous (pp. 510) solution vector (pp. 510) fundamental set of solutions (pp. 514) complementary function (pp. 518) particular solution (pp. 518) general solution (pp. 514),509,假設有 n 個 dependent variables x1(t), x2(t), ., xn(t), n
5、個只有針對其中一個dependent variable 作微分的 linear DEs,: :,: :,稱作 linear system,8-1-1 表示法和名詞,510,Matrix form of a linear system,fn(t) = 0 for all n homogeneous linear system,otherwise nonhomogeneous linear system,solution vector,511,Example 2 (text page 306),皆為 的解,可改寫成,其中,512,subject to,If x1(t0) = r1, x2(t0)
6、= r2, ., xn(t0) = rn, linear system 可寫成,513,8-1-2 基本定理,將 Section 4-1 的幾個定理改成 vector 和 matrix 的型態,Theorem 8.1.1 If the entries of A and F are continuous on a common interval that contains the point t0, then the initial value problem on the previous page has a unique solution on this interval.,(比較 The
7、orem 4.1.1, page 133),514,Theorem 8.1.2 For the homogeneous linear system,(F = 0),if X1, X2, ., Xk are the solution of then is also a solution of,Definition 8.1.3 and Theorem 8.1.5 If the size of A is n n and X1, X2, ., Xn are the linearly independent solutions of , then X1, X2, ., Xn are said to be
8、 a fundamental set of solutions. Then, the general solution of is,c1, c2, , cn are arbitrary constants,(比較 Theorem 4.1.5, page 140),515,Theorem 8.1.3 Linearly dependent / independent 判斷方式,(課本用 | | 來表示 det),516,Either W(X1, X2, ., Xn) 0 for every t or W(X1, X2, ., Xn) = 0,linearly independent,depende
9、nt,(比較 Wronskian, page 143),517,Example 4 (text page 308),518,Theorem 8.1.6 General solution for nonhomogeneous system,subject to,稱作為 complementary function,particular solution,(比較 page 145),519,8-1-3 本節要注意的地方,(1) 大部分的定理和 Section 4-1 相似 (2) 當一個式子出現 2 個 dependent variable 的微分時先化成講義 page 509 linear sy
10、stem 的型態,520,Section 8.2 Homogeneous Linear Systems,8-2-1 本節摘要,(A) 解法的限制:,同講義 page 508 ,但多了二個限制,(d) homogeneous,(e) 最好是 constant coefficients,521,假設解為,a = 1, 2, ., n,size of A: n n,a: A 的 eigenvalueKa: A 的 eigenvector (AKa = Ka),(constant coefficients),證明見講義 525 頁,General solution:,其中,(B) 解法,522,Cas
11、e 1: A has distinct eigenvalues: 解法如前一頁,Case 2: A has repeated eigenvalues,當 a 的 multiplicities 為 m Case 2.1 可以找到 a 的 m 個 linearly independent eigenvectors解法同前一頁 Case 2.2 無法找到 a 的 m 個 linearly independent eigenvectors,若只有 1 個 linearly independent eigenvector,將解表示成,:,(C) 三種情形,523,注意:,:,Case 2.3 無法找到
12、a 的 m 個 linearly independent eigenvectors,有超過 1 個 linearly independent eigenvector,其實,也可以用類似方法求解,但較為複雜,524,若 a = + j 為 A 的eigenvalues, A 為 real matrix,b = j 必為 A 的eigenvalues,若 Ka = B1 + jB2,為 a 所對應的 eigenvector,必為 b 所對應的 eigenvector,Kb = B1 jB2,此時,可將解改寫成,Case 3,(D) 名詞與其他, phase portrait (見 531 頁,注意
13、其畫法和觀察法),trajectory (530 頁),phase plane (532 頁),multiplicity (536 頁),525,假設解為,8-2-2 方法,(和 Section 4-3 相似),526,的問題變成,(和 linear algebra 當中解 eigenfunction, eigenvalue 的問題相同),527, 是 A 的 eigenvalue,K 是 A 的 eigenvector,由 det(A I) = 0 算出 (稱作 characteristic equation),當 算出後,K 為使得,成立,的任一個滿足 K 0 的解,528,Example
14、 1 (text page 313), = 1, 4,(i) When = 1,設 k1 = 1, k2 = 1,k2 = k1,529,(ii) When = 4,設 k1 = 3, k2 = 2,k2 = 2 k1/3,530,trajectory,Fig. 8.2.1,531,phase portrait,Fig. 8.2.2,c1 = 0, c2 0,c1 0, c2 = 0,c1 0,c1 0, c2 0,532,phase plane: 即前頁的 x-y plane,repeller,attractor,533,8-2-3 Case 1: Distinct Eigenvalues,
15、根據 eigenvalues ,分成 3 cases Case 1: Distinct eigenvalues Case 2: Repeated eigenvalues Case 3: Complex eigenvalues,534,Example 2 (text page 314), = 3, 4, 5 (distinct),535,When = 3,3rd row: k2 = 0,1st row: k1 + k2 + k3 = k1 + k3 = 0, k1 = k3,When = 4, = 5 (自己練習解解看),536,8-2-4 Case 2: Repeated Eigenvalue
16、s,有時, det(A I) 會出現 ( a)m,a 被稱作 eigenvalue of multiplicity m,537,Case 2.1,當 a 的 multiplicity 為 m (m 1) 時,有的時候可以將 m 個 linearly independent eigenvectors 全部找出來。,此時,solutions 解法和 Case 1 相同,當 A = AT 時, 若 a 的 multiplicity 為 m ,一定可以找到 a 所對應的 m 個 linearly independent eigenvectors,Example 3 (text page 316),注意
17、:,538,(i) 當 = 1,row operation,new 2nd row = old 2nd row + 1st row,new 3rd row = old 3rd row 1st row,3 個 variables, 1 個式子,2 個 linearly independent solutions,3 1 = 2,539,2 個 linearly independent solutions,(第一個 solution) 設 k1 = 0, k2 = 1 k3 = 1,(第二個 solution) 設 k1 = 1, k2 = 0 k3 = 1,Check:,的確互為 linearl
18、y independent,為 A 在 = 1 時的 eigenvectors,小技巧: 任意給定其他 n-1 個 unknowns 的值再將最後一個 unknown 的值算出來通常可以得到一個新的 independent solution(但是也有的時候得到的解不為 independent, 所以要 check),540,(ii) 當 = 5,算出來的 eigenvector 為,General solution for Example 3:,541,Case 2.2,當 a 的 multiplicity 為 m (m 1) 時,有的時候只能找出 1 個 linearly independe
19、nt eigenvector 。,將a 所對應的解表示成,:,Ka,1: 唯一滿足 AKa,1 = aKa,1 的 eigenvector,Ka,q (q 1) 的求法如後頁,542,當,由,:,比較,(q = 0, 1, ., p1) 的係數得出,(p = 1, 2, , m),543,註:(1) 課本 page 316 頁中,K11 = K21 = . = Km1,K22 = K32 = . = Km2,K33 = K43 = . = Km3,: :,(2),經常有多個 linearly independent 解,我們只需找出其中一個解即個 (但是必需以可以繼續解下去為條件,如 page
20、 545),544,Example 5 (text page 319),eigenvalues: 2, 2, 2,only one independent solution:,545,其中一個 solution:,注意: (1) 若選擇 Ka,2 為其他的值,最後的解還是一樣的(2) 唯獨不可以選 Ka,2 = ,否則無法繼續解,546,General solution of Example 5,其中一個 solution:,547,Case 2.3,當 a 的 multiplicity 為 m (m 1) 時,有的時候只能找出 2 m 1 個 linearly independent eig
21、envectors 。,Section 8-2 Exercises 31 and 50,three independent solutions:,548,General solution for Exercises 31 and 50,549,8-2-5 Case 3: Complex Conjugated Eigenvalues,其實和 Case 1 (distinct eigenvalues) 相同,只是用不同的方式來表示 solutions,當 a = + j 和b = j (, 為 real) 皆為 A 的 eigenvector 且 A 為 real matrix,若 Ka = B1
22、 + jB2 (B1, B2 為 real)是 a 所對應的 eigenvector,則 Kb = B1 jB2 必為是 b 所對應的 eigenvector,Proof:,550,此時,可將解改寫成,(證明如後),551,因此,兩個 linearly independent solutions 可改寫為,552,Example 6 (text page 322),已知 = 2i 為其中一個 eigenvalue,所對應的 eigenvector為,可以迅速判斷 2 個 independent solutions 為,553,8-2-6 高階線性聯立微分方程的解法,解法:將問題變成 1st o
23、rder DE,554,8-2-7 Section 8-2 要注意的地方,(1) 方法適用的情形 (a) linear, (b) 1st order DEs, (c) full rank (n 個 dependent variable 需要 n 個式子), (d) homogeneous, (e) constant coefficients,(2) 複習並熟悉算 eigenvector 的方法(可以研究快速法)(我們只要得出任何一個 eigenvector 或任何一組 linearly independent eigenvectors 即可,因此可以選擇當中較簡單的 )(3) Case 2 比
24、較複雜,要多加練習(4) 注意 page 539 找 independent solution 的小技巧(5) Case 2.2 選擇其中一組解即可 (但是要可以繼續解下去),555,(6) 計算前,確定 的係數皆為 1 (standard form)(7) 熟悉原理,才不會背錯公式,556,Section 8.3 Nonhomogeneous Linear Systems,8.3.1 Section 8.3 摘要,的 particular solution,(方法 1) undetermined coefficients 猜 particular solutions,類似 Section 4
25、-4,本節討論如何找,(方法 2) variation of parameters ,類似 Section 4-6,(t): fundamental matrix,定義見 page 565,557,(方法 2) variation of parameters ,with initial conditions,名詞: fundamental matrix,558,8.3.2 方法一: Undetermined Coefficients,和 Section 4.4 的方法相似,根據 F(t) 來猜 particular solution,(1) 出現 tn,複習講義 page 187,(2) 出現
26、 cos(at),(3) 出現 exp(bt),559,(4) 出現 綜合,(5) 只要 F(t) 有一個 entry 有這一項則 particular solution 每一個 entry 都要根據這一項來猜particular solution 的型態,(這一點和 Section 4.4 稍有所不同),(6) 和 homogeneous solution 有重覆時,不只乘 t,原來的 term 也保留,(這一點也和 Section 4.4 有所不同),560,Example 3 (text page 328),solving the complementary function,eigen
27、values of A: 2, 4,corresponding eigenvectors for = 2:,corresponding eigenvectors for = 4:,complementary function,561,解 particular solution,,所以假設 particular solution 為,From,因為,注意,每一個 entry 皆有 1, t, et,562,563,補充的範例 (Example 1 in text page 327 的變型),設 particular solution 為,這一項要保留,乘 t,564,choose,565,8.3
28、.3.1 方法二: Variation of Parameters,先找 complementary function (solution of the associated homogeneous DE),fundamental matrix,566,令,由於,每個 column 都是 associated homogeneous DE 的解,567,some constants,568,Example 4 (text page 331),eigenvalues of A: = 2, 5,eigenvectors of A :,fundamental matrix,569,570,8.3.3
29、.2 和 initial value problems 相結合,在此時,可改寫成定積分的型態,thus,Since,571,8.3.4 Section 8.3 需要注意的地方,(1) 2 2 matrix 的 eigenvector 快速算法,(2) 注意 undetermined coefficient 的方法和 Section 4.4 異同處,(5) 同樣記得先算 complementary function (homogeneous 部分 的 solution),再算 particular solution,(4) 通常 undetermined coefficient 的方法會比較容易
30、解而 variation of parameters 較複雜,但適用於任何情形,(3) Variation of parameters 的部分,關鍵在是否能將公式背起來,572,Section 8.4 Matrix Exponential,把 linear system 當成一般 1st order DE 來解,8.4.1 Section 8.4 摘要,(比較 Section 2-3),(With initial condition X(t0) = X0),(1) (2)(3),573,8.4.2 For Homogeneous Systems,solution:,的定義,h = k 1,57
31、4,8.4.3 For Nonhomogeneous Systems,比較:,solution:,with initial conditions,或,575,8.4.4 Computation of,一定有這樣的 initial condition,令 X(s) 為 X(t) 的 Laplace transform,576,Example 1 (text page 335),Determine,577,殺雞焉用牛刀 複習 linear algebra 當中,,的求法,(1) eigenvector-eigenvalue decomposition for A,e1, e2, e3, , en
32、皆為 A 的eigenvectors, 皆為 n 1 的 column,1, 2, 3 , ., n 為 e1, e2, e3, , en 所對應的eigenvalues,578,例如, Example 1 當中,579,8.4.5 注意,(1) 本節可以解的問題,用 Sections 8-2, 8-3 的方法也可以解,(2) 熟悉公式和 的計算 (3) 使用 eigenvalue-eigenvector decomposition 的方法時,別忘了將 變成,580,Exercise for practice,Sec. 8-1: 6, 16, 18, 19, 23 Sec. 8-2: 7, 8
33、, 14, 23, 28, 30, 31, 40, 45, 49, 50 Sec. 8-3 7, 9, 12, 21, 24, 27, 33, 34 Sec. 8-4 4, 7, 11, 19, 21, 23, 26 Review 8: 4, 6, 13, 14,Homework 4 (due: 12/23)(1) Sec. 7-3 19 (2) Sec. 7-3 70 (3) Sec. 7-4 43 (4) Sec. 7-4 54 (5) Sec. 7-5 11 (6) Sec. 7-6 11 (7) Sec. 8-1 19 (8) Sec. 8-2 28 (9) Sec. 8-2 45 (10) Sec. 8-3 27,