1、2017 年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 32 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知 =（1+i） 2（i 为虚数单位） ，则复数 z 的共轭复数为（ ）A i B + i C i D + i2已知全集 U=R，A=0，1，2，3，B=y|y=2 x，x A，则（ UA）B=（ ）A （ ，0 ）（3，+） Bx|x3，x N C4，8 D4，83已知 =（2，1） ， =（ 1，1） ，则 在 方向上的投影为（ ）A B C D4已知 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，且 S3=2a1，则下列结论错误的是
2、（ ）Aa 4=0BS 4=S3 CS 7=0 Da n 是递减数列5如图， “赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为 ，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（ ）A B C D6执行如图的程序框图，则输出的 S=（ ）A B C D07函数 f（x）= 的图象大致为（ ）A B CD8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D9已知实数 x，y 满足 ，则 z=|2x3y+4|的最大值为（ ）A3 B5 C6 D810已知双曲线 y2=1 的右焦点是抛物线 y2
3、=2px（p0）的焦点，直线y=kx+m 与抛物线交于 A，B 两个不同的点，点 M（2，2 ）是 AB 的中点，则OAB（O 为坐标原点）的面积是（ ）A4 B3 C D211已知 f（ x）=x 2ex，若函数 g（x）=f 2（x ） kf（x ）+1 恰有四个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A （ ，2 ） （2，+ ） B （2， + ） C （ ，2）D （ + ，+）12已知函数 f（x ）=（2a1）x cos2xa（sinx +cosx）在0， 上单调递增，则实数 a 的取值范围为（ ）A （ ， B ， 1 C0，+） D1，+）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5
4、 分，共 20 分）.13已知 sin（ ）= ，0，则 sin2= 14 （2x+ 1） 5 的展开式中常数项是 15已知三棱锥 ABCD 中，AB=AC=BC=2，BD=CD= ，点 E 是 BC 的中点，点 A在平面 BCD 上的射影恰好为 DE 的中点，则该三棱锥外接球的表面积为 16已知点 O 是ABC 的内心，BAC=30，BC=1，则BOC 面积的最大值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 48 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17已知数列a n的前 n 项和 Sn=2n+12，数列b n满足 bn=an+an+1（n N*） （1）求数列b n的通项公式；（2）若 cn
5、=log2an（nN*） ，求数列b ncn的前 n 项和 Tn18某商城举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：1抽奖方案有以下两种，方案 a：从装有 2 个红球、3 个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出 2 个球，若都是红球，则获得奖金 30 元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中，方案 b：从装有 3 个红球、2 个白球（仅颜色相同）的乙袋中随机摸出 2 个球，若都是红球，则获得奖金 15 元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中2抽奖条件是，顾客购买商品的金额买 100 元，可根据方案 a 抽奖一次：满150 元，可根据方案 b 抽奖一次（例如某
6、顾客购买商品的金额为 260 元，则该顾客可以根据方案 a 抽奖两次或方案 b 抽奖一次或方案 a、b 各抽奖一次） 已知顾客 A 在该商场购买商品的金额为 350 元（1）若顾客 A 只选择方案 a 进行抽奖，求其所获奖金的期望值；（2）要使所获奖金的期望值最大，顾客 A 应如何抽奖19如图（1）在平面六边形 ABCDEF，四边形 ABCD 是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE= ，BF=CF= ，点 M，N 分别是 AD，BC 的中点，分别沿直线 AD，BC 将DEF ，BCF 翻折成如图（2）的空间几何体 ABCDEF（1）利用下面的结论 1 或结论 2，证明：E、F 、M、N 四点
7、共面；结论 1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；结论 2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个（2）若二面角 EADB 和二面角 FBCA 都是 60，求二面角 ABEF 的余弦值20如图，曲线 C 由左半椭圆 M： + =1（a b0，x0）和圆N：（x2 ） 2+y2=5 在 y 轴右侧的部分连接而成， A，B 是 M 与 N 的公共点，点P，Q （均异于点 A，B ）分别是 M，N 上的动点（1）若|PQ| 的最大值为 4+ ，求半椭圆 M 的方程；（2）若直线 PQ 过点 A，且 =2 ， ，求半椭圆 M 的离心率21已知函数 f（x ）=（mx 2x+m）e x（m
8、 R） （）讨论 f（x）的单调性；（）当 m0 时，证明：不等式 f（x ） 在（ 0，1+ 上恒成立选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （其中 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为（tancos sin）=1（ 为常数，0，且 ） ，点 A，B （A 在 x 轴下方）是曲线 C1 与 C2 的两个不同交点（1）求曲线 C1 普通方程和 C2 的直角坐标方程；（2）求|AB|的最大值及此时点 B 的坐标选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|x+ m|+|2x1|（m0）
9、 （1）当 m=1 时，解不等式 f（x ）3；（2）当 xm，2m 2时，不等式 f（x ）|x+1|恒成立，求实数 m 的取值范围2017 年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 32 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知 =（1+i） 2（i 为虚数单位） ，则复数 z 的共轭复数为（ ）A i B + i C i D + i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求【解答】解：由 =（1 +i） 2，得 故选：B2已知全集 U=R，
10、A=0，1，2，3，B=y|y=2 x，x A，则（ UA）B=（ ）A （ ，0 ）（3，+） Bx|x3，x N C4，8 D4，8【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】根据全集 U 及 A 求出 A 的补集，找出 A 补集与 B 的交集即可【解答】解：全集 U=R， A=0，1，2，3，B=y|y=2 x，x A=1，2，4，8，（ UA）B= 4，8，故选：C3已知 =（2，1） ， =（ 1，1） ，则 在 方向上的投影为（ ）A B C D【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】根据条件即可求出 及 的值，而 在 方向上的投影计算公式为，从而求出该投影的值【解答】解： ，
11、； 在 方向上的投影为：故选 A4已知 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，且 S3=2a1，则下列结论错误的是（ ）Aa 4=0BS 4=S3 CS 7=0 Da n 是递减数列【考点】85：等差数列的前 n 项和【分析】设等差数列a n的公差为 d由 S3=2a1，可得：a 1+a2+a33a 1+3d=2a1，可得 a1=3d利用通项公式与求和公式即可判断出 A，B，C 的正误由于无法判断 d 的正负，因此无法判断等差数列a n的单调性，即可判断出 D 的正误【解答】解：设等差数列a n的公差为 d由 S3=2a1，可得：a 1+a2+a33a 1+3d=2a1，可得 a1=3d则
12、a4=3d+3d=0，S 4=S3，S 7= =7a4=0，因此 A，B，C 正确由于无法判断 d 的正负，因此无法判断等差数列a n的单调性，因此 D 错误故选：D5如图， “赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为 ，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（ ）A B C D【考点】CE：模拟方法估计概率【分析】求出四个全等的直角三角形的三边的关系，从而求出 sin的值即可【解答】解：在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形的概率为 ，不妨设大正方形面积为 5，小正方形面积为 1，大
13、正方形边长为 ，小正方形的边长为 1四个全等的直角三角形的斜边的长是 ，较短的直角边的长是 1，较长的直角边的长是 2，故 sin= ，故选：B6执行如图的程序框图，则输出的 S=（ ）A B C D0【考点】EF：程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出前几次循环得到的 S，n 的值，观察规律可知，S 的取值以 6 为最小正周期循环，由于 2017=3366+1，可得：n=2018 时不满足条件 n2017 ，退出循环，输出 S 的值为 【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1满足条件 n2017 ，执行循环体，S= ，n=2满足条件 n2017 ，执行循环体，S= ，n=3满足条件
14、n2017 ，执行循环体，S= ，n=4满足条件 n2017 ，执行循环体，S= ，n=5满足条件 n2017 ，执行循环体，S=0，n=6满足条件 n2017 ，执行循环体，S=0，n=7满足条件 n2017 ，执行循环体，S= ，n=8观察规律可知，S 的取值以 6 为最小正周期循环，由于 2017=3366+1，可得：n=2017 时，满足条件 n2017，执行循环体，S= ，n=2018不满足条件 n2017 ，退出循环，输出 S 的值为 故选：A7函数 f（x）= 的图象大致为（ ）A B CD【考点】3O：函数的图象【分析】求出函数的定义域，得到函数的函数的对称轴，再取特殊值即可判断【解答】解：f（x）= 的定义域为（ ，1）（1，+） ，且图象关于x=1 对称，排除 B，C，取特殊值，当 x= 时，f （x）=2ln 0，故选：D8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图知：该几何体是一个高 h=1 的三棱锥 SABC，其中底面ABC的底 AB=1，高 CD=1，由此能求出该几何体的体积【解答】解：由三视图知：该几何体是一个高 h=1 的三棱锥 SABC，其中底面ABC 的底 AB=1，高 CD=1，该几何体的体积为 V= = = 故选：D
