1、2017 年全国 100 所名校高考数学冲刺卷（理科） （3）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合 A=x|（x 6） （3x +8）0，B=x|y= ，则 AB 等于（ ）A 1，6） B （1，6） C （ ，1 D （ ，1）2已知实数 a，b 满足（ a+2i）bi=3i +6（i 为虚数单位）则在复平面内，复数z=a+bi 所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知函数 f（x）=2cos（x+ ） （0）的最小正周期为 2，则函数f（x）图象的一条对称轴方程为（ ）A
2、x= Bx= Cx= Dx=4已知 P1（x 1，y 1） ，P 2（ x2，y 2） ，P 3（x 3，y 3） ，P 4（x 4，y 4）是抛物线C： y2=8x 上的点，F 是抛物线 C 上的焦点，若|PF 1|+|PF2|+|PF3|+|PF4|=20，则x1+x2+x3+x4 等于（ ）A8 B10 C12 D165已知各项均不相等的等比数列a n中，a 2=1，且 a1，a 3， a5 成等差数列，则 a4 等于（ ）A B49 C D76如图所示，已知菱形 ABCD 是由等边ABD 与等边BCD 拼接而成，两个小圆与ABD 以及 BCD 分别相切，则往菱形 ABCD 内投掷一个点
3、，该点落在阴影部分内的概率为（ ）A B C D7已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足当 x0 时，f （x）=1og 2（x+2）+x +b，则|f（ x）|3 的解集为（ ）A （ ，2 ） （2，+ ） B （ ，4）（4，+） C （ 2，2）D （4， 4）8名著算学启蒙中有如下题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等” 这段话的意思是：“ 松有五尺长，竹有两尺长，松每天增长前一天长度的一半，竹每天增长前一天长度的两倍 ”为了研究这个问题，以 a 代表松长，以 b 代表竹长，设计了如图所示的程序框图，输入的 a，b 的值分别为 5，2，则输出的 n 的值为（
4、）A3 B4 C5 D69 （x 2 +y） 5 的展开式中，含 x3y2 的项的系数为（ ）A60 B60 C80 D 8010一个放置在水平桌面上的正四棱柱的俯视图如图所示，其中 为锐角，则该几何体的正视图的面积的最大值为（ ）A2 或 3 B2 或 3 C1 或 3 D2 或 211已知双曲线 C： （a0，b 0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，第二象限的点 P（x 0，y 0）满足 bx0+ay0=0，若线段 PF2 的垂直平分线恰为双曲线 C的过一、三象限的渐近线，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B4 C D212如果 x0 是函数 f（x）的一个零点，且在这个零点两侧函数值异
5、号，则称 x0是函数 f（x ）的一个变号零点，已知函数 f（x）=ax 2+1+lnx 在（ ，e）上有且仅有一个变号零点，则实数 a 的取值范围为（ ）A ，0 ） B ，0） e C ，0） D ，0二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13面积为 4 的等边三角形 ABC 中，D 是 AB 边上靠近 B 的三等分点，则 = 14已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 z=x3y 的最大值为 15已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，a n+1= ，则 S3n= 16三棱锥 DABC 中，AB=CD= ，其余四条棱均为 2，则三棱锥 DABC 的外接球的表
6、面积为 三、解答题（共 5 小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知在ABC 中，角 AB ，C 所对边分别为 a，b ，c，C=2A（1）若 c= a，求 A 的大小；（2）若 a，b，c 依次为三个连续自然数，求ABC 的面积18已知在一次全国数学竞赛中，某市 3000 名参赛学生的初赛成绩统计如图所示（1）求 a 的值，并估计该市学生在本次数学竞赛中，成绩在的 80，90）上的学生人数；（2）若在本次考试中选取 1500 人入围决赛，则进入复赛学生的分数应当如何制定（结果用分数表示） ； （3 ） 若以该市考生的成绩情况估计全省考生的成绩情况，从全省考生中随机抽取
7、4 名考生，记成绩在 80 分以上（含 80 分）的考生人数为 X，求 X 的分布列和期望19如图所示的多面体中，底面 ABCD 为正方形， GAD 为等边三角形，GDC=90，点 E 是线段 GC 的中点（1）若点 P 为线段 GD 的中点，证明：平面 APE平面 GCD；（2）求平面 BDE 与平面 GCD 所成锐二面角的余弦值20已知椭圆： （ab0）的离心率为 ，圆 x2+y22y=0 的圆心与椭圆 C 的上顶点重合，点 P 的纵坐标为 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若斜率为 2 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，探究：在椭圆 C 上是否存在一点 Q，使得 ，若存在，求
8、出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由21已知函数 f（x ）= ax（1）若 a= ，求曲线 y=f（x）在（e，f（e） ）处的切线方程；（2）若关于 x 的不等式 f（x）ax +blnx ax 在（0，+）上恒成立，求实数a， b 的值选考部分（请在 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修 4-4：坐标系与参数方程（共 1 小题，满分 10 分）22已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数） ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的坐标方程是 sin26cos=0（1）求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的极坐标方程； （2）求直线
9、 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求|MN|的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=2|x2|+3|x+3 |（1）解不等式：f（x） 15；（2）若函数 f（x）的最小值为 m，正实数 a，b 满足 4a+25b=m，证明： + 2017 年全国 100 所名校高考数学冲刺卷（理科） （3）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合 A=x|（x 6） （3x +8）0，B=x|y= ，则 AB 等于（ ）A 1，6） B （1，6） C （ ，1 D （ ，1）【考点】1E：
10、交集及其运算【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可【解答】解：由 A 中不等式解得： x6 ，即 A=（ ，6） ；B=x|y= =1，+） ，则 AB=1，6） ，故选：A2已知实数 a，b 满足（ a+2i）bi=3i +6（i 为虚数单位）则在复平面内，复数z=a+bi 所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】根据复数的代数形式的运算，利用复数相等求出 a、b 的值，再判断复平面内 z 所对应的点位于第几象限【解答】解：（a+2i）bi=3i+6，abi2b=3i +6，
11、 ，解得 a=1，b=3；复平面内，复数 z=a+bi=13i；z 所对应的点（1，3）位于第三象限故选：C3已知函数 f（x）=2cos（x+ ） （0）的最小正周期为 2，则函数f（x）图象的一条对称轴方程为（ ）Ax= Bx= Cx= Dx=【考点】H1：三角函数的周期性及其求法【分析】通过函数的周期，可求出 ，然后求出函数的对称轴方程，即可得到选项【解答】解：函数 f（x） =2cos（x+ ） （0）的最小正周期为 2，所以 =1，函数 f（x ）=2cos（x + ）=2sinx，它的对称轴为：x=k+ ，kZ，当 k=0 时，可得，x= ，显然 B 正确故选：B4已知 P1（x
12、1，y 1） ，P 2（ x2，y 2） ，P 3（x 3，y 3） ，P 4（x 4，y 4）是抛物线C： y2=8x 上的点，F 是抛物线 C 上的焦点，若|PF 1|+|PF2|+|PF3|+|PF4|=20，则x1+x2+x3+x4 等于（ ）A8 B10 C12 D16【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的定义分别求得|PF 1|+|PF2|+|PF3|+|PF4|=x1+x2+x3+x4+2p，由 2p=8，即可求得 x1+x2+x3+x4=12【解答】解：由抛物线 C：y 2=8x 焦点在 F（2，0） ，由抛物线的性质可知：|PF 1|=x1+ ，|PF 2|=x2
13、+ ， |PF3|=x3+ ，|PF 4|=x4+ ，|PF1|+|PF2|+|PF3|+|PF4|=x1+x2+x3+x4+2p=x1+x2+x3+x4+8=20，则 x1+x2+x3+x4=12，故选 C5已知各项均不相等的等比数列a n中，a 2=1，且 a1，a 3， a5 成等差数列，则 a4 等于（ ）A B49 C D7【考点】8M ：等差数列与等比数列的综合【分析】由题意可得 q1，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得 q2，再由 a4=a2q2，计算即可得到所求值【解答】解：设各项均不相等的等比数列a n的公比为 q（q1） ，a2=1，可得 a1q=1，a
14、1，a 3， a5 成等差数列，可得 2a3= a1+ a5，即为 2a1q2= a1+ a1q4，由解得 q2= （1 舍去） ，则 a4=a2q2= 故选：C6如图所示，已知菱形 ABCD 是由等边ABD 与等边BCD 拼接而成，两个小圆与ABD 以及 BCD 分别相切，则往菱形 ABCD 内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为（ ）A B C D【考点】CF：几何概型【分析】设等边三角形的边长为 a，则内切圆的半径为 a，求出相应的面积，以面积为测度可得结论【解答】解：设等边三角形的边长为 a，则内切圆的半径为 a，往菱形 ABCD 内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为= ，故选：
15、D7已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足当 x0 时，f （x）=1og 2（x+2）+x +b，则|f（ x）|3 的解集为（ ）A （ ，2 ） （2，+ ） B （ ，4）（4，+） C （ 2，2）D （4， 4）【考点】R5：绝对值不等式的解法【分析】利用 f（0）=0，求出 b，确定 f（2）=3 ，函数在 R 上单调递增，利用函数的单调性，即可求出|f（x ）|3 的解集【解答】解：由题意，f（0）=1 +b=0，b=1，f（x ）=1og 2（x+2）+x1，f（2 ）=3，函数在 R 上单调递增，|f（ x）|3，|f （x ）|f（2） ，f（ x）2 或 f（x ）2
16、，x2 或 x2，故选：A8名著算学启蒙中有如下题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等” 这段话的意思是：“ 松有五尺长，竹有两尺长，松每天增长前一天长度的一半，竹每天增长前一天长度的两倍 ”为了研究这个问题，以 a 代表松长，以 b 代表竹长，设计了如图所示的程序框图，输入的 a，b 的值分别为 5，2，则输出的 n 的值为（ ）A3 B4 C5 D6【考点】EF：程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 n，a ，b 的值，当a= ，b=32 时满足条件 ab ，退出循环，输出 n 的值为 4【解答】解：模拟程序的运行，可得a=5，b=2，n=1a= ，b=4不满足条件 ab，n=2，a= ，b=8不满足条件 ab，n=3，a= ，b=16不满足条件 ab，n=4，a= ，b=32满足条件 ab，退出循环，输出 n 的值为 4故选：B9 （x 2 +y） 5 的展开式中，含 x3y2 的项的系数为（ ）A60 B60 C80 D 80【考点】DC：二项式定理的应用【分析】根据乘方的意义，求得 x3y2 的项的系数【解答】解：由于（x 2 +y） 5 的表示 5 个因式（x 2 +y）的乘积，故其中有 2个因式取 y，2 个因式取 x2，一个因式取 ，
