1、第 3 章 矩阵3.1 矩阵的运算一. 内容提要本节叙述矩阵概念, 矩阵的加法、数乘和矩阵的乘法, 并介绍了转置矩阵和方阵的行列式的概念.一. 重点和难点重点是矩阵的乘法运算, 难点是矩阵运算律与中学代数运算律的区别.二. 授课内容(一). 矩阵概念行 列的矩形数阵mnijmnaA一些特殊矩阵：零矩阵, 行矩阵 , 列矩阵, 阶方阵, 三角矩阵 , 对角矩阵,数量阵和单位阵.矩阵的相等.(二).矩阵的加法和数乘的定义 和 的定义763.173.12简单叙述矩阵的加法和数乘的运算律例 的例86(三). 矩阵的乘法1. 的定义 说明矩阵的乘法对矩阵行数和列数的要求及乘积矩阵的行数和793.1列数,
2、 注意乘法的“左行右列”规定. 例 的例280例 的例 .课堂练习和讨论: 习题 的第 题.893.14说明非齐次线性方程组和齐次线性方程组可分别简证为 和 的矩阵方程形xbA0式(可用实例说明).2. 一般地 A例 的例4803.1例 说明: (1) (2) 或 , 类似地 , 0C0BC若 , 则称 与 为可交换矩阵, 此时 和 必为同阶方阵.A例 的例581.3. 矩阵乘法的运算律的定理23例 设 , . 求621A3,21B10AB解 由 , .49632B-3 2 -1得 10 9AA 96421931A(四) 方阵的乘幂(其中 为 阶方律, 为正整数)k n并规定 0设 , 为 阶
3、方阵,110mmfxaxax An称 为 的矩阵多项式.A由直接运算易知, mnnmnA特别地, 若 是 阶方律, 是 阶单位阵, 则有 = .一般地, , , 222但是 2A例 的例783.1设 , , 求110mmfxaxax043AfA解一 . 23解二. 0f AA或(五). 矩阵的转置1. 转置矩阵的定义 的定义863.142. 转置矩阵的性质 的定理 及推论5例 . 的例873.153. 对称矩阵和反对称矩阵的定义6例 的例98.6对称矩阵的和、 差、数乘的为对称矩阵. 但对称矩阵的乘积仍为对称矩阵的充分必要条件是两个矩阵能够交换.(六). 方阵的行列式1.定义 设 为 阶方,
4、称 为方律 的行列式.ijmnaAijaA72.性质设 为 阶方阵, 为实数, 为正整数, 则有:、 (1) (2) n(3) , 特别地AA例 . 设 , 求10034A0231567A4 4 4 , 5 6 7解: 3210(四). 作业习题 3.2. 3. 6. (4) 7. (3)13. 15. 16. 18 19. (2)3.2 可逆矩阵一.内容提要本节由数 的倒数 引进逆矩阵概念,叙述了矩阵可逆的充分必要条件, 用伴随阵法求逆矩a1阵, 可逆矩阵的性质.二重点和难点重点是可逆矩阵的定义和性质, 难点是用伴随阵法求逆矩阵三授课内容（一）逆矩阵的定义由数 的倒数 引进逆矩阵概念 的定义
5、 逆矩阵的求法 a1923.1的定理 和推论, 的推论.923.97例 的例1例 的例4.例 的例96例 的例 3.2例 的例55(三)、可逆矩阵的性质的性质97.和转置矩阵的性质作比较:(1) A1A(2) 1(3) 1(4) (5) 1A(6) 1A例 6 的例983.27例 的例7例 设 是三阶矩阵 ,且 ,求123解一. 31 2A解二. 3114236A课堂练习和讨论:习题 中的 1. 2. 3. 10. 12 题.2四. 作业习题 中的3.24.(2) 5.(2), 6. (2), (3), 7. 13. 14.3.3 矩阵的分块一.内容提要分块矩阵的加法, 数乘, 乘法和转置,
6、分块对向矩阵的乘法, 行列式和逆阵.二.重点和难点重点是分块对角矩阵的行列式计算, 特别是逆矩阵的求法 . 难点是如何将矩阵作适当的正确的分块简化矩阵的运算.三.授课内容(一) 分块矩阵概念,矩阵的按列分块和按行分块.(二) 分块矩阵的加法,数乘,乘法和转置将分块矩阵中的子块元素作如同矩阵的加法, 数乘, 和乘法运算.注意分块的合理性和分块后运算的简便性, 分块矩阵的转置除了“大”转还要”“小”转.例 的例103.1例 的例24例 的例15.例 的例 0三. 准对角矩阵例 定义 的定义1063.例 性质 的性质271例 5 的例107.课堂练习和讨论: 习题 中的 2. 3 . 4. 推广得
7、, 强调 的结论,清楚与准对角矩阵的逆. 5阵计算之区别.四. 作业习题 中的 (1) 6. (1), ( 3), (4), 1083.13.4 矩阵的高等交换与初等矩阵1.内容提要初等矩阵的概念，初等交换和初等矩阵之间的关系，可逆矩阵和初等矩阵的关系，用初等交换方法求逆矩阵.2.重点和难点重点是初等矩阵的概念和用初等变换求逆矩阵的方法，难点是初等交换和初等矩阵的关系.3.授课内容(1) 初等矩阵的概念和性质1.定义 的定义103.4初等矩阵分为互换初等阵, 倍乘初等阵和倍加初等阵三种类型, 它们分别是对单位阵的行作一次互换, 倍乘和倍加初等行变换(或作相应的一次初等列交换) 得到.2. 性质
8、 初等矩阵是可逆矩阵, 且其递阵为同类型的初等矩阵.见 性质123.4(二) . 初等交换和初等矩阵的关系的定理1234课堂练习 习题 的第 题和 的第 题18.1196叙述 的推论 . 推论 .推论 和推论 . 35234(三). 可逆矩阵和初等矩阵的关系, 用初等交换法求逆矩阵叙述 的推论 , 同时得出用初等行变换求逆矩阵的方法 :11A A 行 变 换例 的例163.42例 2. 设 , 求未知矩阵例 , 其中xx, 342103解一. 先求 , 再计算1Ax解二.由 得1 A 行 变 换x注 . 也可采用初等列方程法求逆矩阵: 1 行 变 换注 2. 对形如 的矩阵方程也可用初等列变换
9、法求出未知矩阵xA 1xA1 行 变 换(三) 作业习题 的 2. (1), (4), 3. (1) 思考第 题183.453.5 矩阵的等价和等价标准形1.内容提要等价矩阵和矩阵的等价标准形, 有关矩阵的秩的一些结论.2.重点和难点重点是等价矩阵和矩阵的等价标准型概念，难点是有关矩阵的秩的一些结论.3.授课内容(1). 矩阵的等价和等价标准形.1.概念的定义 和 的定理193.51203.52. 矩阵等价的充分必要条件:矩阵 和 等价 和 同规模(相同的行数和列数 )同秩 和 具有相同的等价AA标准形 存在可逆矩阵 、 使QA=(二). 有关矩阵的秩的一些结论.先复习矩阵的秩的定义. 给出如
10、下主要结论:(1) 0r(2) 设 为 矩阵, mninrm，(3) 若 是 阶方律. A0(4) ir，例 的例1203.51例 的例课堂练习和讨论: 习题 中的第 1. 2. 10 题12.四. 作业习题 中的第 3, 7 题123.5本章小结1.矩阵的概念特殊矩阵: 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、单位阵和对称阵、反对称阵.2.矩阵的加法, 数乘和乘法, 乘法运算阵3.矩阵的秩(1) 定义 (2) 求法 (3) 性质4. 可逆矩阵(1)定 义 (2). 求法(伴随阵法, 初等行变换法和分块对角阵法) (3). 可逆充要条件(4) 性质( 和转置矩阵性质作比较) (5) 解矩阵方程5. 方阵的行列式(1) 定义 (2) 性质 (3). ,1A6. 初等矩阵(1) 定义 (2) 和初等交换关系 (3) 和逆阵关系课堂练习和讨论: 习题 中的第 1. 2 题1263.
